لا تحتل المجسمات المتعددة السطوح مكانة بارزة في الهندسة فحسب ، بل تحدث أيضًا في الحياة اليومية لكل شخص. ناهيك عن الأدوات المنزلية التي تم إنشاؤها بشكل مصطنع على شكل مضلعات مختلفة ، بدءًا من علبة الثقاب وتنتهي بالعناصر المعمارية ، والبلورات على شكل مكعب (ملح) ، موشور (كريستال) ، هرم (سكيليت) ، ثماني الوجوه (الماس) ، إلخ ه.
مفهوم متعدد السطوح ، أنواع متعددات الوجوه في الهندسة
تحتوي الهندسة كعلم على قسم من القياس الفراغي الذي يدرس خصائص وخصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد. الأجسام الهندسية ، التي تتكون جوانبها في الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة مستويات (وجوه) محدودة ، تسمى "متعددات الوجوه". تشمل أنواع متعددات الوجوه أكثر من اثني عشر ممثلًا ، يختلفون في عدد وشكل الوجوه.
ومع ذلك ، فإن كل متعددات الوجوه لها خصائص مشتركة:
- تحتوي جميعها على 3 مكونات أساسية: الوجه(سطح المضلع) ، الرأس (الزوايا المتكونة عند تقاطع الوجوه) ، الحافة (جانب شكل أو جزء مكون عند تقاطع وجهين).
- تربط كل حافة مضلع وجهين واثنين فقط متجاورين.
- التحدب يعني أن الجسم يقع بالكامل فقط على جانب واحد من المستوى الذي يقع عليه أحد الوجوه. تنطبق القاعدة على جميع أوجه متعدد السطوح. تسمى هذه الأشكال الهندسية في القياس الفراغي متعدد السطوح المحدبة. الاستثناء هو متعدد السطوح على شكل نجمة ، وهي مشتقات المواد الصلبة الهندسية متعددة السطوح العادية.
يمكن تقسيم المجسمات المتعددة السطوح بشكل مشروط إلى:
- أنواع متعددات السطوح المحدبة ، وتتكون من الفئات التالية: عادي أو كلاسيكي (موشور ، هرم ، متوازي السطوح) ، منتظم (يُطلق عليه أيضًا المواد الصلبة الأفلاطونية) ، شبه منتظم (الاسم الثاني - جوامد أرخميدس).
- متعدد الوجوه غير محدب (على شكل نجمة).
المنشور وخصائصه
القياس المجسم كفرع من الهندسة يدرس خصائص الأشكال ثلاثية الأبعاد ، وأنواع المجسمات (المنشور واحد منهم). المنشور عبارة عن جسم هندسي له بالضرورة وجهان متطابقان تمامًا (يطلق عليهما أيضًا القواعد) يقعان في مستويات متوازية ، والعدد n من الوجوه الجانبية في شكل متوازي الأضلاع. في المقابل ، يحتوي المنشور أيضًا على عدة أنواع ، بما في ذلك أنواع متعددة الوجوه مثل:
- متوازي الأضلاع - يتكون إذا كانت القاعدة متوازي أضلاع -مضلع به 2 أزواج من الزوايا المتقابلة المتساوية و 2 أزواج من الأضلاع المتقابلة المتطابقة.
- المنشور المستقيم له حواف عمودية على القاعدة.
- يتميز المنشور المائل بوجود زوايا غير قائمة (غير 90) بين الوجوه والقاعدة.
- يتميز المنشور المنتظم بقواعد على شكل مضلع منتظم بأوجه متساوية.
الخصائص الأساسية للمنشور:
- قواعد متطابقة
- جميع حواف المنشور متساوية ومتوازية مع بعضها البعض.
- جميع الوجوه الجانبية متوازية الأضلاع
الهرم
الهرم جسم هندسي ، يتكون من قاعدة واحدة وعدد n من الوجوه المثلثة ، متصلة عند نقطة واحدة - القمة. وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت الوجوه الجانبية للهرم ممثلة بالضرورة بمثلثات ، فيمكن أن تكون القاعدة إما مضلعًا مثلثيًا ، أو رباعي الزوايا ، أو خماسي الأضلاع ، وهكذا إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة ، سيتوافق اسم الهرم مع المضلع في القاعدة. على سبيل المثال ، إذا كان المثلث يقع في قاعدة الهرم ، فهو هرم مثلثي ، والرباعي هو رباعي الزوايا ، إلخ.
الأهرامات متعددة السطوح تشبه المخروط. أنواع متعددات الوجوه لهذه المجموعة ، بالإضافة إلى تلك المذكورة أعلاه ، تشمل أيضًا الممثلين التاليين:
- الهرم المنتظم له مضلع منتظم في قاعدته ، وارتفاعه إسقاط إلى المركزدائرة منقوشة في القاعدة أو محصورة حولها.
- يتشكل الهرم المستطيل عندما يتقاطع أحد حوافه الجانبية مع القاعدة بزاوية قائمة. في هذه الحالة ، من العدل أيضًا تسمية هذه الحافة بارتفاع الهرم.
خصائص الهرم:
- إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متطابقة (من نفس الارتفاع) ، فإنها تتقاطع جميعًا مع القاعدة بنفس الزاوية ، وحول القاعدة يمكنك رسم دائرة بمركز يتزامن مع إسقاط قمة الهرم
- إذا كانت قاعدة الهرم عبارة عن مضلع منتظم ، فإن جميع الحواف الجانبية متطابقة ، والأوجه مثلثات متساوية الساقين.
متعدد السطوح المنتظم: أنواع وخصائص المجسمات المتعددة السطوح
في القياس الفراغي ، مكان خاص تحتله أجسام هندسية ذات وجوه متساوية تمامًا ، عند الرؤوس التي يتصل بها نفس عدد الحواف. هذه المواد الصلبة تسمى المواد الصلبة الأفلاطونية ، أو المجسمات العادية. أنواع المجسمات المتعددة الوجوه بهذه الخصائص لها خمسة أشكال فقط:
- رباعي السطوح
- سداسي الوجوه.
- ثماني السطوح.
- ثنائي الوجوه.
- Icosahedron.
تدين متعددات الوجوه العادية باسم الفيلسوف اليوناني القديم أفلاطون ، الذي وصف هذه الأجسام الهندسية في كتاباته وربطها بالعناصر الطبيعية: الأرض والماء والنار والهواء. الرقم الخامس حصل على التشابه مع بنية الكون. في رأيه ، تشبه ذرات العناصر الطبيعية في الشكل أنواع متعددات الوجوه العادية. نظرًا لممتلكاته الأكثر إثارة -التناظر ، كانت هذه الأجسام الهندسية ذات أهمية كبيرة ليس فقط لعلماء الرياضيات والفلاسفة القدماء ، ولكن أيضًا للمهندسين المعماريين والفنانين والنحاتين في جميع الأوقات. كان وجود 5 أنواع فقط من متعددات الوجوه مع التناظر المطلق يعتبر اكتشافًا أساسيًا ، حتى أنهم حصلوا على صلة بالمبدأ الإلهي.
السداسي وخصائصه
في شكل مسدس ، افترض خلفاء أفلاطون تشابهًا مع بنية ذرات الأرض. بالطبع في الوقت الحاضر تم دحض هذه الفرضية بشكل كامل ، ولكن هذا لا يمنع الشخصيات من جذب عقول الشخصيات المشهورة بجمالياتهم في العصر الحديث.
في الهندسة ، يُعتبر سداسي الوجوه ، المعروف أيضًا باسم المكعب ، حالة خاصة متوازي السطوح ، وهو بدوره نوع من المنشور. وفقًا لذلك ، ترتبط خصائص المكعب بخصائص المنشور ، مع الاختلاف الوحيد هو أن جميع أوجه وأركان المكعب متساوية مع بعضها البعض. الخصائص التالية تتبع من هذا:
- جميع حواف المكعب متطابقة وتقع في مستويات متوازية بالنسبة لبعضها البعض.
- جميع الوجوه هي مربعات متطابقة (يوجد 6 في المجموع في المكعب) ، يمكن اعتبار أي منها كقاعدة.
- جميع زوايا الواجهة 90.
- ينبع عدد متساوٍ من الحواف من كل رأس ، وتحديداً 3.
- يحتوي المكعب على 9 محاور تناظر ، والتي تتقاطع جميعها عند نقطة تقاطع أقطار الشكل السداسي ، والتي تسمى مركز التناظر.
رباعي السطوح
رباعي السطوح هو رباعي السطوح له وجوه متساوية على شكل مثلثات ، كل رأس منهاهي نقطة التقاطع لثلاثة وجوه.
خصائص رباعي السطوح العادي:
- جميع وجوه رباعي السطوح مثلثات متساوية الأضلاع ، مما يعني أن جميع وجوه رباعي السطوح متطابقة.
- نظرًا لأن القاعدة ممثلة بشكل هندسي منتظم ، أي أنها ذات جوانب متساوية ، فإن وجوه رباعي الوجوه تتقارب في نفس الزاوية ، أي أن جميع الزوايا متساوية.
- مجموع الزوايا المسطحة عند كل رأس هو 180 ، نظرًا لأن جميع الزوايا متساوية ، فإن أي زاوية لرباعي السطوح العادي هي 60.
- كل رأس من القمم مسقطة إلى نقطة تقاطع ارتفاعات الوجه المقابل (orthocenter).
المجسم الثماني وخصائصه
وصف أنواع متعددات الوجوه العادية ، لا يمكن لأحد أن يفشل في ملاحظة مثل هذا الكائن مثل ثماني الوجوه ، والذي يمكن تمثيله بصريًا كهرمين منتظمين رباعي الزوايا ملتصقين ببعضهما البعض بواسطة القواعد.
خصائص المجسم الثماني:
- يشير اسم الجسم الهندسي إلى عدد وجوهه. يتكون المجسم الثماني من 8 مثلثات متساوية الأضلاع متطابقة ، في كل رأس منها يتلاقى عدد متساوٍ من الوجوه ، أي 4.
- نظرًا لأن جميع أوجه المجسم متساوية ، فإن زوايا واجهته متساوية أيضًا ، كل منها تساوي 60 ، وبالتالي فإن مجموع زوايا المستوى لأي من الرؤوس هو 240.
Dodecahedron
إذا تخيلنا أن جميع وجوه الجسم الهندسي هي خماسي منتظم ، فإننا نحصل على ثنائي الوجوه -شكل 12 مضلع.
خصائص ثنائي الوجوه:
- ثلاثة وجوه تتقاطع عند كل رأس.
- جميع الوجوه متساوية ولها نفس طول الحافة والمساحة المتساوية
- يحتوي الاثني عشر وجهًا على 15 محورًا ومستوى تناظر ، ويمر أي منهم عبر قمة الوجه ووسط الحافة المقابلة.
Icosahedron
ليس أقل إثارة للاهتمام من شكل ثنائي الوجوه ، شكل عشري الوجوه هو جسم هندسي ثلاثي الأبعاد مع 20 وجهًا متساويًا. من بين خصائص عشرين hedron العادية ، يمكن ملاحظة ما يلي:
- جميع وجوه المجسم العشري مثلثات متساوية الساقين.
- خمسة وجوه تتلاقى عند كل رأس من رأس متعدد السطوح ، ومجموع الزوايا المجاورة للرأس هو 300.
- العشريني الوجوه ، مثل ثنائي الوجوه ، له 15 محورًا ومستوى تناظر يمر عبر نقاط المنتصف للوجوه المعاكسة.
المضلعات شبه المنتظمة
إلى جانب المواد الصلبة الأفلاطونية ، تشتمل مجموعة متعددات السطوح المحدبة أيضًا على مواد صلبة أرخميدس ، وهي عبارة عن مجسمات متعددة السطوح العادية. أنواع متعددات الوجوه لهذه المجموعة لها الخصائص التالية:
- للأجسام الهندسية وجوه متساوية من عدة أنواع ، على سبيل المثال ، رباعي الوجوه مبتور له 8 وجوه ، مثل رباعي السطوح العادي ، ولكن في حالة صلبة أرخميدس ، ستكون 4 وجوه مثلثة و 4 سداسية.
- جميع زوايا رأس واحد متطابقة
نجمة متعددة الوجوه
ممثلو الأنواع غير الحجمية للأجسام الهندسية هم متعددات الوجوه النجمية التي تتقاطع وجوهها مع بعضها البعض. يمكن تشكيلها بدمج مادتين صلبتين عاديتين أو بتمديد وجوههما.
وهكذا ، تُعرف هذه الأشكال المتعددة السطوح النجمية باسم: الأشكال النجمية من المجسم الثماني ، ثنائي الوجوه ، العشريني الوجوه ، المكعب ، الوجوه العشرينية.
