في الهندسة تستخدم خاصيتان مهمتان لدراسة الأشكال: أطوال الأضلاع والزوايا بينهما. في حالة الأشكال المكانية ، تتم إضافة الزوايا ثنائية الأضلاع إلى هذه الخصائص. دعونا نفكر في ماهيتها ، ونصف أيضًا طريقة تحديد هذه الزوايا باستخدام مثال الهرم.
مفهوم الزاوية ثنائية السطوح
يعلم الجميع أن خطين متقاطعين يشكلان زاوية مع الرأس عند نقطة تقاطعهما. يمكن قياس هذه الزاوية بمنقلة ، أو يمكنك استخدام الدوال المثلثية لحسابها. الزاوية المكونة من زاويتين قائمتين تسمى الخطية.
الآن تخيل أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد توجد طائرتان تتقاطعان في خط مستقيم. هم معروضون في الصورة
الزاوية ثنائية الأضلاع هي الزاوية بين مستويين متقاطعين. تمامًا مثل الخطي ، يتم قياسه بالدرجات أو بالراديان. إذا كانت في أي نقطة من الخط تتقاطع معها الطائرات ، فقم باستعادة عمودين ،عند الاستلقاء في هذه الطائرات ، فإن الزاوية بينهما ستكون ثنائية السطوح المطلوبة. أسهل طريقة لتحديد هذه الزاوية هي استخدام المعادلات العامة للمستويات.
معادلة المستويات وصيغة الزاوية بينهما
معادلة أي مستوى في الفضاء بشكل عام تكتب على النحو التالي:
A × x + B × y + C × z + D=0.
هنا x ، y ، z هي إحداثيات النقاط التي تنتمي إلى المستوى ، والمعاملات A ، B ، C ، D هي بعض الأرقام المعروفة. تكمن راحة هذه المساواة في حساب الزوايا ثنائية الأضلاع في أنها تحتوي صراحة على إحداثيات متجه الاتجاه للمستوى. سوف نشير إليه بالرقم n¯. ثم:
n¯=(أ ؛ ب ؛ ج).
المتجه n¯ عمودي على المستوى. الزاوية بين مستويين تساوي الزاوية بين متجهي الاتجاه n1¯ و n2¯. من المعروف من الرياضيات أن الزاوية المكونة من متجهين يتم تحديدها بشكل فريد من خلال ناتجها القياسي. يتيح لك ذلك كتابة صيغة لحساب الزاوية ثنائية الأضلاع بين مستويين:
φ=arccos (| (n1¯ × n2¯) | / (| n1¯ | × | n2¯ |)).
إذا استبدلنا إحداثيات المتجهات ، فستتم كتابة الصيغة بوضوح:
φ=arccos (| A1× A2+ B1× B2+ C1× C2| / (√ (A1 2+ B12+ C12 ) × √ (A22+B22+ C22 ))).
تُستخدم علامة modulo في البسط لتعريف الزاوية الحادة فقط ، لأن الزاوية ثنائية الأضلاع تكون دائمًا أقل من أو تساوي 90o.
الهرم وزواياه
الهرم شكل مكون من مثلثين n-gon و n. هنا n عدد صحيح يساوي عدد أضلاع المضلع الذي يمثل قاعدة الهرم. هذا الشكل المكاني هو متعدد الوجوه أو متعدد السطوح ، لأنه يتكون من وجوه مسطحة (جوانب).
يمكن أن تكون الزوايا ثنائية السطوح للهرم متعدد السطوح من نوعين:
- بين القاعدة والجانب (مثلث) ؛
- بين الجانبين.
إذا كان الهرم يعتبر منتظمًا ، فمن السهل تحديد الزوايا المسماة له. للقيام بذلك ، باستخدام إحداثيات ثلاث نقاط معروفة ، يجب على المرء أن يؤلف معادلة المستويات ، ثم يستخدم الصيغة الواردة في الفقرة أعلاه للزاوية φ.
أدناه نقدم مثالًا نوضح فيه كيفية إيجاد زوايا ثنائية الأضلاع في قاعدة هرم منتظم رباعي الزوايا.
هرم منتظم رباعي الزوايا وزاوية في قاعدته
افترض أن هرمًا منتظمًا قاعدته مربعة معطى. طول ضلع المربع أ ، ارتفاع الشكل ح. أوجد الزاوية بين قاعدة الهرم وجانبها.
لنضع أصل نظام الإحداثيات في وسط المربع. ثم إحداثيات النقاطأ ، ب ، ج ، د الموضح في الصورة سيكون:
A=(أ / 2 ؛ -a / 2 ؛ 0) ؛
ب=(أ / 2 ؛ أ / 2 ؛ 0) ؛
C=(-a / 2 ؛ أ / 2 ؛ 0) ؛
D=(0 ؛ 0 ؛ ح).
النظر في الطائرات ACB و ADB. من الواضح أن متجه الاتجاه n1¯ لطائرة ACB سيكون:
1¯=(0 ؛ 0 ؛ 1).
لتحديد متجه الاتجاه n2¯ لمستوى ADB ، تابع على النحو التالي: ابحث عن متجهين تعسفيين ينتميان إليه ، على سبيل المثال ، AD¯ و AB¯ ، ثم احسب عملهم المتجه. ستعطي نتيجتها الإحداثيات n2¯. لدينا:
AD¯=D - A=(0 ؛ 0 ؛ ح) - (أ / 2 ؛ -a / 2 ؛ 0)=(-a / 2 ؛ أ / 2 ؛ ح) ؛
AB¯=ب - أ=(أ / 2 ؛ أ / 2 ؛ 0) - (أ / 2 ؛ -أ / 2 ؛ 0)=(0 ؛ أ ؛ 0) ؛
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a / 2 ؛ أ / 2 ؛ ح) × (0 ؛ أ ؛ 0)]=(-a × ح ؛ 0 ؛ -a2/ 2).
نظرًا لأن الضرب والقسمة للمتجه على رقم لا يغير اتجاهه ، فإننا نقوم بتحويل الناتج n2¯ ، ونقسم إحداثياته على -a ، نحصل على:
2¯=(ح ؛ 0 ؛ أ / 2).
لقد حددنا أدلة المتجه n1¯ و n2¯ لقاعدة ACB والطائرات الجانبية ADB. يبقى استخدام صيغة الزاوية φ:
φ=arccos (| (n1¯ × n2¯) | / (| n1¯ | × | n2¯ |))=arccos (a / (2 × √h2+ a 2/ 4)).
قم بتحويل التعبير الناتج وإعادة كتابته على النحو التالي:
φ=arccos (a / √ (a2+ 4 × h2)).
لقد حصلنا على صيغة الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة لهرم رباعي الزوايا منتظم. بمعرفة ارتفاع الشكل وطول ضلعه ، يمكنك حساب الزاوية φ. على سبيل المثال ، بالنسبة لهرم خوفو ، الذي يبلغ طول ضلع قاعدته 230.4 مترًا ، وكان الارتفاع الأولي 146.5 مترًا ، ستكون الزاوية φ 51.8o.
من الممكن أيضًا تحديد الزاوية ثنائية الأضلاع لهرم منتظم رباعي الزوايا باستخدام الطريقة الهندسية. للقيام بذلك ، يكفي النظر في مثلث قائم الزاوية يتكون من ارتفاع h ، ونصف طول القاعدة a / 2 وقسم مثلث متساوي الساقين.
