اجتذبت المجسمات المتعددة السطوح انتباه علماء الرياضيات والعلماء حتى في العصور القديمة. بنى المصريون الأهرامات. ودرس الإغريق "متعددات الوجوه العادية". يطلق عليهم أحيانًا المواد الصلبة الأفلاطونية. تتكون "متعددات الوجوه التقليدية" من وجوه مسطحة وحواف مستقيمة ورؤوس. لكن السؤال الرئيسي كان دائمًا ما هي القواعد التي يجب أن تفي بها هذه الأجزاء المنفصلة ، وكذلك الشروط العالمية الإضافية التي يجب الوفاء بها حتى يتأهل الكائن باعتباره متعدد الوجوه. الجواب على هذا السؤال سيقدم في المقال
مشاكل في التعريف
مما يتكون هذا الرقم؟ متعدد السطوح هو شكل مصمت مغلق له وجوه مسطحة وحواف مستقيمة. لذلك ، يمكن استدعاء المشكلة الأولى في تعريفها بدقة جوانب الشكل. ليست كل الوجوه التي ترقد على الطائرات دائمًا علامة على وجود متعدد السطوح. لنأخذ "الاسطوانة المثلثة" كمثال. مما تتكون؟ جزء من سطحه ثلاثة في أزواجلا يمكن اعتبار المستويات الرأسية المتقاطعة مضلعات. والسبب هو أنه ليس له رؤوس. يتكون سطح مثل هذا الشكل على أساس ثلاثة أشعة تلتقي عند نقطة واحدة.
مشكلة أخرى - الطائرات. في حالة "الاسطوانة المثلثة" تقع في أجزائها غير المحدودة. يعتبر الشكل محدبًا إذا كان الجزء المستقيم الذي يربط بين أي نقطتين في المجموعة موجودًا فيه أيضًا. دعونا نقدم واحدة من خصائصهم الهامة. بالنسبة للمجموعات المحدبة ، فإن مجموعة النقاط المشتركة للمجموعة هي نفسها. هناك نوع آخر من الشخصيات. هذه الأشكال متعددة السطوح غير محدبة ثنائية الأبعاد والتي تحتوي إما على شقوق أو ثقوب.
الأشكال التي ليست متعددات الوجوه
يمكن أن تكون مجموعة النقاط المسطحة مختلفة (على سبيل المثال ، غير محدبة) ولا تلبي التعريف المعتاد لمتعدد الوجوه. حتى من خلاله ، يتم تقييده بأقسام من الخطوط. تتكون خطوط مجسم محدب من أشكال محدبة. ومع ذلك ، فإن هذا النهج للتعريف يستبعد الرقم الذي يذهب إلى اللانهاية. مثال على ذلك ثلاثة أشعة لا تلتقي في نفس النقطة. لكن في نفس الوقت ، هم متصلون برؤوس شكل آخر. تقليديا ، كان من المهم بالنسبة لمتعدد الوجوه أن يتكون من أسطح مستوية. لكن بمرور الوقت ، توسع المفهوم ، مما أدى إلى تحسن كبير في فهم الفئة الأصلية "الأضيق" من متعدد السطوح ، فضلاً عن ظهور تعريف جديد أوسع.
تصحيح
دعونا نقدم تعريفًا آخر. متعدد السطوح المنتظم هو الذي يكون فيه كل وجه منتظمًا متطابقًاالمضلعات المحدبة وجميع الرؤوس "متشابهة". هذا يعني أن كل رأس له نفس عدد المضلعات المنتظمة. استخدم هذا التعريف. لذا يمكنك إيجاد خمسة متعددات وجوه منتظمة.
الخطوات الأولى لنظرية أويلر عن متعددات الوجوه
عرف الإغريق عن المضلع ، والذي يسمى اليوم الخماسي. يمكن تسمية هذا المضلع منتظم لأن جميع جوانبه متساوية في الطول. هناك أيضا ملاحظة مهمة أخرى. الزاوية بين ضلعين متتاليين هي نفسها دائمًا. ومع ذلك ، عند رسمها في مستوى ، فإنها لا تحدد مجموعة محدبة ، وتتقاطع جوانب متعدد السطوح مع بعضها البعض. ومع ذلك ، لم يكن هذا هو الحال دائما. لطالما اعتبر علماء الرياضيات فكرة متعددات الوجوه العادية "غير المحدبة". كان الخماسي واحدًا منهم. كما تم السماح بـ "المضلعات النجمية". تم اكتشاف عدة أمثلة جديدة لـ "متعددات الوجوه المنتظمة". الآن يطلق عليهم اسم متعدد السطوح كبلر-بوينسو. لاحقًا ، وسع جي إس إم كوكستر وبرانكو جرونباوم القواعد واكتشفا "متعددات وجوه عادية" أخرى.
صيغة متعددة السطوح
بدأت الدراسة المنهجية لهذه الأرقام في وقت مبكر نسبيًا في تاريخ الرياضيات. كان ليونارد أويلر أول من لاحظ أن الصيغة المتعلقة بعدد الرؤوس والوجوه والحواف تنطبق على الأشكال المتعددة السطوح المحدبة ثلاثية الأبعاد.
تبدو هكذا:
V + F - E=2 ،
حيث V هو عدد الرؤوس متعددة السطوح ، F هو عدد حواف المجسمات المتعددة السطوح ، و E هو عدد الوجوه.
ليونارد أويلر سويسريعالم رياضيات يعتبر من أعظم العلماء وأكثرهم إنتاجية في كل العصور. لقد كان أعمى معظم حياته ، لكن فقد بصره أعطاه سببًا ليصبح أكثر إنتاجية. هناك العديد من الصيغ التي سميت باسمه ، والصيغة التي نظرنا إليها للتو تسمى أحيانًا صيغة أويلر متعددة السطوح.
هناك توضيح واحد. ومع ذلك ، فإن صيغة أويلر تعمل فقط مع متعددات الوجوه التي تتبع قواعد معينة. إنهم يكمنون في حقيقة أن النموذج لا ينبغي أن يحتوي على أي ثقوب. ومن غير المقبول لها أن تعبر نفسها. لا يمكن أيضًا أن يتكون متعدد السطوح من جزأين مرتبطين معًا ، مثل مكعبين لهما نفس الرأس. ذكر أويلر نتيجة بحثه في رسالة إلى كريستيان جولدباخ عام 1750. في وقت لاحق ، نشر ورقتين وصف فيهما كيف حاول العثور على دليل على اكتشافه الجديد. في الواقع ، هناك نماذج تعطي إجابة مختلفة لـ V + F - E. الجواب على المجموع F + V - E=X يسمى خاصية أويلر. لديها جانب آخر. قد تحتوي بعض الأشكال حتى على خاصية أويلر سالبة
نظرية الرسم البياني
أحيانًا يُزعم أن ديكارت اشتق نظرية أويلر سابقًا. على الرغم من أن هذا العالم اكتشف حقائق حول مجسمات ثلاثية الأبعاد من شأنها أن تسمح له باشتقاق الصيغة المرغوبة ، إلا أنه لم يتخذ هذه الخطوة الإضافية. اليوم ، يُنسب إلى أويلر "أب" نظرية الرسم البياني. لقد حل مشكلة جسر كونيجسبيرج باستخدام أفكاره. لكن العالم لم ينظر إلى متعدد الوجوه في السياقنظرية الرسم البياني. حاول أويلر إعطاء دليل على صيغة قائمة على تحلل متعدد السطوح إلى أجزاء أبسط. هذه المحاولة لا ترقى إلى مستوى المعايير الحديثة للإثبات. على الرغم من أن أويلر لم يقدم التبرير الصحيح الأول لصيغته ، لا يمكن للمرء أن يثبت التخمينات التي لم يتم إجراؤها. ومع ذلك ، فإن النتائج ، التي تم إثباتها لاحقًا ، جعلت من الممكن استخدام نظرية أويلر في الوقت الحاضر أيضًا. تم الحصول على الدليل الأول من قبل عالم الرياضيات Adrian Marie Legendre.
دليل على صيغة أويلر
صاغ أويلر أولاً الصيغة متعددة السطوح كنظرية على المجسمات المتعددة السطوح. اليوم يتم التعامل معها غالبًا في سياق أكثر عمومية للرسوم البيانية المتصلة. على سبيل المثال ، مثل الهياكل التي تتكون من نقاط ومقاطع خطية تربطها ، والتي هي في نفس الجزء. كان Augustin Louis Cauchy أول شخص وجد هذا الاتصال المهم. كان بمثابة دليل على نظرية أويلر. لقد لاحظ ، في جوهره ، أن الرسم البياني لمتعدد السطوح المحدب (أو ما يسمى اليوم بهذا الشكل) متماثل طوبولوجيًا للكرة ، وله رسم بياني مستو متصل. ما هذا؟ الرسم البياني المستوي هو الرسم الذي تم رسمه في المستوى بحيث تلتقي حوافه أو تتقاطع عند الرأس فقط. هذا هو المكان الذي تم فيه العثور على العلاقة بين نظرية أويلر والرسوم البيانية.
أحد المؤشرات على أهمية النتيجة هو أن ديفيد إبستين كان قادرًا على جمع سبعة عشر دليلًا مختلفًا. هناك طرق عديدة لتبرير صيغة أويلر متعددة السطوح. بمعنى ما ، فإن أكثر البراهين وضوحًا هي الطرق التي تستخدم الاستقراء الرياضي. يمكن إثبات النتيجةرسمها على طول أي من الحواف أو الوجوه أو رؤوس الرسم البياني
دليل على Rademacher و Toeplitz
جذاب بشكل خاص هو الدليل التالي لـ Rademacher و Toeplitz ، بناءً على نهج Von Staudt. لتبرير نظرية أويلر ، افترض أن G هو رسم بياني متصل مضمن في مستوى. إذا كانت تحتوي على مخططات ، فمن الممكن استبعاد حافة واحدة من كل منها بطريقة تحافظ على الخاصية التي تظل متصلة بها. هناك تطابق واحد لواحد بين الأجزاء التي تمت إزالتها للانتقال إلى الرسم البياني المتصل بدون إغلاق وتلك التي ليست حافة غير محدودة. أدى هذا البحث إلى تصنيف "الأسطح القابلة للتوجيه" من حيث ما يسمى بخاصية أويلر.
منحنى الاردن. نظرية
الأطروحة الرئيسية ، التي تستخدم بشكل مباشر أو غير مباشر في إثبات صيغة المجسمات لنظرية أويلر للرسوم البيانية ، تعتمد على منحنى الأردن. هذه الفكرة مرتبطة بالتعميم. تقول أن أي منحنى بسيط مغلق يقسم الطائرة إلى ثلاث مجموعات: نقاط عليها ، بداخلها وخارجها. مع تطور الاهتمام بصيغة أويلر متعددة السطوح في القرن التاسع عشر ، بذلت محاولات عديدة لتعميمها. وضع هذا البحث الأساس لتطوير الطوبولوجيا الجبرية وربطها بالجبر ونظرية الأعداد.
مجموعة موبيوس
سرعان ما تم اكتشاف أن بعض الأسطح يمكن فقط "توجيهها" بطريقة متسقة محليًا ، وليس عالميًا. مجموعة موبيوس المعروفة هي مثال على ذلكالأسطح. تم اكتشافه في وقت سابق إلى حد ما بواسطة Johann List. يتضمن هذا المفهوم مفهوم جنس الرسم البياني: أقل عدد من الواصفات g. يجب إضافته إلى سطح الكرة ، ويمكن تضمينه على السطح الممتد بحيث تلتقي الحواف عند الرؤوس فقط. اتضح أن أي سطح قابل للتوجيه في الفضاء الإقليدي يمكن اعتباره كرويًا بعدد معين من المقابض.
مخطط أويلر
اكتشف العالم اكتشافًا آخر ، لا يزال مستخدمًا حتى اليوم. هذا ما يسمى بمخطط أويلر هو تمثيل رسومي للدوائر ، وعادة ما يستخدم لتوضيح العلاقات بين المجموعات أو المجموعات. تتضمن المخططات عادةً ألوانًا تمتزج في المساحات التي تتداخل فيها الدوائر. يتم تمثيل المجموعات بدقة من خلال الدوائر أو الأشكال البيضاوية ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا استخدام أشكال أخرى لها. يتم تمثيل التضمين بواسطة تداخل من الأشكال البيضاوية يسمى دوائر أويلر.
يمثلون المجموعات والمجموعات الفرعية. الاستثناء هو الدوائر غير المتداخلة. ترتبط مخططات أويلر ارتباطًا وثيقًا بالرسوم البيانية الأخرى. غالبا ما يتم الخلط بينهم. هذا التمثيل الرسومي يسمى مخططات فين. اعتمادًا على المجموعات المعنية ، قد يبدو كلا الإصدارين متماثلين. ومع ذلك ، في مخططات Venn ، لا تشير الدوائر المتداخلة بالضرورة إلى القواسم المشتركة بين المجموعات ، ولكنها تشير فقط إلى علاقة منطقية محتملة إذا لم تكن تسمياتها موجودةدائرة متقاطعة. تم اعتماد كلا الخيارين لتدريس نظرية المجموعات كجزء من الحركة الرياضية الجديدة في الستينيات.
نظريات فيرما وأويلر
ترك أويلر علامة ملحوظة في العلوم الرياضية. تم إثراء نظرية الأعداد الجبرية بنظرية سميت باسمه. إنه أيضًا نتيجة لاكتشاف مهم آخر. هذا هو ما يسمى نظرية لاجرانج الجبرية العامة. يرتبط اسم أويلر أيضًا بنظرية فيرما الصغيرة. تقول أنه إذا كان p عددًا أوليًا وكان a عددًا صحيحًا لا يقبل القسمة على p ، فإن:
ap-1- 1 يقبل القسمة على p
أحيانًا يكون للاكتشاف نفسه اسم مختلف ، وغالبًا ما يوجد في الأدب الأجنبي. إنها تبدو مثل نظرية عيد الميلاد لفيرمات. الشيء هو أن هذا الاكتشاف أصبح معروفًا بفضل رسالة أرسلها أحد العلماء عشية 25 ديسمبر 1640. لكن البيان نفسه تمت مصادفته من قبل. تم استخدامه من قبل عالم آخر يدعى ألبرت جيرارد. حاول فيرمات فقط إثبات نظريته. يلمح المؤلف في رسالة أخرى إلى أنه كان مستوحى من طريقة النسب اللانهائي. لكنه لم يقدم أي دليل. لاحقًا ، لجأ إيدر أيضًا إلى نفس الطريقة. وبعده - العديد من العلماء المشهورين الآخرين ، بما في ذلك لاجرانج وغاوس ومينكوسكي.
ملامح الهويات
تسمى نظرية فيرما الصغيرة أيضًا بحالة خاصة لنظرية من نظرية الأعداد بسبب أويلر. في هذه النظرية ، تحسب دالة هوية أويلر الأعداد الصحيحة الموجبة حتى عدد صحيح معين ن. هم حقوق الملكية الفكرية فيما يتعلقن. تتم كتابة نظرية أويلر في نظرية الأعداد باستخدام الحرف اليوناني φ ويبدو مثل φ (ن). يمكن تعريفه بشكل أكثر رسمية على أنه عدد الأعداد الصحيحة k في النطاق 1 ≦ k ≦ n والتي يكون فيها القاسم المشترك الأكبر gcd (n، k) هو 1. ويمكن أيضًا تسمية التدوين φ (n) بوظيفة أويلر phi. تسمى أحيانًا الأعداد الصحيحة k من هذا النموذج إجمالي. في قلب نظرية الأعداد ، تكون وظيفة هوية أويلر مضاعفة ، مما يعني أنه إذا كان رقمان م و ن جريمة مشتركة ، فإن φ (mn)=φ (م) φ (ن). كما أنه يلعب دورًا رئيسيًا في تحديد نظام تشفير RSA.
تم تقديم وظيفة أويلر في عام 1763. ومع ذلك ، في ذلك الوقت لم يختار عالم الرياضيات أي رمز محدد لها. في منشور عام 1784 ، درس أويلر هذه الوظيفة بمزيد من التفصيل واختار الحرف اليوناني π لتمثيلها. صاغ جيمس سيلفستر مصطلح "إجمالي" لهذه الميزة. لذلك ، يشار إليه أيضًا باسم إجمالي أويلر. إجمالي φ (n) لعدد صحيح موجب n أكبر من 1 هو عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من n والتي تعد أولية نسبيًا حتى n.φ (1) تعرف على أنها 1. وظيفة أويلر أو دالة فاي (φ) هي رقم مهم جدًا - نظريًا وظيفة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالأعداد الأولية وما يسمى بترتيب الأعداد الصحيحة.
