منشور رباعي الزوايا: الارتفاع ، القطر ، المساحة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

في الدورة المدرسية للهندسة الصلبة ، يعد المنشور رباعي الزوايا أحد أبسط الأشكال التي لها أبعاد غير صفرية على طول ثلاثة محاور مكانية. ضع في اعتبارك في المقالة نوع الشكل الذي يتكون منه ، والعناصر التي يتكون منها ، وكذلك كيف يمكنك حساب مساحة سطحه وحجمه.

مفهوم المنشور

في الهندسة ، المنشور هو شكل مكاني ، يتكون من قاعدتين متطابقتين وأسطح جانبية تربط جوانب هذه القواعد. لاحظ أن كلا القاعدتين يتم تحويلهما إلى بعضهما البعض باستخدام عملية الترجمة المتوازية بواسطة بعض المتجهات. يؤدي هذا التخصيص للمنشور إلى حقيقة أن جميع جوانبه دائمًا متوازية الأضلاع.

يمكن أن يكون عدد جوانب القاعدة تعسفيًا ، بدءًا من ثلاثة. عندما يميل هذا الرقم إلى اللانهاية ، يتحول المنشور بسلاسة إلى أسطوانة ، لأن قاعدته تصبح دائرة ، ومتوازيات الأضلاع الجانبية ، متصلة ، تشكل سطحًا أسطوانيًا.

مثل أي متعدد السطوح ، يتميز المنشور بـالجوانب (المستويات التي تربط الشكل) ، والحواف (الأجزاء التي يتقاطع معها أي جانبان) والرؤوس (نقاط التقاء من ثلاثة جوانب ، بالنسبة للمنشور ، يكون اثنان منهم جانبيين ، والثالث هو القاعدة). ترتبط كميات العناصر الثلاثة المسماة بالشكل بالتعبير التالي:

P=C + B - 2

هنا P و C و B هي عدد الأضلاع والجوانب والرؤوس على التوالي. هذا التعبير هو التدوين الرياضي لنظرية أويلر.

الصورة أعلاه تظهر اثنين من المنشور. في قاعدة أحدهما (أ) يوجد شكل سداسي منتظم ، والجوانب الجانبية متعامدة مع القواعد. يوضح الشكل (ب) منشورًا آخر. لم تعد جوانبها متعامدة مع القواعد ، والقاعدة عبارة عن خماسي منتظم.

ما هو المنشور رباعي الزوايا؟

كما هو واضح من الوصف أعلاه ، يتم تحديد نوع المنشور بشكل أساسي من خلال نوع المضلع الذي يشكل القاعدة (كلا القاعدتين متماثلتان ، لذلك يمكننا التحدث عن أحدهما). إذا كان هذا المضلع متوازي أضلاع ، فسنحصل على منشور رباعي الزوايا. وبالتالي ، فإن جميع جوانب هذا النوع من المنشور عبارة عن متوازي أضلاع. المنشور رباعي الزوايا له اسمه الخاص - متوازي السطوح

عدد أضلاع خط الموازي ستة ، ولكل ضلع موازٍ مشابه له. بما أن قواعد الصندوق عبارة عن جانبين ، فإن الأربعة المتبقية تكون جانبية.

عدد رؤوس خط متوازي السطوح ثمانية ، مما يسهل رؤيته إذا تذكرنا أن رؤوس المنشور تتشكل فقط عند رؤوس المضلعات الأساسية (4x2=8). بتطبيق نظرية أويلر ، نحصل على عدد الحواف:

P=C + B - 2=6 + 8-2=12

من بين 12 ضلعًا ، تم تشكيل 4 فقط بشكل مستقل من الجانبين. الـ 8 المتبقية تكمن في طائرات قواعد الشكل

علاوة على ذلك في المقال سنتحدث فقط عن المنشورات الرباعية الزوايا

أنواع الخطوط المتوازية

النوع الأول من التصنيف هو ميزات متوازي الأضلاع الكامنة. قد يبدو كالتالي:

• عادي ، زواياه لا تساوي 90^o؛
• مستطيل ؛
• المربع هو شكل رباعي منتظم.

النوع الثاني من التصنيف هو الزاوية التي يتقاطع عندها الجانب مع القاعدة. حالتان مختلفتان ممكنتان هنا:

• هذه الزاوية ليست مستقيمة ، فالمنشور يسمى مائل أو مائل ؛
• الزاوية 90^o، إذن مثل هذا المنشور مستطيل أو مستقيم فقط.

النوع الثالث من التصنيف مرتبط بارتفاع المنشور. إذا كان المنشور مستطيلاً ، وكانت القاعدة إما مربعة أو مستطيلة ، فيسمى ذلك شبه متوازي المستطيلات. إذا كان هناك مربع في القاعدة ، فإن المنشور مستطيل ، وارتفاعه يساوي طول ضلع المربع ، نحصل على شكل المكعب المعروف.

سطح المنشور والمساحة

مجموعة جميع النقاط التي تقع على قاعدتين من المنشور(متوازي الأضلاع) وعلى جوانبه (أربعة متوازي أضلاع) تشكل سطح الشكل. يمكن حساب مساحة هذا السطح عن طريق حساب مساحة القاعدة وهذه القيمة للسطح الجانبي. ثم سيعطي مجموعهم القيمة المطلوبة. رياضيا ، هذا مكتوب على النحو التالي:

S=2S_o+ S_b

هنا S_oو S_bهي مساحة السطح الأساسي والجانبي ، على التوالي. يظهر الرقم 2 قبل S_oلأن هناك قاعدتان.

لاحظ أن الصيغة المكتوبة صالحة لأي منشور ، وليس فقط لمساحة المنشور الرباعي الزوايا.

من المفيد أن نتذكر أن مساحة متوازي الأضلاع S_pتُحسب بالصيغة:

S_p=أح

حيث تشير الرموز a و h إلى طول أحد جوانبها والارتفاع المرسوم على هذا الجانب ، على التوالي.

مساحة المنشور المستطيل ذو القاعدة المربعة

في منشور منتظم رباعي الزوايا ، القاعدة مربعة. من أجل الوضوح ، نشير إلى جانبها بالحرف أ. لحساب مساحة المنشور الرباعي الزوايا المنتظم ، يجب أن تعرف ارتفاعه. وفقًا لتعريف هذه الكمية ، فهي تساوي طول العمود العمودي الذي تم إسقاطه من قاعدة إلى أخرى ، أي يساوي المسافة بينهما. دعنا نشير إليه بالحرف h. نظرًا لأن جميع الوجوه الجانبية متعامدة مع قواعد نوع المنشور قيد الدراسة ، فإن ارتفاع المنشور الرباعي الزوايا العادي سيكون مساويًا لطول الحافة الجانبية.

بالصيغة العامة لمساحة سطح المنشور عبارة عن فترتين. من السهل حساب مساحة القاعدة في هذه الحالة ، فهي تساوي:

S_o=a²

لحساب مساحة السطح الجانبي ، نقول على النحو التالي: يتكون هذا السطح من 4 مستطيلات متطابقة. علاوة على ذلك ، فإن جانبي كل منهما يساوي a و h. هذا يعني أن مساحة S_bستكون مساوية لـ:

S_b=4ah

لاحظ أن المنتج 4أ هو محيط القاعدة المربعة. إذا قمنا بتعميم هذا التعبير على حالة القاعدة التعسفية ، فيمكن حساب السطح الجانبي للمنشور المستطيل على النحو التالي:

S_b=P_o h

حيث P_oهو محيط القاعدة

بالعودة إلى مشكلة حساب مساحة المنشور الرباعي الزوايا العادي ، يمكننا كتابة الصيغة النهائية:

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4أح=2أ(أ + 2ح)

مساحة خط متوازي مائل

حسابها أصعب إلى حد ما من حساب مستطيل. في هذه الحالة ، يتم حساب مساحة قاعدة المنشور الرباعي الزوايا باستخدام نفس الصيغة المستخدمة في متوازي الأضلاع. التغييرات تتعلق بالطريقة التي يتم بها تحديد مساحة السطح الجانبية.

للقيام بذلك ، استخدم نفس الصيغة من خلال المحيط كما هو موضح في الفقرة أعلاه. الآن فقط سيكون لها مضاعفات مختلفة قليلاً. الصيغة العامة لـ S_bفي حالة المنشور المائل هي:

S_b=P_sr c

هنا c هو طول الحافة الجانبية للشكل.القيمة P_srهي محيط الشريحة المستطيلة. تم بناء هذه البيئة على النحو التالي: من الضروري تقاطع جميع الوجوه الجانبية مع مستوى بحيث تكون متعامدة مع كل منهم. سيكون المستطيل الناتج هو القطع المطلوب.

يوضح الشكل أعلاه مثالاً لمربع مائل. يشكل المقطع العرضي لها زوايا قائمة مع الجوانب. محيط القسم هو P_sr. يتكون من أربعة ارتفاعات من متوازي الأضلاع الجانبية. بالنسبة لهذا المنشور الرباعي الزوايا ، يتم حساب مساحة السطح الجانبية باستخدام الصيغة أعلاه.

طول قطري متوازي المستطيلات

قطري خط متوازي السطوح هو مقطع يربط بين رأسين ليس لهما جوانب مشتركة تشكلهما. لا يوجد سوى أربعة أقطار في أي منشور رباعي الزوايا. بالنسبة لشكل شبه متوازي مستطيل في قاعدته ، فإن أطوال جميع الأقطار متساوية مع بعضها البعض.

يوضح الشكل أدناه الرقم المقابل. الجزء الأحمر قطريه.

حساب طوله بسيط جدًا ، إذا كنت تتذكر نظرية فيثاغورس. يمكن لكل طالب الحصول على الصيغة المطلوبة. وتتميز بالشكل التالي:

D=√ (أ²+ B²+ C²)

هنا D هو طول القطر. الأحرف المتبقية هي أطوال جوانب الصندوق.

كثير من الناس يخلطون بين قطري خط متوازي وأقطار جوانبه. يوجد أدناه صورة ملونة بهاالمقاطع تمثل قطري جوانب الشكل.

يتم تحديد طول كل منهما أيضًا بواسطة نظرية فيثاغورس ويساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات أطوال الأضلاع المقابلة.

حجم المنشور

بالإضافة إلى مساحة المنشور الرباعي الزوايا العادي أو أنواع أخرى من المنشورات ، لحل بعض المشكلات الهندسية ، يجب أن تعرف أيضًا حجمها. يتم حساب هذه القيمة لأي منشور على الإطلاق بالصيغة التالية:

V=S_o h

إذا كان المنشور مستطيلاً ، فيكفي حساب مساحة قاعدته وضربها في طول حافة الضلع للحصول على حجم الشكل.

إذا كان المنشور عبارة عن منشور رباعي الزوايا منتظم ، فسيكون حجمه:

V=أ² ح.

من السهل أن نرى أن هذه الصيغة يتم تحويلها إلى تعبير عن حجم المكعب إذا كان طول الحافة الجانبية h يساوي جانب القاعدة أ.

مشكلة متوازي المستطيلات

لدمج المادة المدروسة سنحل المشكلة التالية: يوجد متوازي سطوح مستطيل طول ضلعه 3 سم و 4 سم و 5 سم ، ومن الضروري حساب مساحة سطحه وطوله القطري وحجمه.

للدقة سنفترض أن قاعدة الشكل عبارة عن مستطيل طول ضلعه 3 سم و 4 سم ، ثم مساحته 12 سم²، والنقطة هي 14 سم. باستخدام صيغة مساحة سطح المنشور ، نحصل على:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94 سم2

لتحديد طول القطر وحجم الشكل ، يمكنك استخدام التعابير أعلاه مباشرة:

D=√ (3²+ 4²+ 5²)=7.071 سم ؛

V=345=60 سم³.

مشكلة في خط متوازي مائل

يوضح الشكل أدناه منشورًا مائلًا. أضلاعه متساوية: أ=10 سم ، ب=8 سم ، ج=12 سم ، تحتاج إلى إيجاد مساحة سطح هذا الشكل.

أولاً ، دعنا نحدد مساحة القاعدة. يوضح الشكل أن الزاوية الحادة هي 50^o. ثم مساحتها هي:

S_o=ha=sin (50^o)ba

لتحديد مساحة السطح الجانبي يجب إيجاد محيط المستطيل المظلل. جوانب هذا المستطيل هيsin (45^o) و bsin (60^o). ثم محيط هذا المستطيل هو:

P_sr=2(asin (45^o) + bsin (60^o))

إجمالي مساحة هذا الصندوق هي:

S=2S_o+ S_b=2(الخطيئة (50^o)ba + acsin (45^o) + bcsin (60^o))

نستبدل البيانات من حالة المشكلة بأطوال جوانب الشكل ونحصل على الجواب:

S=458 ، 5496 سم³

يمكن أن نرى من حل هذه المشكلة أن الدوال المثلثية تستخدم لتحديد مناطق الأشكال المائلة.