مساحة السطح الجانبي لهرم منتظم رباعي الزوايا: صيغ وأمثلة على المشاكل

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

المشاكل الهندسية النموذجية في المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد هي مشاكل تحديد مساحات السطح ذات الأشكال المختلفة. في هذه المقالة ، نقدم صيغة مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا منتظم.

ما هو الهرم؟

دعونا نعطي تعريفًا هندسيًا صارمًا للهرم. افترض أن هناك بعض المضلعات مع n جوانب و n من الزوايا. نختار نقطة عشوائية في الفضاء لن تكون في مستوى n-gon المحدد ، ونوصلها بكل رأس من رأس المضلع. سوف نحصل على شكل له بعض الحجم ، والذي يسمى هرم n-gonal. على سبيل المثال ، دعنا نظهر في الشكل أدناه كيف يبدو شكل هرم خماسي.

عنصران مهمان لأي هرم هما قاعدته (n-gon) والجزء العلوي. ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال n مثلثات ، والتي بشكل عام لا تساوي بعضها البعض. عمودي انخفض منمن أعلى إلى أسفل يسمى ارتفاع الشكل. إذا تقاطع مع القاعدة في المركز الهندسي (يتزامن مع مركز كتلة المضلع) ، فإن هذا الهرم يسمى بالخط المستقيم. بالإضافة إلى هذا الشرط ، إذا كانت القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، فإن الهرم بأكمله يسمى منتظم. يوضح الشكل أدناه شكل الأهرامات العادية مع قواعد مثلثة ورباعية وخماسية وسداسية.

سطح الهرم

قبل الانتقال إلى مسألة مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا منتظم ، يجب أن نتعمق في مفهوم السطح نفسه.

كما ذكرنا سابقاً و موضح بالأشكال فإن أي هرم يتكون من مجموعة وجوه أو جوانب. أحد الأضلاع هو القاعدة و n عبارة عن مثلثات. سطح الشكل كله هو مجموع مساحات كل جانب من جوانبها.

من المريح دراسة السطح على مثال الشكل الذي يتكشف. يظهر مسح لهرم رباعي الزوايا منتظم في الأشكال أدناه.

نرى أن مساحة سطحه تساوي مجموع أربع مناطق من مثلثات متساوية الساقين متطابقة ومساحة المربع.

المساحة الإجمالية لجميع المثلثات التي تشكل جوانب الشكل تسمى مساحة السطح الجانبي. بعد ذلك ، سنوضح كيفية حسابه لهرم رباعي الزوايا منتظم.

مساحة السطح الجانبي لهرم منتظم رباعي الزوايا

لحساب المساحة الجانبيةسطح الشكل المحدد ، ننتقل مرة أخرى إلى الفحص أعلاه. افترض أننا نعرف ضلع القاعدة المربعة. دعنا نشير إليها بالرمز أ. يمكن ملاحظة أن طول قاعدة كل من المثلثات الأربعة المتطابقة a. لحساب مساحتها الإجمالية ، تحتاج إلى معرفة هذه القيمة لمثلث واحد. من المعروف من مسار الهندسة أن مساحة المثلث S_{tتساوي حاصل ضرب القاعدة والارتفاع ، اللذان يجب تقسيمهما إلى النصف. هذا هو:}

S_t=1/2h_{b a.}

حيث h_bهو ارتفاع مثلث متساوي الساقين مرسوم على القاعدة أ. بالنسبة للهرم ، هذا الارتفاع هو الحرم. يبقى الآن مضاعفة التعبير الناتج في 4 للحصول على المساحة S_{bمن السطح الجانبي للهرم المعني:}

S_b=4S_t=2h_{b a.}

تحتوي هذه الصيغة على معلمتين: العروة وجانب القاعدة. إذا كانت الأخيرة معروفة في معظم حالات المشكلات ، فيجب حساب الأولى بمعرفة كميات أخرى. فيما يلي الصيغ لحساب apotema h_{bلحالتين:}

عندما يعرف طول الضلع الجانبي ؛
عند معرفة ارتفاع الهرم

إذا أشرنا إلى طول الحافة الجانبية (جانب مثلث متساوي الساقين) بالرمز L ، فإن apotema h_{bيتم تحديده بالصيغة:}

h_b=√ (L²- a^{2/ 4).}

هذا التعبير هو نتيجة تطبيق نظرية فيثاغورس لمثلث السطح الجانبي.

إذا كان معروفًاالارتفاع h للهرم ، ثم الأبوتيما h_{bيمكن حسابها على النحو التالي:}

h_b=√ (h²+ a^{2/ 4).}

الحصول على هذا التعبير ليس صعبًا أيضًا إذا اعتبرنا داخل الهرم مثلثًا قائم الزاوية يتكون من الأرجل h و a / 2 والوتر h_b.

دعونا نوضح كيفية تطبيق هذه الصيغ من خلال حل مشكلتين مهمتين.

مشكلة في مساحة السطح المعروفة

من المعروف أن مساحة السطح الجانبي لهرم رباعي الزوايا هي 108 سم². من الضروري حساب قيمة طول ملفه h_{b، إذا كان ارتفاع الهرم 7 سم.}

لنكتب معادلة المساحة S_{bمن السطح الجانبي من خلال الارتفاع. لدينا:}

S_b=2√ (h²+ a^{2/ 4)أ}

هنا قمنا فقط باستبدال صيغة apotema المقابلة في تعبير S_{b. لنقم بتربيع طرفي المعادلة:}

S_b²=4a² h²+ a^4.

للعثور على قيمة a ، دعنا نغير المتغيرات:

a2=t ؛

t²+ 4h² t - S_b^2=0.

نحن الآن نستبدل القيم المعروفة ونحل المعادلة التربيعية:

t2+ 196t - 11664=0.

ر ≈ 47 ، 8355.

كتبنا فقط الجذر الإيجابي لهذه المعادلة. ثم تكون جوانب قاعدة الهرم:

a=√t=√47.8355 6.916 سم.

للحصول على طول الوصلة ،فقط استخدم الصيغة:

h_b=√ (h²+ a²/ 4)=√ (7²+ 6، 916^{2/ 4) ≈ 7 ، 808 انظر}

السطح الجانبي لهرم خوفو

تحديد قيمة مساحة السطح الجانبي لأكبر هرم مصري. من المعروف أن مربعًا طول ضلعه 230.363 مترًا عند قاعدته. كان ارتفاع الهيكل في الأصل 146.5 متر. استبدل هذه الأرقام في الصيغة المقابلة لـ S_{b، نحصل على:}