جادل فيثاغورس بأن الرقم يكمن وراء العالم إلى جانب العناصر الأساسية. يعتقد أفلاطون أن الرقم يربط بين الظاهرة ونومينون ، مما يساعد على إدراك وقياس واستخلاص النتائج. يأتي الحساب من كلمة "arithmos" - رقم ، بداية البدايات في الرياضيات. يمكنه وصف أي كائن - من التفاحة الأولية إلى الفراغات المجردة.
الاحتياجات كعامل تنموي
في المراحل الأولى من تكوين المجتمع ، اقتصرت احتياجات الناس على الحاجة إلى الاحتفاظ بالعد - كيس واحد من الحبوب ، وكيسان من الحبوب ، وما إلى ذلك. كانت الأعداد الطبيعية كافية لذلك ، ومجموعتها هي تسلسل موجب لانهائي من الأعداد الصحيحة N.
لاحقًا ، مع تطور الرياضيات كعلم ، كانت هناك حاجة إلى مجال منفصل من الأعداد الصحيحة Z - يتضمن القيم السالبة والصفر. تم استفزاز ظهورها على مستوى الأسرة من خلال حقيقة أنه في المحاسبة الأولية كان من الضروري الإصلاح بطريقة ماالديون والخسائر. على المستوى العلمي ، جعلت الأرقام السالبة من الممكن حل أبسط المعادلات الخطية. من بين أشياء أخرى ، أصبحت صورة نظام الإحداثيات التافهة ممكنة الآن ، منذ ظهور نقطة مرجعية.
كانت الخطوة التالية هي الحاجة إلى إدخال الأعداد الكسرية ، نظرًا لأن العلم لم يتوقف عن العمل ، تطلب المزيد والمزيد من الاكتشافات أساسًا نظريًا لقوة دافعة جديدة للنمو. هذه هي الطريقة التي ظهر بها مجال الأرقام المنطقية Q.
أخيرًا ، توقفت العقلانية عن تلبية الطلبات ، لأن كل الاستنتاجات الجديدة تتطلب تبريرًا. ظهر مجال الأعداد الحقيقية R ، أعمال إقليدس حول عدم قابلية القياس لكميات معينة بسبب لاعقلانيتها. وهذا يعني أن علماء الرياضيات اليونانيين القدماء وضعوا الرقم ليس فقط على أنه ثابت ، ولكن أيضًا باعتباره كمية مجردة ، والتي تتميز بنسبة الكميات غير القابلة للقياس. نظرًا لظهور الأعداد الحقيقية ، فإن كميات مثل "pi" و "e" "رأيت النور" ، والتي بدونها لا يمكن للرياضيات الحديثة أن تحدث.
كان الابتكار الأخير هو الرقم المركب C. لقد أجاب على عدد من الأسئلة ودحض الافتراضات المقدمة مسبقًا. نظرًا للتطور السريع في علم الجبر ، كانت النتيجة متوقعة - وجود أرقام حقيقية ، كان حل العديد من المشكلات مستحيلًا. على سبيل المثال ، بفضل الأعداد المركبة ، برزت نظرية الأوتار والفوضى ، وتوسعت معادلات الديناميكا المائية.
نظرية المجموعة. كانتور
مفهوم اللانهاية في جميع الأوقاتتسبب في الجدل ، لأنه لا يمكن إثباته أو دحضه. في سياق الرياضيات ، التي تعمل بمسلمات تم التحقق منها بدقة ، تجلى هذا بشكل أكثر وضوحًا ، خاصة وأن الجانب اللاهوتي لا يزال له وزن في العلم.
ومع ذلك ، بفضل عمل عالم الرياضيات جورج كانتور ، سقط كل شيء في مكانه بمرور الوقت. لقد أثبت أن هناك عددًا لا حصر له من المجموعات اللانهائية ، وأن الحقل R أكبر من الحقل N ، حتى لو لم يكن لكلاهما نهاية. في منتصف القرن التاسع عشر ، سميت أفكاره بصوت عالٍ بالهراء وجريمة ضد الشرائع الكلاسيكية التي لا تتزعزع ، لكن الوقت وضع كل شيء في مكانه.
الخصائص الأساسية للحقل R
الأرقام الحقيقية لا تحتوي فقط على نفس الخصائص مثل المجموعات الفرعية التي تم تضمينها فيها ، ولكن يتم استكمالها أيضًا بواسطة أخرى بسبب مقياس عناصرها:
- صفر موجود وينتمي إلى الحقل R. c + 0=c لأي c من R.
- صفر موجود وينتمي إلى الحقل R. c x 0=0 لأي c من R.
- العلاقة c: d لـ d ≠ 0 موجودة وهي صالحة لأي c، d من R.
- الحقل R مرتب ، أي إذا كان c ≦ d ، d ≦ c ، ثم c=d لأي c ، d من R.
- الإضافة في الحقل R تبادلية ، أي c + d=d + c لأي c ، d من R.
- الضرب في الحقل R هو تبادلي ، أي c x d=d x c لأي c ، d من R.
- الإضافة في الحقل R ارتباطية ، أي (c + d) + f=c + (d + f) لأي c ، d ، f من R.
- الضرب في الحقل R هو ترابطي ، أي (c x d) x f=c x (d x f) لأي c ، d ، f من R.
- لكل رقم في الحقل R ، هناك عكس ، مثل c + (-c)=0 ، حيث c ، -c من R.
- لكل رقم من الحقل R هناك معكوسه ، مثل أن c x c-1=1 ، حيث c ، c-1من R.
- الوحدة موجودة وتنتمي إلى R ، لذا c x 1=c ، لأي c من R.
- قانون التوزيع صالح ، لذا c x (d + f)=c x d + c x f ، لأي c ، d ، f من R.
- في الحقل R ، الصفر لا يساوي واحد
- الحقل R متعد: إذا كان c ≦ d ، d ≦ f ، ثم c ≦ f لأي c ، d ، f من R.
- في الحقل R ، الترتيب والإضافة مرتبطان: إذا كان c ≦ d ، ثم c + f ≦ d + f لأي c ، d ، f من R.
- في الحقل R ، الترتيب والضرب مرتبطان: إذا 0 ≦ c ، 0 ≦ d ، ثم 0 ≦ c x d لأي c ، d من R.
- كل من الأعداد الحقيقية السالبة والموجبة متصلة ، أي بالنسبة لأي c ، d من R ، يوجد f من R مثل c ≦ f ≦ d.
الوحدة النمطية في الحقل R
الأرقام الحقيقية تشمل المعامل.
يشار إليه بـ | f | لأي f من R. | f |=f إذا 0 ≦ f و | f |=-f إذا كانت 0 > f. إذا اعتبرنا المعامل كمية هندسية ، فهذه هي المسافة المقطوعة - لا يهم إذا "تجاوزت" صفرًا إلى سالب أو تقدمت إلى موجب.
أرقام معقدة وحقيقية. ما هي اوجه الشبه و ما الفرق؟
بشكل عام ، فإن الأرقام المعقدة والحقيقية هي واحدة ونفس الشيء ، باستثناء ذلكالوحدة التخيلية i التي يكون مربعها -1. يمكن تمثيل عناصر الحقلين R و C بالصيغة التالية:
c=d + f x i ، حيث تنتمي d و f إلى الحقل R و i هي الوحدة التخيلية
للحصول على c من R في هذه الحالة ، يتم تعيين f ببساطة مساوية للصفر ، أي أن الجزء الحقيقي فقط من الرقم يبقى. نظرًا لحقيقة أن مجال الأعداد المركبة له نفس مجموعة الخصائص مثل مجال الأعداد الحقيقية ، f x i=0 إذا كانت f=0.
فيما يتعلق بالاختلافات العملية ، على سبيل المثال ، في الحقل R ، لا يتم حل المعادلة التربيعية إذا كان المميز سالبًا ، بينما لا يفرض الحقل C مثل هذا التقييد بسبب إدخال الوحدة التخيلية i.
النتائج
"قوالب" البديهيات والمسلمات التي تستند إليها الرياضيات لا تتغير. بسبب زيادة المعلومات وإدخال نظريات جديدة ، يتم وضع "الطوب" التالي على بعضها ، والتي يمكن أن تصبح في المستقبل أساسًا للخطوة التالية. على سبيل المثال ، الأرقام الطبيعية ، على الرغم من حقيقة أنها مجموعة فرعية من الحقل الحقيقي R ، لا تفقد ملاءمتها. عليهم أن كل العمليات الحسابية الأولية ، والتي من خلالها تبدأ معرفة الإنسان بالعالم.
من وجهة نظر عملية ، تبدو الأرقام الحقيقية كخط مستقيم. يمكنك اختيار الاتجاه وتحديد الأصل والخطوة. يتكون الخط المستقيم من عدد لا حصر له من النقاط ، كل منها يتوافق مع رقم حقيقي واحد ، بغض النظر عما إذا كان منطقيًا أم لا. يتضح من الوصف أننا نتحدث عن مفهوم بنيت عليه كل من الرياضيات بشكل عام والتحليل الرياضي بشكل عام.خاص.
