عند دراسة أي شكل مكاني على الإطلاق ، من المهم معرفة كيفية حساب حجمه. تقدم هذه المقالة صيغة لحجم هرم رباعي الزوايا منتظم ، وتوضح أيضًا كيف يجب استخدام هذه الصيغة باستخدام مثال لحل المشكلات.
ما الهرم الذي نتحدث عنه
يعرف كل طالب في المدرسة الثانوية أن الهرم هو متعدد الوجوه يتكون من مثلثات ومضلع. هذا الأخير هو أساس الشكل. المثلثات لها ضلع مشترك مع القاعدة وتتقاطع عند نقطة واحدة وهي قمة الهرم.
يتميز كل هرم بطول أضلاع القاعدة وطول الضلع الجانبي والارتفاع. هذا الأخير عبارة عن مقطع عمودي ، يتم خفضه إلى القاعدة من أعلى الشكل.
الهرم العادي رباعي الزوايا هو شكل ذو قاعدة مربعة ، يتقاطع ارتفاعه مع هذا المربع في مركزه. ولعل أشهر مثال على هذا النوع من الأهرامات هو الهياكل الحجرية المصرية القديمة. يوجد أدناه صورةأهرامات خوفو
الشكل قيد الدراسة له خمسة وجوه ، أربعة منها مثلثات متساوية الساقين متطابقة. كما أنه يتميز بخمسة رؤوس ، أربعة منها تنتمي إلى القاعدة ، وثمانية حواف (4 حواف للقاعدة و 4 حواف من الوجوه الجانبية).
صيغة حجم الهرم رباعي الزوايا صحيحة
حجم الشكل المعني جزء من المساحة المحددة بخمسة جوانب. لحساب هذا الحجم ، نستخدم الاعتماد التالي لمساحة الشريحة الموازية لقاعدة الهرم Szعلى الإحداثي العمودي z:
Sz=So (h - z / h)2
هنا Soهي مساحة القاعدة المربعة. إذا عوضنا عن z=h في التعبير المكتوب ، فسنحصل على قيمة صفرية لـ Sz. تتوافق قيمة z هذه مع شريحة تحتوي على الجزء العلوي من الهرم فقط. إذا كانت z=0 ، فإننا نحصل على قيمة منطقة الأساس So.
من السهل العثور على حجم الهرم إذا كنت تعرف الوظيفة Sz(z) ، لذلك يكفي قطع الشكل إلى عدد لا نهائي من طبقات موازية للقاعدة ، ثم تنفيذ عملية التكامل. أتبع هذه التقنية ، ونحصل على:
V=∫0h(Sz)dz=-S0 (h-z)3/ (3h2) |0h=1/3S0 h.
لأن S0هومساحة القاعدة المربعة ، إذن ، مع الإشارة إلى جانب المربع بالحرف أ ، نحصل على صيغة حجم الهرم رباعي الزوايا العادي:
V=1/3a2 h.
الآن دعنا نستخدم أمثلة لحل المشكلات لإظهار كيفية تطبيق هذا التعبير.
مشكلة تحديد حجم الهرم من خلال فتحه وحافته الجانبية
شكل الهرم هو ارتفاع مثلثه الجانبي ، والذي ينخفض إلى جانب القاعدة. نظرًا لأن جميع المثلثات متساوية في الهرم العادي ، فإن أعمدةها ستكون هي نفسها أيضًا. دعونا نشير إلى طوله بالرمز hb. تشير إلى الحافة الجانبية ب
مع العلم أن مساحة الهرم 12 سم ، وحافته الجانبية 15 سم ، أوجد حجم هرم منتظم رباعي الزوايا.
تحتوي صيغة حجم الشكل المكتوبة في الفقرة السابقة على معاملين: طول الضلع a والارتفاع h. في الوقت الحالي ، لا نعرف أيًا منهم ، لذلك دعونا نلقي نظرة على حساباتهم.
من السهل حساب طول ضلع المربع أ إذا استخدمت نظرية فيثاغورس لمثلث قائم الزاوية ، حيث يكون الوتر هو الحافة ب ، والأرجل هي العروة hبونصف جانب القاعدة أ / 2. نحصل على:
b2=hb2+ a2/ 4=>
a=2√ (b2- hb2).
باستبدال القيم المعروفة من الحالة ، نحصل على القيمة a=18 سم.
لحساب ارتفاع الهرم h ، يمكنك فعل شيئين: ضع في اعتبارك المستطيلمثلث ذو حافة جانبية وترية أو مع وتر المثلث. كلتا الطريقتين متساويتان وتنطويان على أداء نفس العدد من العمليات الحسابية. دعونا نتناول بالتفكير في المثلث ، حيث يكون الوتر هو الحرف hb. ستكون الأرجل الموجودة فيه h و a / 2. ثم نحصل على:
h=√ (hb2-a2/ 4)=√ (122- 182/ 4)=7 ، 937 سم.
الآن يمكنك استخدام صيغة المجلد الخامس:
V=1/3a2 h=1/3182 7 ، 937=857 ، 196 سم3.
وبالتالي فإن حجم الهرم العادي رباعي الزوايا يبلغ حوالي 0.86 لتر.
حجم هرم خوفو
الآن دعونا نحل مشكلة شيقة ومهمة عمليًا: إيجاد حجم أكبر هرم في الجيزة. ومعلوم من المؤلفات أن الارتفاع الأصلي للمبنى كان 146.5 مترًا ، وطول قاعدته 230.363 مترًا. تسمح لنا هذه الأرقام بتطبيق الصيغة لحساب V. نحصل على:
V=1/3a2 h=1/3230 ، 3632 146 ، 5 2591444 م3.
القيمة الناتجة تقريبًا 2.6 مليون م3. هذا الحجم يتوافق مع حجم مكعب طول ضلعه 137.4 متر
