غالبًا ما تظهر المعادلات الرباعية في عدد من المشكلات في الرياضيات والفيزياء ، لذلك يجب أن يكون كل طالب قادرًا على حلها. توضح هذه المقالة بالتفصيل الطرق الرئيسية لحل المعادلات التربيعية ، كما تقدم أمثلة على استخدامها.
ما تسمى المعادلة التربيعية
بادئ ذي بدء ، سنجيب على سؤال هذه الفقرة من أجل فهم أفضل لما ستتناوله المقالة. لذلك ، فإن المعادلة التربيعية لها الشكل العام التالي: ج + بس + أس2=0 ، حيث أ ، ب ، ج هي بعض الأرقام ، والتي تسمى المعاملات. هنا ≠ 0 هو شرط إلزامي ، وإلا فإن المعادلة المشار إليها تنحرف إلى حالة خطية. يمكن للمعاملات المتبقية (ب ، ج) أن تأخذ أي قيم على الإطلاق ، بما في ذلك الصفر. وبالتالي ، فإن التعبيرات مثل ax2=0 ، حيث b=0 و c=0 ، أو c + ax2=0 ، حيث ب=0 ، أو bx + ax2=0 ، حيث c=0 هي أيضًا معادلات تربيعية ، والتي تسمى غير مكتملة ، نظرًا لأن المعامل الخطي b فيها يساوي صفرًا أو صفرًاهو مصطلح مجاني ج ، أو كلاهما يتلاشى.
معادلة تسمى فيها a=1 مختزلة ، أي لها الشكل: x2+ с / a + (b / a)x=0.
حل المعادلة التربيعية هو إيجاد قيم x التي تحقق المساواة. تسمى هذه القيم بالجذور. نظرًا لأن المعادلة قيد الدراسة هي تعبير عن الدرجة الثانية ، فهذا يعني أن الحد الأقصى لعدد جذورها لا يمكن أن يتجاوز اثنين.
ما هي طرق حل المعادلات المربعة الموجودة
بشكل عام ، هناك 4 طرق للحل. أسمائهم مذكورة أدناه:
- العوملة.
- إضافة إلى المربع.
- باستخدام صيغة معروفة (عبر المميز).
- طريقة الحل هندسية.
كما ترى من القائمة أعلاه ، فإن الطرق الثلاث الأولى جبرية ، لذلك يتم استخدامها في كثير من الأحيان أكثر من الطريقة السابقة ، والتي تتضمن رسم دالة.
هناك طريقة أخرى لحل المعادلات المربعة باستخدام نظرية فيتا. يمكن تضمينه في المرتبة الخامسة في القائمة أعلاه ، ومع ذلك ، لم يتم ذلك ، نظرًا لأن نظرية فييتا هي نتيجة بسيطة للطريقة الثالثة.
لاحقًا في المقالة سننظر بمزيد من التفصيل في طرق الحل المسماة ، ونقدم أيضًا أمثلة على استخدامها للعثور على جذور معادلات محددة.
الطريقة رقم 1. التخصيم
لهذه الطريقة في رياضيات المعادلات التربيعية ، هناك طريقة جميلةالاسم: التحليل إلى عوامل. جوهر هذه الطريقة هو كما يلي: من الضروري تقديم المعادلة التربيعية كمنتج من مصطلحين (التعبيرات) ، والتي يجب أن تكون مساوية للصفر. بعد هذا التمثيل ، يمكنك استخدام خاصية المنتج ، والتي ستكون مساوية للصفر فقط عندما يكون واحد أو أكثر (كل) من أعضائها صفرًا.
الآن ضع في اعتبارك تسلسل الإجراءات المحددة التي يجب تنفيذها للعثور على جذور المعادلة:
- انقل كل الأعضاء إلى جزء واحد من التعبير (على سبيل المثال ، إلى اليسار) بحيث يبقى 0 فقط في الجزء الآخر (يمين).
- تمثيل مجموع المصطلحات في جزء واحد من المعادلة كمنتج لمعادلتين خطيتين.
- اضبط كل من التعبيرات الخطية على الصفر وحلها.
كما ترى ، فإن خوارزمية العوامل بسيطة للغاية ، ومع ذلك ، يواجه معظم الطلاب صعوبات أثناء تنفيذ النقطة الثانية ، لذلك سنشرحها بمزيد من التفصيل.
لتخمين أي من التعبيرات الخطية ، عند ضرب بعضها البعض ، ستعطي المعادلة التربيعية المرغوبة ، عليك أن تتذكر قاعدتين بسيطتين:
- يجب أن تعطي المعامِلات الخطية لتعبيرات خطية ، عند ضرب بعضها البعض ، المعامل الأول للمعادلة التربيعية ، أي الرقم أ.
- يجب أن تعطي المصطلحات المجانية للتعبيرات الخطية ، عند ضربها ، الرقم c من المعادلة المطلوبة.
بعد تحديد جميع أعداد العوامل ، يجب مضاعفتها ، وإذا أعطت المعادلة المطلوبة ، فانتقل إلى الخطوة 3 فيالخوارزمية أعلاه ، وإلا يجب تغيير المضاعفات ، لكن عليك القيام بذلك حتى يتم اتباع القواعد المذكورة أعلاه دائمًا.
مثال على الحل بطريقة العوامل
دعونا نوضح بوضوح كيف تقوم خوارزمية حل المعادلة التربيعية بتكوين وإيجاد جذور غير معروفة. اسمح بتعبير تعسفي ، على سبيل المثال ، 2x-5 + 5x2-2x2=x2 + 2 + x2+ 1. دعنا ننتقل إلى حلها ، مع ملاحظة تسلسل النقاط من 1 إلى 3 ، والتي تم تحديدها في الفقرة السابقة من المقالة.
العنصر 1. انقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر ورتبها في التسلسل الكلاسيكي للحصول على معادلة من الدرجة الثانية. لدينا المساواة التالية: 2x + (- 8) + x2=0.
العنصر 2. نقوم بتقسيمه إلى منتج معادلات خطية. بما أن a=1 و c=-8 ، فسنختار ، على سبيل المثال ، مثل هذا المنتج (x-2)(x + 4). يفي بقواعد العثور على العوامل المتوقعة المنصوص عليها في الفقرة أعلاه. إذا فتحنا الأقواس ، نحصل على: -8 + 2x + x2، أي ، نحصل على نفس التعبير تمامًا كما هو الحال في الجانب الأيسر من المعادلة. هذا يعني أننا خمّننا المضاعفات بشكل صحيح ، ويمكننا الانتقال إلى الخطوة الثالثة من الخوارزمية.
العنصر 3. مساواة كل عامل بالصفر ، نحصل على: x=-4 و x=2.
إذا كانت هناك شكوك حول النتيجة ، فمن المستحسن التحقق من ذلك عن طريق استبدال الجذور التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية. في هذه الحالة ، لدينا: 22 + 22-8=0 و 2(- 4) + (- 4)2-8=0. تم العثور على الجذور بشكل صحيح.
وهكذا ، باستخدام طريقة التحليل ، وجدنا أن المعادلة المعطاة لها جذرين مختلفينلديها: 2 و -4.
الطريقة رقم 2. تكملة للمربع الكامل
في جبر المعادلات التربيعية ، لا يمكن دائمًا استخدام طريقة المضاعف ، لأنه في حالة القيم الكسرية لمعاملات المعادلة التربيعية ، تنشأ صعوبات في تنفيذ الفقرة 2 من الخوارزمية.
طريقة التربيع الكاملة ، بدورها ، عالمية ويمكن تطبيقها على المعادلات التربيعية من أي نوع. جوهرها هو إجراء العمليات التالية:
- يجب نقل شروط المعادلة التي تحتوي على المعاملين a و b إلى جزء من المعادلة ، والمصطلح المجاني c إلى الآخر.
- بعد ذلك ، يجب تقسيم أجزاء المساواة (يمينًا ويسارًا) على المعامل أ ، أي تقديم المعادلة في الصورة المختصرة (أ=1).
- اجمع الحدود ذات المعاملين a و b لتمثيلها كمربع لمعادلة خطية. بما أن a \u003d 1 ، فإن المعامل الخطي سيكون مساوياً لـ 1 ، أما بالنسبة للمصطلح الحر للمعادلة الخطية ، فيجب أن يكون مساوياً لنصف المعامل الخطي للمعادلة التربيعية المختزلة. بعد رسم مربع التعبير الخطي ، من الضروري إضافة الرقم المقابل إلى الجانب الأيمن من المساواة ، حيث يوجد المصطلح المجاني ، والذي يتم الحصول عليه من خلال توسيع المربع.
- خذ الجذر التربيعي بعلامات "+" و "-" وحل المعادلة الخطية التي تم الحصول عليها بالفعل.
قد يُنظر إلى الخوارزمية الموصوفة للوهلة الأولى على أنها معقدة نوعًا ما ، ومع ذلك ، من الناحية العملية ، من الأسهل تنفيذها من طريقة التحليل.
مثال على حل باستخدام مكمل المربع الكامل
دعنا نعطي مثالاً لمعادلة تربيعية لتدريب حلها بالطريقة الموضحة في الفقرة السابقة. دع المعادلة التربيعية -10-6x + 5x2=0 نبدأ في حلها باتباع الخوارزمية الموضحة أعلاه.
العنصر 1. نستخدم طريقة التحويل عند حل المعادلات المربعة ، ونحصل على: - 6x + 5x2=10.
النقطة 2. يتم الحصول على الشكل المختزل لهذه المعادلة عن طريق القسمة على الرقم 5 لكل من أعضائها (إذا تم تقسيم كلا الجزأين أو ضربهما بنفس الرقم ، فسيتم الحفاظ على المساواة). نتيجة للتحولات ، نحصل على: x2- 6/5x=2.
العنصر 3. نصف المعامل - 6/5 يساوي -6/10=-3/5 ، استخدم هذا الرقم لإكمال المربع ، نحصل على: (-3 / 5 + x) 2. نقوم بتوسيعه ويجب طرح المصطلح الحر الناتج من الجانب الأيسر من المساواة من أجل تلبية الشكل الأصلي للمعادلة التربيعية ، وهو ما يعادل إضافته إلى الجانب الأيمن. نتيجة لذلك ، نحصل على: (-3 / 5 + x)2=59 / 25.
العنصر 4. احسب الجذر التربيعي بالإشارات الموجبة والسالبة وابحث عن الجذور: x=3/5 ± √59 / 5=(3 ± √59) / 5. الجذور التي تم العثور عليها لها القيم التالية: x1=(√59 + 3) / 5 و x1=(3-√59) / 5
نظرًا لأن الحسابات التي يتم إجراؤها مرتبطة بالجذور ، فهناك احتمال كبير لارتكاب خطأ. لذلك ، يوصى بالتحقق من صحة الجذور x2و x1. نحصل على x1: 5((3 + √59) / 5)2-6(3 + √59) / 5 - 10=(9 + 59 + 6√59) / 5-18 / 5-659 / 5-10=68 / 5-68 / 5=0. استبدل الآنx2: 5((3-√59) / 5)2-6(3-√59) / 5-10=(9 + 59-6√59) / 5 - 18/5 + 659 / 5-10=68 / 5-68 / 5=0.
وهكذا ، فقد أظهرنا أن جذور المعادلة التي تم العثور عليها صحيحة.
الطريقة رقم 3. تطبيق الصيغة المعروفة
ربما تكون هذه الطريقة في حل المعادلات التربيعية هي الأبسط ، لأنها تتكون من استبدال المعاملات في صيغة معروفة. لاستخدامه ، لا تحتاج إلى التفكير في تجميع خوارزميات الحل ، يكفي تذكر صيغة واحدة فقط. هو موضح في الصورة أعلاه.
في هذه الصيغة ، يسمى التعبير الجذري (b2-4ac) المميز (D). من قيمتها تعتمد على الجذور التي يتم الحصول عليها. هناك 3 حالات:
- D>0 ، إذن فإن معادلة الجذر الثاني لها معادلات حقيقية ومختلفة.
- D=0 ، ثم يحصل المرء على الجذر ، والذي يمكن حسابه من التعبير x=-b / (a 2).
- D<0 ، إذن تحصل على جذرين وهميين مختلفين ، يتم تمثيلهما كأرقام معقدة. على سبيل المثال ، الرقم 3-5i معقد ، بينما الوحدة التخيلية i تفي بالخاصية: i2=- 1.
مثال على حل عن طريق حساب المميز
دعنا نعطي مثالا لمعادلة تربيعية للتدرب على استخدام الصيغة أعلاه. أوجد جذور -3x2-6 + 3x + 4x=0. أولاً ، احسب قيمة المميز ، نحصل على: D=b2-4ac=72-4(- 3)(- 6)=-23.
منذ الحصول على D<0 ، فهذا يعني أن جذور المعادلة المدروسة هي أعداد مركبة. دعنا نعثر عليها عن طريق استبدال القيمة التي تم العثور عليها D في الصيغة الواردة في الفقرة السابقة (تظهر أيضًا في الصورة أعلاه). نحصل على: x=7/6 ± √ (-23) / (- 6)=(7 ± i√23) /6.
الطريقة رقم 4. استخدام الرسم البياني للوظيفة
وتسمى أيضًا الطريقة الرسومية لحل المعادلات المربعة. يجب أن يقال أنه ، كقاعدة عامة ، لا يتم استخدامه للتحليل الكمي ، ولكن للتحليل النوعي للمعادلة قيد النظر.
جوهر الطريقة هو رسم دالة تربيعية y=f (x) ، وهي قطع مكافئ. بعد ذلك ، من الضروري تحديد النقاط التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع المحور السيني (X) ، ستكون جذور المعادلة المقابلة.
لمعرفة ما إذا كان القطع المكافئ سيتقاطع مع المحور X ، يكفي معرفة موضع الحد الأدنى (الحد الأقصى) واتجاه الفروع (يمكن أن تزيد أو تنقص). هناك خاصيتان لهذا المنحنى يجب تذكرهما:
- إذا كانت a>0 - القطع المكافئة للفرع موجهة لأعلى ، على العكس من ذلك ، إذا كانت a<0 ، فإنها تنخفض.
- الحد الأدنى (الأقصى) لإحداثيات القطع المكافئ هو دائمًا x=-b / (2a).
على سبيل المثال ، تحتاج إلى تحديد ما إذا كانت المعادلة لها جذور -4x + 5x2+ 10=0. سيتم توجيه القطع المكافئ المقابل لأعلى ، نظرًا لأن=5>0. إحداثياتها القصوى: س=4/10=2/5 ، ص=-42/5 + 5(2/5)2+ 10=9 ، 2. منذ يقع الحد الأدنى للمنحنى فوق المحور السيني (ص=9 ، 2) ، ثم لا يتقاطع مع الأخير لأيقيم-X. أي أن المعادلة المعطاة ليس لها جذور حقيقية.
نظرية فييتا
كما هو مذكور أعلاه ، هذه النظرية هي نتيجة للطريقة رقم 3 ، والتي تعتمد على تطبيق صيغة ذات مميز. جوهر نظرية فييتا هو أنها تسمح لك بربط معاملات المعادلة وجذورها في المساواة. دعونا نحصل على المساواة المقابلة.
دعونا نستخدم الصيغة لحساب الجذور من خلال المميز. أضف جذرين ، نحصل على: x1+ x2=-b / a. الآن دعونا نضرب الجذور ببعضها البعض: x1 x2، بعد سلسلة من التبسيط نحصل على الرقم c / a.
وهكذا ، لحل المعادلات التربيعية بواسطة نظرية فيتا ، يمكنك استخدام المساواة التي تم الحصول عليها. إذا كانت جميع المعاملات الثلاثة للمعادلة معروفة ، فيمكن إيجاد الجذور عن طريق حل النظام المناسب لهاتين المعادلتين.
مثال على استخدام نظرية فييتا
تحتاج إلى كتابة معادلة من الدرجة الثانية إذا كنت تعلم أن لها الصيغة x2+ c=-bx وجذورها هي 3 و -4.
نظرًا لأن a=1 في المعادلة قيد الدراسة ، ستبدو صيغ Vieta على النحو التالي: x2+ x1=-b و x 2 x1=p. باستبدال القيم المعروفة للجذور ، نحصل على: b=1 و c=-12. نتيجة لذلك ، ستبدو المعادلة المصغرة التربيعية المستعادة بالشكل التالي: x2-12=-1x. يمكنك استبدال قيمة الجذور فيه والتأكد من أن المساواة صحيحة.
التطبيق العكسي لنظرية فييتا ، أي حساب الجذور بواسطةالشكل المعروف للمعادلة ، يسمح للأعداد الصحيحة الصغيرة a و b و c بإيجاد الحلول بسرعة (بشكل حدسي).
