حتى في المدرسة ، يتعرف جميع الطلاب على مفهوم "الهندسة الإقليدية" ، والتي تتركز أحكامها الرئيسية حول عدة بديهيات تعتمد على عناصر هندسية مثل النقطة ، والمستوى ، والخط ، والحركة. كلهم معًا يشكلون ما كان معروفًا منذ فترة طويلة تحت مصطلح "الفضاء الإقليدي".
الفضاء الإقليدي ، الذي يعتمد تعريفه على مفهوم الضرب القياسي للمتجهات ، هو حالة خاصة للمساحة الخطية (الأفينية) التي تفي بعدد من المتطلبات. أولاً ، المنتج القياسي للمتجهات متماثل تمامًا ، أي أن المتجه ذو الإحداثيات (x ؛ y) مطابق كميًا للمتجه ذي الإحداثيات (y ؛ x) ، ولكنه عكس الاتجاه.
ثانيًا ، إذا تم تنفيذ المنتج القياسي للمتجه بنفسه ، فستكون نتيجة هذا الإجراء إيجابية. سيكون الاستثناء الوحيد هو الحالة عندما تكون الإحداثيات الأولية والنهائية لهذا المتجه مساوية للصفر: في هذه الحالة ، سيكون منتجها بنفسه أيضًا مساويًا للصفر.
ثالثًا ، المنتج العددي توزيعي ، أي أنه من الممكن تحليل أحد إحداثياته إلى مجموع قيمتين ، وهو ما لن يستلزم أي تغييرات في النتيجة النهائية للمضاعفة العددية للمتجهات. أخيرًا ، رابعًا ، عندما يتم ضرب المتجهات بنفس العدد الحقيقي ، سيزداد ناتجها القياسي أيضًا بنفس العامل.
إذا تم استيفاء جميع هذه الشروط الأربعة ، فيمكننا القول بثقة أن لدينا مساحة إقليدية.
يمكن تمييز الفضاء الإقليدي من وجهة نظر عملية بالأمثلة المحددة التالية:
- أبسط حالة هي وجود مجموعة من النواقل بمنتج عددي محدد وفقًا للقوانين الأساسية للهندسة.
- سيتم أيضًا الحصول على الفضاء الإقليدي إذا كنا نعني بالمتجهات مجموعة محددة من الأرقام الحقيقية مع صيغة معينة تصف مجموعها القياسي أو منتجها.
- حالة خاصة من الفضاء الإقليدي هي ما يسمى بمساحة الصفر ، والتي يتم الحصول عليها إذا كان الطول القياسي لكلا المتجهين يساوي الصفر.
الفضاء الإقليدي له عدد من الخصائص المحددة. أولاً ، يمكن إخراج العامل القياسي من الأقواس من كل من العامل الأول والعامل الثاني للمنتج القياسي ، ولن تتغير النتيجة من هذا بأي شكل من الأشكال. ثانيًا ، جنبًا إلى جنب مع توزيعية العنصر الأول من العدد القياسيالمنتج ، التوزيعية للعنصر الثاني تعمل أيضًا. بالإضافة إلى ذلك ، بالإضافة إلى المجموع القياسي للمتجهات ، تحدث التوزيعية أيضًا في حالة الطرح المتجه. أخيرًا ، ثالثًا ، عندما يتم ضرب المتجه بشكل عددي بصفر ، فإن النتيجة ستكون أيضًا صفراً.
وبالتالي ، فإن الفضاء الإقليدي هو أهم مفهوم هندسي يستخدم في حل المشكلات مع الترتيب المتبادل للمتجهات بالنسبة لبعضها البعض ، والذي يتميز بمفهوم مثل المنتج القياسي.
