ما هي الأعداد غير المنطقية؟ لماذا سموا ذلك؟ أين يتم استخدامها وما هي؟ قلة هم الذين يستطيعون الإجابة على هذه الأسئلة دون تردد. لكن في الحقيقة ، الإجابات عليها بسيطة للغاية ، وإن لم يكن الجميع بحاجة إليها وفي حالات نادرة جدًا
الجوهر والتسمية
الأعداد غير النسبية هي كسور عشرية غير دورية لا نهائية. ترجع الحاجة إلى تقديم هذا المفهوم إلى حقيقة أن المفاهيم الموجودة سابقًا للأرقام الحقيقية أو الحقيقية ، والأعداد الصحيحة والطبيعية والعقلانية لم تعد كافية لحل المشكلات الناشئة الجديدة. على سبيل المثال ، لحساب ما هو مربع 2 ، تحتاج إلى استخدام كسور عشرية غير متكررة لانهائية. بالإضافة إلى ذلك ، العديد من أبسط المعادلات ليس لها حل دون تقديم مفهوم العدد غير النسبي.
يتم الإشارة إلى هذه المجموعة كـ I. وكما هو واضح بالفعل ، لا يمكن تمثيل هذه القيم ككسر بسيط ، في البسط سيكون هناك عدد صحيح ، وفي المقام - عدد طبيعي
لأول مرة على الإطلاقخلافًا لذلك ، واجه علماء الرياضيات الهنود هذه الظاهرة في القرن السابع قبل الميلاد ، عندما تم اكتشاف أن الجذور التربيعية لبعض الكميات لا يمكن الإشارة إليها صراحةً. والدليل الأول على وجود مثل هذه الأرقام يُنسب إلى Pythagorean Hippasus ، الذي فعل ذلك أثناء دراسة مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. تم تقديم مساهمة جادة في دراسة هذه المجموعة من قبل بعض العلماء الآخرين الذين عاشوا قبل عصرنا. استلزم إدخال مفهوم الأعداد غير المنطقية مراجعة النظام الرياضي الحالي ، وهذا هو سبب أهميتها.
أصل الاسم
إذا كانت النسبة في اللاتينية تعني "كسر" ، "نسبة" ، فإن البادئة "ir"
تعطي هذه الكلمة المعنى المعاكس. وبالتالي ، يشير اسم مجموعة هذه الأرقام إلى أنه لا يمكن ربطها بعدد صحيح أو كسري ، فلديها مكان منفصل. هذا يتبع من جوهرهم.
مكان في التصنيف العام
تنتمي الأعداد غير المنطقية ، جنبًا إلى جنب مع الأعداد المنطقية ، إلى مجموعة الأعداد الحقيقية أو الحقيقية ، والتي بدورها تنتمي إلى الأعداد المركبة. لا توجد مجموعات فرعية ، ومع ذلك ، هناك أنواع جبرية ومتسامية ، والتي سيتم مناقشتها أدناه.
خصائص
بما أن الأعداد غير المنطقية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية ، فإن جميع خصائصها التي تمت دراستها في الحساب (وتسمى أيضًا قوانين الجبر الأساسية) تنطبق عليها.
أ + ب=ب + أ (تبادلية) ؛
(أ + ب) + ج=أ + (ب + ج)(جمعية) ؛
أ + 0=أ ؛
a + (-a)=0 (وجود الرقم المقابل) ؛
ab=ba (قانون الإزاحة) ؛
(ab) c=a (bc) (التوزيع) ؛
a (b + c)=ab + ac (قانون التوزيع) ؛
أ س 1=أ
a x 1 / a=1 (وجود رقم معكوس) ؛
تتم المقارنة أيضًا وفقًا للقوانين والمبادئ العامة:
إذا كان a > b و b > c ، فإن a > c (انتقالية النسبة) و. إلخ
بالطبع ، يمكن تحويل جميع الأرقام غير المنطقية باستخدام الحساب الأساسي. لا توجد قواعد خاصة لهذا.
بالإضافة إلى ذلك ، تنطبق بديهية أرخميدس على الأعداد غير المنطقية. تقول أنه لأي كميتين أ و ب ، فإن العبارة صحيحة أنه من خلال أخذ a كمصطلح عدد مرات كافية ، يمكنك تجاوز b.
استخدم
على الرغم من حقيقة أنه لا يتعين عليك في كثير من الأحيان التعامل معهم في الحياة العادية ، لا يمكن حساب الأرقام غير المنطقية. هناك الكثير منهم ، لكنهم غير مرئيين تقريبًا. نحن محاطون بأرقام غير منطقية في كل مكان. الأمثلة المألوفة للجميع هي الرقم pi ، الذي يساوي 3 ، 1415926 … ، أو e ، وهو أساسًا أساس اللوغاريتم الطبيعي ، 2 ، 718281828 … في الجبر وعلم المثلثات والهندسة ، يجب استخدامها باستمرار. بالمناسبة ، القيمة الشهيرة لـ "القسم الذهبي" ، أي نسبة الجزء الأكبر إلى الأصغر ، والعكس صحيح هي أيضًا
ينتمي إلى هذه المجموعة. "الفضة" الأقل شهرة - أيضًا.
توجد بكثافة شديدة على خط الأعداد ، لذلك بين أي قيمتين مرتبطتين بمجموعة القيم المنطقية ، من المؤكد حدوث قيمة غير منطقية.
لا يزال هناك الكثير من المشاكل التي لم يتم حلها المتعلقة بهذه المجموعة. هناك معايير مثل مقياس اللاعقلانية وطبيعية الرقم. يواصل علماء الرياضيات دراسة أهم الأمثلة على انتمائهم إلى مجموعة أو أخرى. على سبيل المثال ، يُعتقد أن e هو رقم عادي ، أي أن احتمال ظهور أرقام مختلفة في سجله هو نفسه. أما بالنسبة لـ pi ، فلا يزال البحث جارياً بشأنه. يُطلق على مقياس اللاعقلانية أيضًا قيمة توضح مدى جودة تقريب هذا الرقم أو ذاك بأرقام منطقية.
جبري ومتسامي
كما ذكرنا سابقًا ، يتم تقسيم الأرقام غير المنطقية شرطيًا إلى جبري ومتسامي. شرطيًا ، نظرًا لأنه ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، يتم استخدام هذا التصنيف لتقسيم المجموعة C.
يخفي هذا التعيين الأعداد المركبة التي تتضمن أرقامًا حقيقية أو حقيقية.
إذن ، القيمة الجبرية هي القيمة التي تمثل جذرًا لكثير الحدود لا يساوي الصفر تمامًا. على سبيل المثال ، سيكون الجذر التربيعي لـ 2 في هذه الفئة لأنه حل المعادلة x2- 2=0.
جميع الأرقام الحقيقية الأخرى التي لا تفي بهذا الشرط تسمى متجاوزة. لهذا التنوعقم بتضمين الأمثلة الأكثر شهرة والتي سبق ذكرها - الرقم pi وقاعدة اللوغاريتم الطبيعي e.
ومن المثير للاهتمام ، أنه لم يتم استنتاج أحد ولا الثاني من قبل علماء الرياضيات بهذه الصفة ، وقد تم إثبات لاعقلانيتهم وتجاوزهم بعد سنوات عديدة من اكتشافهم. بالنسبة لـ pi ، تم تقديم الدليل في عام 1882 وتم تبسيطه في عام 1894 ، مما وضع حدًا للجدل الذي دام 2500 عام حول مشكلة تربيع الدائرة. لا يزال الأمر غير مفهوم تمامًا ، لذا فإن علماء الرياضيات المعاصرين لديهم شيء ما للعمل عليه. بالمناسبة ، أجرى أرخميدس أول حساب دقيق بما فيه الكفاية لهذه القيمة. قبله ، كانت جميع الحسابات تقريبية للغاية.
بالنسبة لـ e (أرقام أويلر أو نابير) ، تم العثور على دليل على سموها في عام 1873. يستخدم في حل المعادلات اللوغاريتمية
تتضمن الأمثلة الأخرى قيم الجيب وجيب التمام والظل لأي قيم جبرية غير صفرية.
