أنظمة الأرقام - ما هو؟ حتى من دون معرفة الإجابة على هذا السؤال ، يستخدم كل منا بشكل لا إرادي أنظمة الأرقام في حياتنا ولا يشك في ذلك. هذا صحيح ، الجمع! هذا ليس واحدًا ، بل عدة. قبل إعطاء أمثلة على أنظمة الأرقام غير الموضعية ، دعونا نفهم هذه المشكلة ، فلنتحدث عن أنظمة تحديد المواقع أيضًا.
الفاتورة المطلوبة
منذ العصور القديمة ، كان الناس بحاجة إلى العد ، أي أنهم أدركوا بشكل حدسي أنهم بحاجة إلى التعبير بطريقة ما عن رؤية كمية للأشياء والأحداث. اقترح الدماغ أنه من الضروري استخدام الأشياء للعد. لطالما كانت الأصابع هي الأكثر ملاءمة ، وهذا مفهوم ، لأنها متوفرة دائمًا (مع استثناءات نادرة).
لذلك كان على الممثلين القدامى للجنس البشري ثني أصابعهم بالمعنى الحرفي - للإشارة إلى عدد الماموث المقتول ، على سبيل المثال. مثل هذه العناصر من الحساب ليس لها أسماء حتى الآن ، ولكن فقط صورة مرئية ، مقارنة.
أنظمة ترقيم المواقع الحديثة
نظام الأرقام هو طريقة (طريقة) لتمثيل القيم والكميات الكمية باستخدام علامات معينة (رموز أو أحرف).
من الضروري فهم ما هو موضعي وغير موضعي في العد قبل إعطاء أمثلة على أنظمة الأعداد غير الموضعية. هناك العديد من أنظمة الأرقام الموضعية. الآن يتم استخدام ما يلي في مجالات المعرفة المختلفة: ثنائي (يتضمن فقط عنصرين مهمين: 0 و 1) ، سداسي عشري (عدد الأحرف - 6) ، ثماني (أحرف - 8) ، رقم عشري (اثني عشر حرفًا) ، سداسي عشري (يتضمن ستة عشر الشخصيات). علاوة على ذلك ، يبدأ كل صف من الأحرف في الأنظمة من الصفر. تعتمد تقنيات الكمبيوتر الحديثة على استخدام الرموز الثنائية - نظام رقم الموضع الثنائي.
نظام الأرقام العشري
الموضع هو وجود مواقع مهمة بدرجات متفاوتة ، والتي توجد عليها علامات الرقم. يمكن إثبات ذلك بشكل أفضل باستخدام مثال نظام الأرقام العشري. بعد كل شيء ، تعودنا على استخدامه منذ الطفولة. هناك عشر علامات في هذا النظام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. خذ الرقم 327. له ثلاث علامات: 3 ، 2 ، 7. كل واحدة منها تقع في موقعها الخاص (المكان). السبعة يأخذون الموضع المحجوز للقيم الفردية (الوحدات) ، والعشرون - العشرات ، وثلاثة - المئات. نظرًا لأن الرقم مكون من ثلاثة أرقام ، فلا يوجد سوى ثلاثة مواضع فيه.
بناءً على ما سبق ، هذايمكن وصف عدد عشري مكون من ثلاثة أرقام على النحو التالي: ثلاث مئات وعشرات وسبع وحدات. علاوة على ذلك ، تُحسب أهمية (أهمية) المواقف من اليسار إلى اليمين ، من الموضع الضعيف (واحد) إلى الموضع الأقوى (بالمئات).
نشعر براحة شديدة في نظام الأرقام الموضعية العشري. لدينا عشرة أصابع على أيدينا ، ونفس الشيء على أقدامنا. خمسة زائد خمسة - لذلك ، بفضل الأصابع ، نتخيل بسهولة عشرات من الطفولة. هذا هو السبب في أنه من السهل على الأطفال تعلم جداول الضرب لخمسة وعشرة. ومن السهل أيضًا معرفة كيفية حساب الأوراق النقدية ، والتي غالبًا ما تكون مضاعفات (أي مقسمة بدون باقي) على خمسة وعشرة.
أنظمة الأعداد الموضعية الأخرى
لدهشة الكثيرين ، يجب القول أنه ليس فقط في نظام العد العشري ، فإن دماغنا معتاد على القيام ببعض العمليات الحسابية. حتى الآن ، ما فتئت البشرية تستخدم أنظمة الأعداد الستة والاثني عشرية. أي أنه في مثل هذا النظام لا يوجد سوى ستة أحرف (بالنظام الست عشري): 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5. يوجد اثنا عشر حرفًا في النظام الثنائي العشري: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، A ، B ، حيث A - يشير إلى الرقم 10 ، B - الرقم 11 (حيث يجب أن تكون العلامة واحدة).
احكم على نفسك. نحن نعد الوقت بستات ، أليس كذلك؟ الساعة الواحدة ستون دقيقة (ست عشرات) ، واليوم الواحد هو أربع وعشرون ساعة (مرتين في اثني عشر) ، والسنة اثني عشر شهرًا ، وهكذا … كل الفترات الزمنية تتناسب بسهولة مع السلاسل الستة والاثنا عشرية. لكننا معتادون على ذلك لدرجة أننا لا نفكر فيه حتى عند عد الوقت.
أنظمة الأعداد غير الموضعية. أحادي
من الضروري تحديد ما هو - نظام ترقيم غير موضعي. هذا هو نظام الإشارات الذي لا توجد فيه مواضع لإشارات الرقم ، أو أن مبدأ "قراءة" الرقم لا يعتمد على الموضع. كما أن لها قواعدها الخاصة في الكتابة أو الحساب.
دعونا نعطي أمثلة على أنظمة الأعداد غير الموضعية. دعنا نعود إلى العصور القديمة. احتاج الناس إلى حساب وابتكروا أبسط اختراع - عُقد. نظام الأرقام غير الموضعي عقدي. عنصر واحد (كيس أرز ، ثور ، كومة قش ، إلخ) تم حسابه ، على سبيل المثال ، عند الشراء أو البيع ، وربط عقدة على خيط.
نتيجة لذلك ، تم صنع العديد من العقد على الحبل كما تم شراء العديد من أكياس الأرز (كمثال). ولكن يمكن أن تكون أيضًا شقوقًا على عصا خشبية أو لوح حجري ، إلخ. أصبح نظام الأرقام هذا معروفًا باسم عقيدية. لديها اسم ثان - أحادي ، أو مفرد ("أونو" في اللاتينية تعني "واحد").
يصبح من الواضح أن نظام الأرقام هذا غير موضعي. بعد كل شيء ، ما نوع المواقف التي يمكن أن نتحدث عنها عندما يكون (المنصب) واحدًا فقط! الغريب ، في بعض أجزاء الأرض ، لا يزال نظام الأرقام غير الموضعي الأحادي قيد الاستخدام.
أيضًا ، تتضمن أنظمة الأرقام غير الموضعية:
- روماني (تستخدم الأحرف لكتابة الأرقام - الأحرف اللاتينية) ؛
- المصرية القديمة (على غرار الروماني ، استخدمت الرموز أيضًا) ؛
- أبجدي (تم استخدام الحروف الأبجدية) ؛
- بابلي (مسماري - يستخدم مباشرة و"إسفين" مقلوب) ؛
- اليونانية (يشار إليها أيضًا بالحروف الأبجدية).
نظام الأرقام الرومانية
كانت الإمبراطورية الرومانية القديمة ، وكذلك علومها ، تقدمية للغاية. قدم الرومان للعالم العديد من الاختراعات المفيدة في العلوم والفن ، بما في ذلك نظام العد الخاص بهم. منذ مائتي عام ، تم استخدام الأرقام الرومانية للإشارة إلى المبالغ في المستندات التجارية (وبالتالي تم تجنب التزوير).
الترقيم الروماني هو مثال على نظام الأرقام غير الموضعي ، ونحن نعرفه الآن. أيضًا ، يتم استخدام النظام الروماني بشكل نشط ، ولكن ليس للحسابات الرياضية ، ولكن للإجراءات ذات التركيز الضيق. على سبيل المثال ، بمساعدة الأرقام الرومانية ، من المعتاد تحديد التواريخ التاريخية والقرون وعدد المجلدات والأقسام والفصول في منشورات الكتب. غالبًا ما تُستخدم اللافتات الرومانية لتزيين أقراص الساعة. وأيضًا الترقيم الروماني هو مثال على نظام الأرقام غير الموضعي.
أشار الرومان إلى الأرقام بأحرف لاتينية. علاوة على ذلك ، قاموا بتدوين الأرقام وفقًا لقواعد معينة. توجد قائمة بالرموز الأساسية في نظام الترقيم الروماني ، وبمساعدتها تمت كتابة جميع الأرقام دون استثناء.
| رقم (عشري) | رقم روماني (حرف من الأبجدية اللاتينية) |
| 1 | أنا |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
قواعد تكوين الأرقام
تم الحصول على الرقم المطلوب بإضافة العلامات (الحروف اللاتينية) وحساب مجموعها. دعونا نفكر في كيفية كتابة العلامات بشكل رمزي في النظام الروماني وكيف ينبغي "قراءتها". دعنا نسرد القوانين الرئيسية لتكوين الأعداد في نظام الأرقام غير الموضعي الروماني.
- الرقم أربعة - IV ، يتكون من حرفين (I ، V - واحد وخمسة). يتم الحصول عليها بطرح العلامة الأصغر من الأكبر إذا كانت على اليسار. عندما تكون العلامة الأصغر موجودة على اليمين ، فأنت بحاجة إلى الإضافة ، ثم تحصل على الرقم ستة - VI.
- من الضروري إضافة علامتين متطابقتين بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال: SS هي 200 (C تساوي 100) ، أو XX هي 20.
- إذا كانت العلامة الأولى للرقم أقل من الثانية ، فإن الحرف الثالث في هذا الصف يمكن أن يكون حرفًا تكون قيمته أقل من الأول. لتجنب الالتباس ، إليك مثال: CDX - 410 (بالتدوين العشري).
- يمكن تمثيل بعض الأعداد الكبيرة بطرق مختلفة ، وهو أحد عيوب نظام العد الروماني. إليك بعض الأمثلة: MVM (روماني)=1000 + (1000-5)=1995 (عشري) أو MDVD=1000 + 500 + (500-5)=1995. وهذا ليس كل شيء.
حيل حسابية
نظام الأرقام غير الموضعي هو في بعض الأحيان مجموعة معقدة من القواعد لتشكيل الأرقام ومعالجتها (الإجراءات عليها). العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد غير الموضعية ليست سهلةللناس المعاصرين. لا نحسد علماء الرياضيات الرومان القدماء!
مثال على الجمع. دعنا نحاول إضافة رقمين: XIX + XXVI=XXXV ، يتم تنفيذ هذه المهمة في خطوتين:
- أولاً - خذ الكسور الصغيرة من الأرقام واجمعها: IX + VI=XV (أنا بعد V وأنا قبل X "دمر" بعضنا البعض).
- ثانيًا - أضف كسورًا كبيرة من رقمين: X + XX=XXX.
الطرح أكثر تعقيدًا إلى حد ما. يجب تقسيم العدد المراد تقليله إلى العناصر المكونة له ، ثم يتم تقليل الأحرف المكررة في العدد المراد تقليله وطرحه. اطرح 263 من 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIII - CCLXIII=CCXXXVII.
ضرب الأرقام الرومانية. بالمناسبة ، من الضروري الإشارة إلى أن الرومان لم يكن لديهم علامات على العمليات الحسابية ، لقد قاموا ببساطة بتسميتها بالكلمات.
يجب ضرب الرقم المضاعف في كل رمز فردي للمضاعف ، مما ينتج عنه العديد من المنتجات التي يجب إضافتها. هذه هي الطريقة التي يتم بها ضرب كثيرات الحدود.
أما بالنسبة للقسمة ، فهذه العملية في نظام الترقيم الروماني كانت ولا تزال الأصعب. تم استخدام العداد الروماني القديم هنا. للعمل معه ، تم تدريب الناس بشكل خاص (ولم يتمكن كل شخص من إتقان مثل هذا العلم).
حول عيوب الأنظمة غير الموضعية
كما ذكرنا أعلاه ، فإن أنظمة الأرقام غير الموضعية لها عيوبها وإزعاجها في الاستخدام. أحادي بسيط بما يكفي للعد البسيط ، لكن بالنسبة للحسابات الحسابية والمعقدة ، فهو ليس كذلكجيد بما فيه الكفاية.
في اللغة الرومانية لا توجد قواعد موحدة لتكوين الأعداد الكبيرة وينشأ ارتباك ، كما أنه من الصعب جدًا إجراء حسابات فيها. أيضًا ، كان أكبر عدد يمكن أن يكتبه الرومان القدماء بطريقتهم هو 100000.
