المنطق الرمزي هو فرع من فروع العلم يدرس الأشكال الصحيحة للتفكير. إنها تلعب دورًا أساسيًا في الفلسفة والرياضيات وعلوم الكمبيوتر. المنطق له جذور قديمة ، مثله مثل الفلسفة والرياضيات. تمت كتابة أقدم الأطروحات حول طبيعة التفكير الصحيح منذ أكثر من 2000 عام. كتب بعض أشهر فلاسفة اليونان القديمة عن طبيعة الاستبقاء منذ أكثر من 2300 عام. كان المفكرون الصينيون القدماء يكتبون عن المفارقات المنطقية في نفس الوقت تقريبًا. على الرغم من أن جذوره تعود إلى زمن بعيد ، إلا أن المنطق لا يزال مجالًا نشطًا للدراسة.
المنطق الرمزي الرياضي
تحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على الفهم والعقل ، ولهذا السبب تم إيلاء اهتمام خاص للاستنتاجات المنطقية عندما لم تكن هناك معدات خاصة لتحليل وتشخيص مجالات الحياة المختلفة. نشأ المنطق الرمزي الحديث من عمل أرسطو (384-322 قبل الميلاد) ، الفيلسوف اليوناني العظيم وأحد أكثر المفكرين تأثيراً في كل العصور. المزيد من النجاحات كانتبواسطة الفيلسوف اليوناني الرواقي كريسيبوس ، الذي طور أسس ما نسميه الآن المنطق الإفتراضي.
تلقى المنطق الرياضي أو الرمزي تطورًا نشطًا فقط في القرن التاسع عشر. ظهرت أعمال بول ، دي مورغان ، شرودر ، حيث قام العلماء بتبرير تعاليم أرسطو بالجبر ، وبالتالي تشكيل الأساس لحساب التفاضل والتكامل. تبع ذلك عمل Frege و Preece ، حيث تم تقديم مفاهيم المتغيرات والمحددات الكمية ، والتي بدأ تطبيقها في المنطق. وهكذا تم تشكيل حساب المسند - عبارات حول الموضوع.
المنطق ضمنيًا إثباتًا للحقائق التي لا جدال فيها عندما لم يكن هناك تأكيد مباشر للحقيقة. كان من المفترض أن تقنع التعبيرات المنطقية المحاور بالصدق.
تم بناء الصيغ المنطقية على مبدأ البرهان الرياضي. لذلك أقنعوا المحاورين بالدقة والموثوقية.
ومع ذلك ، تمت كتابة جميع أشكال الحجج بالكلمات. لم تكن هناك آليات رسمية من شأنها إنشاء حساب خصم منطقي. بدأ الناس يشكون فيما إذا كان العالم يختبئ وراء الحسابات الرياضية ، يختبئ وراءها عبثية تخميناته ، لأن كل شخص يمكنه تقديم حججه لصالح مختلف.
ولادة المعنى: المنطق الصلب في الرياضيات كدليل على الحقيقة
قرب نهاية القرن الثامن عشر ، ظهر المنطق الرياضي أو الرمزي كعلم يتضمن عملية دراسة صحة الاستنتاجات. كان من المفترض أن يكون لديهم نهاية منطقية واتصال. لكن كيف تم إثبات ذلكأو تبرير بيانات البحث؟
كان الفيلسوف وعالم الرياضيات الألماني العظيم جوتفريد لايبنيز من أوائل من أدركوا الحاجة إلى إضفاء الطابع الرسمي على الحجج المنطقية. كان حلم لايبنتز: إنشاء لغة رسمية عالمية للعلم من شأنها تقليل جميع الخلافات الفلسفية إلى عملية حسابية بسيطة ، وإعادة صياغة المنطق في مثل هذه المناقشات بهذه اللغة. ظهر المنطق الرياضي أو الرمزي في شكل صيغ سهلت المهام والحلول في الأسئلة الفلسفية. نعم ، وأصبح هذا المجال من العلوم أكثر أهمية ، لأن الأحاديث الفلسفية التي لا معنى لها أصبحت بعد ذلك قاع تعتمد عليه الرياضيات نفسها!
في عصرنا ، يعد المنطق التقليدي أرسطوًا رمزيًا ، وهو بسيط ومتواضع. في القرن التاسع عشر ، واجه العلم مفارقة المجموعات ، مما أدى إلى ظهور تناقضات في تلك الحلول الشهيرة جدًا لتسلسلات أرسطو المنطقية. كان لابد من حل هذه المشكلة ، لأنه في العلم لا يمكن حتى أن يكون هناك أخطاء سطحية.
شكليات لويس كارول - المنطق الرمزي وخطوات التحول
المنطق الرسمي هو الآن موضوع مدرج في الدورة. ومع ذلك ، فهو مدين بمظهره إلى المظهر الرمزي ، الذي تم إنشاؤه في الأصل. المنطق الرمزي هو طريقة لتمثيل التعبيرات المنطقية باستخدام الرموز والمتغيرات بدلاً من اللغة العادية. هذا يزيل الغموض الذي يصاحب اللغات الشائعة مثل الروسية ويجعل الأمور أسهل.
هناك العديد من أنظمة المنطق الرمزي مثل:
- اقتراح كلاسيكي.
- منطق الدرجة الأولى.
- مشروط.
يجب أن يشير المنطق الرمزي كما يفهمه لويس كارول إلى البيانات الصحيحة والخطأ في السؤال المطروح. يمكن أن يكون لكل منها أحرف منفصلة أو استبعاد استخدام أحرف معينة. فيما يلي بعض الأمثلة على العبارات التي تغلق سلسلة الاستنتاجات المنطقية:
- كل الأشخاص المتطابقين معي هم كائنات موجودة.
- كل الأبطال المطابقين لباتمان مخلوقات موجودة
- إذن (بما أنني لم أرَ باتمان وأنا في نفس المكان مطلقًا) ، فإن كل الأشخاص المتطابقين معي هم أبطال متطابقون مع باتمان.
هذا ليس نموذجًا منطقيًا صالحًا ، لكنه نفس البنية على النحو التالي:
- كل الكلاب ثدييات
- كل القطط ثدييات
- لهذا كل الكلاب قطط
يجب أن يكون واضحًا أن الشكل الرمزي أعلاه في المنطق غير صالح. ومع ذلك ، في المنطق ، يتم تعريف العدالة من خلال هذا التعبير: إذا كانت المقدمة صحيحة ، فسيكون الاستنتاج صحيحًا. ومن الواضح أن هذا ليس صحيحا. وينطبق الشيء نفسه على مثال البطل ، الذي له نفس الشكل. تنطبق الصلاحية فقط على الحجج الاستنتاجية التي تهدف إلى إثبات استنتاجها على وجه اليقين ، لأن الحجة الاستنتاجية لا يمكن أن تكون صالحة. يتم تطبيق هذه "التصحيحات" أيضًا في الإحصائيات عندما يكون هناك نتيجة لخطأ في البيانات ، والمنطق الرمزي الحديثتساعد شكليات البيانات المبسطة في العديد من هذه الأمور.
الاستقراء في المنطق الحديث
الحجة الاستقرائية تهدف فقط إلى إظهار استنتاجها باحتمالية عالية أو تفنيد. الحجج الاستقرائية إما قوية أو ضعيفة.
كحجة استقرائية ، فإن مثال البطل الخارق باتمان ضعيف ببساطة. من المشكوك فيه أن باتمان موجود ، لذا فإن إحدى العبارات خاطئة بالفعل مع احتمال كبير. على الرغم من أنك لم تره في نفس المكان مع شخص آخر ، فمن السخف أن تأخذ هذا التعبير كدليل. لفهم جوهر المنطق تخيل:
- لم يسبق لك رؤيتك في نفس المكان مثل مواطن غينيا.
- من غير المعقول أن تكون أنت والشخص الغيني نفس الشخص
- الآن تخيل أنك أنت ورجل أفريقي لم تلتقيا في نفس المكان من قبل. ليس من المعقول أن تكون أنت ورجل أفريقي نفس الشخص. لكن الممرات الغينية والأفريقية متقاطعة ، لذا لا يمكنك أن تكونا كلاهما في نفس الوقت. انخفض الدليل على أنك أفريقي أو غيني بشكل كبير
من وجهة النظر هذه ، لا تعني فكرة المنطق الرمزي وجود علاقة مسبقة بالرياضيات. كل ما يتطلبه الأمر للتعرف على المنطق كرمز هو الاستخدام المكثف للرموز لتمثيل العمليات المنطقية.
نظرية كارول المنطقية: التشابك أو بساطتها في الفلسفة الرياضية
تعلمت كارول بعض الطرق غير العاديةالأمر الذي أجبره على حل المشكلات الصعبة إلى حد ما التي واجهها زملائه. منعه هذا من إحراز تقدم كبير بسبب تعقيد التدوين المنطقي والأنظمة التي تلقاها نتيجة لعمله. سبب وجود منطق كارول الرمزي هو مشكلة الإقصاء. كيف تجد الاستنتاج الذي يمكن استخلاصه من مجموعة من المقدمات المتعلقة بالعلاقة بين المصطلحات المعينة؟ حذف "الشروط الوسطى".
كان من أجل حل هذه المشكلة المركزية للمنطق في منتصف القرن التاسع عشر أن تم اختراع الأجهزة الرمزية والرسمية وحتى الميكانيكية. ومع ذلك ، فإن أساليب كارول لمعالجة مثل هذه "التسلسلات المنطقية" (كما أسماها) لم تقدم دائمًا الحل الصحيح. في وقت لاحق ، نشر الفيلسوف ورقتين عن الفرضيات ، والتي انعكست في مجلة العقل: المفارقة المنطقية (1894) وما قالته السلحفاة لأخيل (1895).
تمت مناقشة هذه الأوراق على نطاق واسع من قبل المنطقين في القرنين التاسع عشر والعشرين (بيرس ، راسل ، رايل ، بريور ، كواين ، إلخ). غالبًا ما يتم الاستشهاد بالمقال الأول على أنه توضيح جيد لمفارقات التضمين المادي ، بينما يؤدي المقال الثاني إلى ما يُعرف باسم مفارقة الاستدلال.
بساطة الرموز في المنطق
اللغة الرمزية للمنطق هي بديل للجمل الغامضة الطويلة. ملائم ، لأنه في اللغة الروسية يمكنك قول نفس الشيء عن ظروف مختلفة ، مما سيجعل من الممكن الخلط ، وفي الرياضيات ، ستحل الرموز محل هوية كل معنى.
- أولاً ، الإيجاز مهم لتحقيق الكفاءة.لا يمكن للمنطق الرمزي الاستغناء عن العلامات والتسميات ، وإلا سيبقى فلسفيًا فقط ، دون الحق في المعنى الحقيقي.
- ثانيًا ، تسهل الرموز رؤية الحقائق المنطقية وصياغتها. يشجع البندان 1 و 2 المعالجة "الجبرية" للصيغ المنطقية.
- ثالثًا ، عندما يعبر المنطق عن حقائق منطقية ، فإن الصياغة الرمزية تشجع دراسة بنية المنطق. هذا مرتبط بالنقطة السابقة. وبالتالي ، فإن المنطق الرمزي يفسح المجال للدراسة الرياضية للمنطق ، وهو فرع من موضوع المنطق الرياضي.
- رابعًا ، عند تكرار الإجابة ، فإن استخدام الرموز يساعد في منع الغموض (مثل المعاني المتعددة) للغة العادية. كما أنه يساعد على التأكد من أن المعنى فريد.
أخيرًا ، تسمح اللغة الرمزية للمنطق بحساب التفاضل والتكامل الأصلي الذي قدمه Frege. على مر السنين ، تم تحسين الترميز الرمزي لحساب التفاضل والتكامل نفسه وجعله أكثر فاعلية ، لأن التدوين الجيد مهم في الرياضيات والمنطق.
أنطولوجيا أرسطو للعصور القديمة
اهتم العلماء بعمل المفكر عندما بدأوا في استخدام أساليب سلينين في تفسيراتهم. يقدم الكتاب نظريات المنطق الكلاسيكي والوسيطي. كان جزء مهم من المفهوم هو الاختزال إلى CNF في المنطق الرمزي لصيغة منطق الاقتراح. الاختصار يعني اقتران أو فصل المتغيرات.
اقترحSlinin Ya. A أن النفي المعقدة ، التي تتطلب تقليلًا متكررًا للصيغ ، يجب أن تتحول إلى صيغة فرعية. وهكذا ، قام بتحويل بعض القيم إلى قيم أصغر وحل المشكلات في نسخة مختصرة. تم تقليل العمل مع النفي إلى صيغ دي مورغان. القوانين التي تحمل اسم De Morgan هي زوج من النظريات ذات الصلة التي تجعل من الممكن تحويل العبارات والصيغ إلى بدائل وغالبًا ما تكون أكثر ملاءمة. القوانين كالتالي:
- نفي (أو عدم تناسق) الانفصال يساوي اتحاد نفي البدائل - p أو q لا تساوي p ولا q أو رمزياً ~ (p ⊦ q) ≡ ~ p ~ q.
- نفي الاقتران يساوي فصل نفي الروابط الأصلية ، أي لا (p و q) لا تساوي p أو لا q ، أو رمزياً ~ (p q) ≡ ~ p ⊦ ~ ف
بفضل هذه البيانات الأولية ، بدأ العديد من علماء الرياضيات في تطبيق الصيغ لحل المشكلات المنطقية المعقدة. يعرف الكثير من الناس أن هناك دورة من المحاضرات حيث يتم دراسة منطقة تقاطع الوظائف. ويعتمد تفسير المصفوفة أيضًا على الصيغ المنطقية. ما هو جوهر المنطق في الاتصال الجبري؟ هذه دالة خطية مستوية ، عندما يمكنك وضع علم الأعداد والفلسفة في نفس وعاء التفكير "الخالي من الروح" وغير المربح. على الرغم من أن إي.كانط كان يعتقد خلاف ذلك ، كونه عالم رياضيات وفيلسوفًا. وأشار إلى أن الفلسفة لا شيء حتى يثبت العكس. ويجب أن يكون الدليل سليمًا علميًا. وحدث أن الفلسفة بدأت تكتسب أهمية بفضلمطابقة مع الطبيعة الحقيقية للأرقام والحسابات.
تطبيق المنطق في العلم وعالم الواقع المادي
لا يطبق الفلاسفة عادة علم التفكير المنطقي على بعض المشاريع الطموحة بعد التخرج (عادة بدرجة عالية من التخصص ، مثل الإضافة إلى العلوم الاجتماعية أو علم النفس أو التصنيف الأخلاقي). ومن المفارقة أن العلم الفلسفي "ولّد" طريقة حساب الحقيقة والباطل ، لكن الفلاسفة أنفسهم لا يستخدمونها. إذن ، لمن يتم إنشاء هذه القياسات الرياضية الواضحة وتحويلها؟
- استخدم المبرمجون والمهندسون المنطق الرمزي (الذي لا يختلف كثيرًا عن الأصل) لتنفيذ برامج الكمبيوتر وحتى تصميم اللوحات.
- في حالة أجهزة الكمبيوتر ، أصبح المنطق معقدًا بدرجة كافية للتعامل مع العديد من استدعاءات الوظائف ، بالإضافة إلى الرياضيات المتقدمة وحل المشكلات الرياضية. يعتمد الكثير منها على المعرفة بحل المشكلات الرياضية والاحتمالات جنبًا إلى جنب مع القواعد المنطقية للحذف والتمديد وقابلية الاختزال.
- لا يمكن فهم لغات الكمبيوتر بسهولة للعمل بشكل منطقي ضمن حدود معرفة الرياضيات وحتى أداء وظائف خاصة. من المحتمل أن تكون معظم لغة الكمبيوتر مسجلة ببراءة اختراع أو مفهومة فقط بواسطة أجهزة الكمبيوتر. غالبًا ما يسمح المبرمجون لأجهزة الكمبيوتر الآن بأداء مهام منطقية وحلها.
في سياق هذه المتطلبات الأساسية ، يفترض العديد من العلماء إنشاء مادة متقدمة ليس من أجل العلم ، ولكن من أجلسهولة استخدام الوسائط والتكنولوجيا. ربما قريبًا سيتسرب المنطق إلى مجالات الاقتصاد والأعمال وحتى الكم "ذي الوجهين" ، الذي يتصرف مثل الذرة ومثل الموجة.
المنطق الكمي في الممارسة الحديثة للتحليل الرياضي
تم تطوير المنطق الكمي (QL) كمحاولة لبناء هيكل اقتراح يسمح بوصف الأحداث المثيرة للاهتمام في ميكانيكا الكم (QM). استبدلت QL البنية المنطقية ، والتي لم تكن كافية لتمثيل العالم الذري ، على الرغم من أنها مناسبة لخطاب الفيزياء الكلاسيكية.
الهيكل الرياضي للغة اقتراح حول الأنظمة الكلاسيكية هو مجموعة من القوى ، مرتبة جزئيًا بواسطة مجموعة التضمين ، مع زوج من العمليات يمثل الاتحاد والانفصال.
يتوافق هذا الجبر مع خطاب كل من الظواهر الكلاسيكية والنسبية ، لكنه غير متوافق في نظرية تحظر ، على سبيل المثال ، إعطاء قيم حقيقة متزامنة. تم إنشاء اقتراح الآباء المؤسسين لـ QL لاستبدال البنية المنطقية للمنطق الكلاسيكي بهيكل أضعف من شأنه أن يضعف الخصائص التوزيعية للارتباط والانفصال.
إضعاف الاختراق الرمزي الراسخ: هل الحقيقة مطلوبة حقًا في الرياضيات كعلم دقيق
أثناء تطوره ، بدأ المنطق الكمي يشير ليس فقط إلى التقليدية ، ولكن أيضًا إلى العديد من مجالات البحث الحديث التي حاولت فهم الميكانيكا من وجهة نظر منطقية. مضاعفمناهج كمومية لإدخال استراتيجيات ومشكلات مختلفة نوقشت في أدبيات ميكانيكا الكم. كلما كان ذلك ممكنًا ، يتم التخلص من الصيغ غير الضرورية لإعطاء فهم بديهي للمفاهيم قبل الحصول على أو تقديم الرياضيات المرتبطة.
السؤال الدائم في تفسير ميكانيكا الكم هو ما إذا كانت التفسيرات الكلاسيكية في الأساس لظواهر ميكانيكا الكم متوفرة. لعب المنطق الكمي دورًا كبيرًا في تشكيل هذه المناقشة وصقلها ، ولا سيما السماح لنا بأن نكون دقيقين إلى حد ما حول ما نعنيه بالتفسير الكلاسيكي. من الممكن الآن تحديد النظريات التي يمكن اعتبارها موثوقة بدقة ، وأي منها هي الاستنتاج المنطقي للأحكام الرياضية.
