في عالم اليوم ، نستخدم بشكل متزايد مجموعة متنوعة من السيارات والأدوات. وليس فقط عندما يكون من الضروري تطبيق قوة غير إنسانية حرفيًا: تحريك الحمولة ، ورفعها إلى ارتفاع ، وحفر خندق طويل وعميق ، وما إلى ذلك. يتم تجميع السيارات اليوم بواسطة الروبوتات ، ويتم تحضير الطعام بواسطة طباخات متعددة ، والحسابات الحسابية الأولية هي بواسطة الآلات الحاسبة. في كثير من الأحيان نسمع التعبير "الجبر البولي". ربما حان الوقت لفهم دور الإنسان في إنشاء الروبوتات وقدرة الآلات على حل ليس فقط المشكلات الرياضية ، ولكن أيضًا المشكلات المنطقية.
منطق
المترجم من اليونانية ، المنطق هو نظام تفكير منظم ينشئ علاقات بين ظروف معينة ويسمح لك باستخلاص استنتاجات بناءً على المقدمات والافتراضات. كثيرًا ما نسأل بعضنا البعض: "هل هذا منطقي؟" تؤكد الإجابة المتلقاة افتراضاتنا أو تنتقد سلسلة الأفكار. لكن العملية لا تتوقف: نستمر في التفكير
في بعض الأحيان يكون عدد الشروط (التمهيدية) كبيرًا جدًا ، والعلاقات بينهما معقدة جدًا ومعقدة لدرجة أن الدماغ البشري غير قادر على "هضم" كل شيء في وقت واحد. قد يستغرق الأمر أكثر من شهر (أسبوع ، سنة) لفهم ما يحدث. لكنلا تمنحنا الحياة العصرية مثل هذه الفترات الزمنية لاتخاذ القرارات. ونلجأ إلى مساعدة أجهزة الكمبيوتر. وهنا يظهر جبر المنطق بقوانينه وخصائصه. من خلال تنزيل جميع البيانات الأولية ، نسمح للكمبيوتر بالتعرف على جميع العلاقات وإزالة التناقضات وإيجاد حل مرضٍ.
الرياضيات والمنطق
صاغ جوتفريد فيلهلم ليبنيز الشهير مفهوم "المنطق الرياضي" ، الذي كانت مشاكله مفهومة فقط لدائرة ضيقة من العلماء. لم يثير هذا الاتجاه اهتمامًا خاصًا ، وحتى منتصف القرن التاسع عشر ، قلة من الناس يعرفون عن المنطق الرياضي.
تسبب الاهتمام الكبير في المجتمع العلمي في نزاع أعلن فيه الإنجليزي جورج بول عن نيته في إنشاء فرع للرياضيات ليس له أي تطبيق عملي على الإطلاق. كما نتذكر من التاريخ ، كان الإنتاج الصناعي يتطور بنشاط في ذلك الوقت ، وكان يتم تطوير جميع أنواع الآلات المساعدة والأدوات الآلية ، أي أن جميع الاكتشافات العلمية كان لها تركيز عملي.
بالنظر إلى المستقبل ، دعنا نقول أن الجبر البولي هو الجزء الأكثر استخدامًا في الرياضيات في العالم الحديث. لذلك فقد بول حجته.
جورج بول
تستحق شخصية المؤلف اهتماما خاصا. حتى مع الأخذ في الاعتبار أنه في الماضي نشأ الناس قبلنا ، لا يزال من المستحيل عدم ملاحظة أنه في سن 16 ، قام ج. بول بالتدريس في مدرسة القرية ، وبحلول سن العشرين افتتح مدرسته الخاصة في لينكولن. كان عالم الرياضيات يجيد خمس لغات أجنبية ، وفي أوقات فراغه كان يقرأ الأعمالنيوتن ولاجرانج. وكل هذا عن ابن عامل بسيط
في عام 1839 ، قدم بول أوراقه العلمية لأول مرة إلى مجلة كامبريدج الرياضية. العالم يبلغ من العمر 24 عامًا. اهتم عمل بول بأعضاء الجمعية الملكية لدرجة أنه حصل في عام 1844 على ميدالية لمساهمته في تطوير التحليل الرياضي. سمحت العديد من الأعمال المنشورة ، والتي وصفت عناصر المنطق الرياضي ، لعالم الرياضيات الشاب بتولي منصب أستاذ في كلية كورك. أذكر أن بول نفسه لم يتلق أي تعليم.
فكرة
من حيث المبدأ ، الجبر البولي بسيط للغاية. هناك عبارات (تعبيرات منطقية) ، من وجهة نظر الرياضيات ، لا يمكن تعريفها إلا بكلمتين: "صحيح" أو "خطأ". على سبيل المثال ، في الربيع تتفتح الأشجار - صحيح ، في الصيف تتساقط الثلوج - كذبة. يكمن جمال هذه الرياضيات في عدم وجود حاجة صارمة لاستخدام الأرقام فقط. أي عبارات ذات معنى لا لبس فيه مناسبة تمامًا لجبر الأحكام.
وهكذا ، يمكن استخدام الجبر المنطقي حرفيًا في كل مكان: في جدولة التعليمات وكتابتها ، وتحليل المعلومات المتضاربة حول الأحداث ، وتحديد تسلسل الإجراءات. الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أنه من غير المهم تمامًا كيف نحدد حقيقة أو زيف البيان. يجب تجريد هذه "الكيفية" و "الأسباب". فقط بيان الحقيقة مهم: صح-خطأ.
بالطبع وظائف جبر المنطق مهمة للبرمجة و التي يكتبها المقابلالعلامات والرموز. وتعلمهم يعني إتقان لغة أجنبية جديدة. لا شيء مستحيل.
المفاهيم والتعريفات الأساسية
دون الخوض في العمق ، دعونا نتعامل مع المصطلحات. لذا يفترض الجبر المنطقي:
- بيانات ؛
- عمليات منطقية ؛
- وظائف و قوانين
العبارات هي أي تعبيرات إيجابية لا يمكن تفسيرها بشكل غامض. تمت كتابتها كأرقام (5 > 3) أو تمت صياغتها بكلمات مألوفة (الفيل هو أكبر حيوان ثديي). في الوقت نفسه ، فإن عبارة "الزرافة ليس لها رقبة" لها أيضًا الحق في الوجود ، فقط الجبر المنطقي هو الذي سيعرفها على أنها "خطأ".
يجب أن تكون جميع العبارات واضحة ، ولكن يمكن أن تكون أولية ومركبة. يستخدم الأخير الوصلات المنطقية. أي ، في جبر الأحكام ، يتم تشكيل البيانات المركبة عن طريق إضافة عبارات أولية عن طريق العمليات المنطقية.
عمليات الجبر المنطقية
نتذكر بالفعل أن العمليات في جبر الأحكام منطقية. تمامًا كما يستخدم الجبر العددي الحساب لإضافة أو طرح أو مقارنة الأرقام ، تسمح لك عناصر المنطق الرياضي بعمل جمل معقدة أو تنفي أو تحسب النتيجة النهائية.
العمليات المنطقية لإضفاء الطابع الرسمي والبساطة مكتوبة بالصيغ المألوفة لدينا في الحساب. تجعل خصائص الجبر المنطقي من الممكن كتابة المعادلات وحساب المجهول. تُكتب العمليات المنطقية عادةً باستخدام جدول الحقيقة. أعمدتهاتحديد عناصر الحساب والعملية التي تتم عليها ، وتظهر السطور نتيجة الحساب.
الإجراءات المنطقية الأساسية
العمليات الأكثر شيوعًا في الجبر البولي هي النفي (NOT) و AND و OR المنطقيان. يمكن وصف جميع الإجراءات في جبر الأحكام تقريبًا بهذه الطريقة. دعونا ندرس كل من العمليات الثلاث بمزيد من التفصيل
النفي (لا) ينطبق على عنصر واحد فقط (معامل). لذلك ، تسمى عملية النفي أحادية. لكتابة مفهوم "ليس أ" استخدم الرموز التالية: "أ" أو "أ" أو "أ". في شكل جدول يبدو كالتالي:
تتميز وظيفة النفي بالعبارة التالية: إذا كانت A صحيحة ، فإن B تكون خطأ. على سبيل المثال ، القمر يدور حول الأرض - صحيح ؛ الأرض تدور حول القمر - خطأ
الضرب والجمع المنطقي
المنطقية AND تسمى عملية الاقتران. ماذا يعني ذلك؟ أولاً ، يمكن تطبيقها على معاملين ، أي وهي عملية ثنائية. ثانيًا ، هذا فقط في حالة حقيقة كلا المعاملين (كل من A و B) يكون التعبير نفسه صحيحًا. المثل القائل "الصبر والعمل سيطحن كل شيء" يوحي بأن كلا العاملين فقط سيساعدان الشخص على التغلب على الصعوبات.
الرموز المستخدمة في الكتابة: A∧B أو A⋅B أو A && B.
الاقتران مشابه للضرب في الحساب. في بعض الأحيان يقولون ذلك - الضرب المنطقي. إذا ضربنا عناصر الجدول صفًا في صف ، نحصل على نتيجة مشابهة للتفكير المنطقي.
الانفصال هي عملية OR منطقية. يأخذ قيمة الحقيقةعندما يكون أحد العبارات على الأقل صحيحًا (إما أ أو ب). إنه مكتوب على النحو التالي: A∨B أو A + B أو A || B. جداول الحقيقة لهذه العمليات هي:
الانفصال مثل الجمع الحسابي. عملية الإضافة المنطقية لها قيد واحد فقط: 1 + 1=1. لكننا نتذكر أنه في الشكل الرقمي ، يقتصر المنطق الرياضي على 0 و 1 (حيث 1 يكون صحيحًا ، و 0 خطأ). على سبيل المثال ، العبارة "يمكنك مشاهدة تحفة في المتحف أو مقابلة محاور مثير للاهتمام" تعني أنه يمكنك مشاهدة الأعمال الفنية ، أو يمكنك مقابلة شخص مثير للاهتمام. في الوقت نفسه ، لا يتم استبعاد احتمال حدوث كلا الحدثين في وقت واحد.
الوظائف والقوانين
إذن ، نحن نعرف بالفعل العمليات المنطقية التي يستخدمها الجبر البولي. تصف الدوال جميع خصائص عناصر المنطق الرياضي وتسمح لك بتبسيط الشروط المركبة المعقدة للمشكلات. يبدو أن الخاصية الأكثر فهمًا وبساطة هي رفض العمليات المشتقة. المشتقات هي حصرية OR والتضمين والمعادلة. نظرًا لأننا درسنا العمليات الأساسية فقط ، فسننظر أيضًا في خصائصها فقط.
Associativity تعني أنه في عبارات مثل "و A و B و C" ، لا يهم ترتيب المعاملات. الصيغة مكتوبة على النحو التالي:
(A∧B) ∧V=A∧ (B∧V)=A∧B∧V ،
(A∨B) ∨C=A∨ (B∨C)=A∨B∨C.
كما ترى ، فهذه خاصية ليس فقط للتزامن ، ولكن أيضًا خاصية الانفصال.
المبادلة تنص على أن النتيجةلا يعتمد الاقتران أو الانفصال على العنصر الذي تم اعتباره أولاً:
A∧B=B∧A ؛ A∨B=B∨A.
التوزيع يسمح بتوسيع الأقواس في التعبيرات المنطقية المعقدة. تشبه القواعد فتح الأقواس في الضرب والجمع في الجبر:
A∧ (B∨C)=A∧B∨A∧B ؛ A∨B∧B=(A∨B) ∧ (A∨B)
خصائص واحد وصفر ، والتي يمكن أن تكون أحد المعاملات ، تشبه أيضًا الضرب الجبري بصفر أو واحد والجمع بواحد:
A∧0=0 ، A∧1=أ ؛ A∨0=أ ، A∨1=1.
Idempotency يخبرنا أنه إذا كانت نتيجة العملية متشابهة فيما يتعلق بمعاملين متساويين ، فيمكننا "التخلص" من المعاملات الإضافية التي تعقد مسار التفكير. كلا من الاقتران والانفصال عمليتان خاملتان.
B∧B=ب ؛ B∨B=ب
يسمح لنا الامتصاص أيضًا بتبسيط المعادلات. ينص الامتصاص على أنه عند تطبيق عملية أخرى بنفس العنصر على تعبير بمعامل واحد ، فإن النتيجة هي المعامل من عملية الامتصاص.
A∧B∨B=ب ؛ (A∨B) ∧B=ب
تسلسل العمليات
تسلسل العمليات ليس له أهمية كبيرة. في الواقع ، بالنسبة للجبر ، هناك أولوية للوظائف التي يستخدمها الجبر البولي. يمكن تبسيط الصيغ فقط في حالة ملاحظة أهمية العمليات. بالترتيب من الأكثر أهمية إلى الأقل ، نحصل على التسلسل التالي:
1. إنكار
2. اقتران.
3. انفصال حصريأو.
4. التضمين ، التكافؤ.
كما ترى ، فقط النفي والاقتران ليس لهما أسبقية متساوية. وأولوية الانفصال و XOR متساوية وكذلك أولويات التضمين والتكافؤ.
دوال التضمين والتكافؤ
كما قلنا ، بالإضافة إلى العمليات المنطقية الأساسية ، يستخدم المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات المشتقات. الأكثر استخدامًا هي الضمنية والتكافؤ.
التضمين ، أو النتيجة المنطقية ، هي بيان يكون فيه أحد الإجراءات شرطًا ، والآخر نتيجة لتنفيذه. بعبارة أخرى ، هذه جملة بها حروف جر "إذا … إذًا". "إذا كنت تحب الركوب ، فأحب أن تحمل الزلاجات". هذا هو ، للتزلج ، تحتاج إلى تشديد الزلاجة أعلى التل. إذا لم تكن هناك رغبة في النزول إلى أسفل الجبل ، فلا داعي لحمل الزلاجة. هو مكتوب على النحو التالي: A → B أو A⇒B.
التكافؤ يفترض أن الإجراء الناتج يحدث فقط عندما يكون كلا المعاملين صحيحين. على سبيل المثال ، يتحول الليل إلى نهار عندما (وفقط عندما) تشرق الشمس في الأفق. بلغة المنطق الرياضي ، تتم كتابة هذه العبارة على النحو التالي: A≡B ، A⇔B ، A==B.
قوانين أخرى للجبر البولي
جبر الأحكام آخذ في التطور ، وقد صاغ العديد من العلماء المهتمين قوانين جديدة. تعتبر افتراضات عالم الرياضيات الاسكتلندي O. de Morgan الأكثر شهرة. لقد لاحظ وحدد خصائص مثل النفي القريب والتكامل والنفي المزدوج.
إغلاق النفي يعني أنه لا يوجد نفي قبل الأقواس:لا (أ أو ب)=لا أ أو لا ب.
عندما يتم رفض المعامل ، بغض النظر عن قيمته ، يتحدث المرء عن مكمل:
B∧¬B=0 ؛ B∨¬B=1.
وأخيرًا ، النفي المزدوج يعوض عن نفسه. هؤلاء. اما النفي يختفي قبل المعامل او يبقى واحد فقط
كيفية حل الاختبارات
المنطق الرياضي يعني تبسيط المعادلات المعطاة. تمامًا كما هو الحال في الجبر ، يجب أولاً أن تجعل الشرط أسهل ما يمكن (تخلص من المدخلات والعمليات المعقدة معهم) ، ثم ابدأ في البحث عن الإجابة الصحيحة.
ما الذي يمكن عمله للتبسيط؟ تحويل جميع العمليات المشتقة إلى عمليات بسيطة. ثم افتح جميع الأقواس (أو العكس ، أخرجها من الأقواس لتقصير هذا العنصر). يجب أن تكون الخطوة التالية هي تطبيق خصائص الجبر البولي عمليًا (الامتصاص ، خواص الصفر وواحد ، إلخ.)
في النهاية ، يجب أن تتكون المعادلة من أقل عدد من المجاهيل مجتمعة بواسطة عمليات بسيطة. أسهل طريقة لإيجاد حل هي تحقيق عدد كبير من السلبيات القريبة. ثم ستظهر الإجابة كما لو كانت من تلقاء نفسها.
