الخط والمستوى هما أهم عنصرين هندسيين يمكن استخدامهما لبناء أشكال مختلفة في مساحة ثنائية وثلاثية الأبعاد. ضع في اعتبارك كيفية إيجاد المسافة بين الخطوط المتوازية والمستويات المتوازية.
خط مستقيم لمهمة الرياضيات
من مقرر الهندسة المدرسية ، من المعروف أنه في نظام الإحداثيات المستطيل ثنائي الأبعاد ، يمكن تحديد الخط بالشكل التالي:
y=كس + ب
حيث k و b أرقام (معلمات). الشكل المكتوب لتمثيل خط في المستوى هو مستوى موازٍ للمحور z في مساحة ثلاثية الأبعاد. في ضوء ذلك ، في هذه المقالة ، من أجل التخصيص الرياضي للخط المستقيم ، سنستخدم شكلاً أكثر ملاءمة وعالمية - شكل متجه.
افترض أن خطنا موازٍ لبعض المتجهات u¯ (أ ، ب ، ج) ويمر عبر النقطة P (x0،y0 ، z0 ). في هذه الحالة ، في شكل متجه ، سيتم تمثيل معادلتها على النحو التالي:
(x ،y، z)=(x0 ،y0 ، z0) + λ(أ ، ب ، ج).
هنا λ هو أي رقم. إذا قمنا بتمثيل الإحداثيات صراحةً من خلال توسيع التعبير المكتوب ، فسنحصل على شكل حدودي لكتابة خط مستقيم.
من المريح العمل مع معادلة متجه عند حل المشكلات المختلفة التي يكون من الضروري فيها تحديد المسافة بين الخطوط المتوازية.
الخطوط والمسافة بينها
من المنطقي التحدث عن المسافة بين السطور فقط عندما تكون متوازية (في الحالة ثلاثية الأبعاد ، توجد أيضًا مسافة غير صفرية بين خطوط الانحراف). إذا تقاطع الخطان ، فمن الواضح أنهما على مسافة صفر من بعضهما البعض.
المسافة بين الخطوط المتوازية هي طول الخط العمودي الذي يربط بينهما. لتحديد هذا المؤشر ، يكفي اختيار نقطة عشوائية على أحد الخطوط وإسقاط عمودي منها على آخر.
دعونا نصف بإيجاز الإجراء الخاص بإيجاد المسافة المطلوبة. لنفترض أننا نعرف المعادلات المتجهة لخطين ، والتي يتم تقديمها بالشكل العام التالي:
(x ،y، z)=P + λu¯ ؛
(x ،y، z)=Q + βv¯.
أنشئ متوازي أضلاع على هذه الخطوط بحيث يكون أحد الجانبين PQ والآخر ، على سبيل المثال ، u. من الواضح أن ارتفاع هذا الشكل ، المرسوم من النقطة P ، هو طول العمود المطلوب. للعثور عليه ، يمكنك تطبيق البسيط التاليالصيغة:
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |.
نظرًا لأن المسافة بين الخطوط المستقيمة هي طول المقطع العمودي بينهما ، إذن وفقًا للتعبير المكتوب ، يكفي إيجاد معامل حاصل الضرب المتجه لـ PQ¯ و u¯ وقسمة الناتج على طول المتجه u¯.
مثال على مهمة لتحديد المسافة بين الخطوط المستقيمة
يتم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات المتجه التالية:
(س،y ، z)=(2 ، 3 ، -1) + λ(- 2 ، 1 ، 3) ؛
(x ،y، z)=(1، 1، 1) + β(2، -1، -3).
يتضح من التعبيرات المكتوبة أن لدينا خطين متوازيين. في الواقع ، إذا ضربنا إحداثيات متجه الاتجاه للخط الأول في -1 ، نحصل على إحداثيات متجه الاتجاه للخط الثاني ، مما يشير إلى التوازي.
سيتم حساب المسافة بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة المكتوبة في الفقرة السابقة من المقال. لدينا:
P (2 ، 3 ، -1) ، Q (1 ، 1 ، 1)=>PQ¯=(-1 ، -2 ، 2) ؛
u¯=(-2، 1، 3).
ثم نحصل على:
| u¯ |=√14 سم ؛
d=| [PQ¯u¯] | / | u¯ |=√ (90/14)=2.535 سم
لاحظ أنه بدلاً من النقطتين P و Q ، يمكن استخدام أي نقاط تنتمي إلى هذه الخطوط لحل المشكلة. في هذه الحالة نحصل على نفس المسافة د.
ضبط مستوى في الهندسة
تمت مناقشة مسألة المسافة بين السطور بالتفصيل أعلاه. الآن دعنا نوضح كيفية إيجاد المسافة بين المستويات المتوازية.
يمثل الجميع ماهية الطائرة. وفقًا للتعريف الرياضي ، فإن العنصر الهندسي المحدد هو مجموعة من النقاط. علاوة على ذلك ، إذا قمت بتكوين جميع المتجهات الممكنة باستخدام هذه النقاط ، فستكون جميعها متعامدة مع متجه واحد. عادة ما يسمى الأخير بالطائرة العادية.
لتحديد معادلة المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، غالبًا ما يتم استخدام الشكل العام للمعادلة. يبدو كالتالي:
Ax + By + Cz + D=0.
حيث الأحرف اللاتينية الكبيرة هي بعض الأرقام. من الملائم استخدام هذا النوع من المعادلات المستوية لأن إحداثيات المتجه العادي ترد فيه صراحة. هم أ ، ب ، ج.
من السهل أن نرى أن طائرتين متوازيتان فقط عندما تكون عوارضهما متوازية.
كيف تجد المسافة بين مستويين متوازيين؟
لتحديد المسافة المحددة ، يجب أن تفهم بوضوح ما هو على المحك. تُفهم المسافة بين المستويات الموازية لبعضها البعض على أنها طول المقطع المتعامد عليها. نهايات هذا الجزء تنتمي إلى الطائرات.
خوارزمية حل مثل هذه المشاكل بسيطة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات أي نقطة على الإطلاق تنتمي إلى إحدى المستويين. بعد ذلك ، يجب عليك استخدام هذه الصيغة:
د=| Ax0+ By0+Cz0+ D | / √ (A2+ B2+ C2).
بما أن المسافة قيمة موجبة ، فإن علامة المقياس تقع في البسط. الصيغة المكتوبة عالمية ، لأنها تسمح لك بحساب المسافة من المستوى إلى أي عنصر هندسي تمامًا. يكفي معرفة إحداثيات نقطة واحدة من هذا العنصر.
من أجل الاكتمال ، نلاحظ أنه إذا لم تكن القواعد القياسية لطائرتين متوازيتين مع بعضهما البعض ، فسوف تتقاطع هذه المستويات. ستكون المسافة بينهما صفرًا.
مشكلة تحديد المسافة بين الطائرات
من المعروف أن طائرتين تعطيهما التعبيرات التالية:
y / 5 + x / (- 3) + z / 1=1 ؛
-x + 3/5ص + 3ع - 2=0.
لابد من اثبات ان الطائرتين متوازيتان و كذلك تحديد المسافة بينهما
للإجابة على الجزء الأول من المشكلة ، تحتاج إلى إحضار المعادلة الأولى إلى نموذج عام. لاحظ أنه يتم تقديمها في ما يسمى بصيغة المعادلة في المقاطع. اضرب الأجزاء اليمنى واليسرى في 15 وانقل كل الحدود إلى جانب واحد من المعادلة ، نحصل على:
-5س + 3ص + 15ع - 15=0.
لنكتب إحداثيات متجهين عاديين للطائرات:
1¯=(-5 ، 3 ، 15) ؛
2¯=(-1 ، 3/5 ، 3).
يمكن ملاحظة أنه إذا تم ضرب n2¯ في 5 ، فسنحصل بالضبط على الإحداثيات n1¯. وبالتالي ، فإن الطائرات المدروسة هيموازية
لحساب المسافة بين المستويات المتوازية ، حدد نقطة تعسفية للأول منهم واستخدم الصيغة أعلاه. على سبيل المثال ، لنأخذ النقطة (0 ، 0 ، 1) التي تنتمي إلى المستوى الأول. ثم نحصل على:
د=| Ax0+ By0+ Cz0 + D | / √ (A2+ B2+ C2 )=
=1 / (√ (1 + 9/25 + 9))=0.31 سم.
المسافة المرغوبة 31 ملم
المسافة بين الطائرة والخط
تتيح لنا المعرفة النظرية المقدمة أيضًا حل مشكلة تحديد المسافة بين الخط المستقيم والمستوى. لقد سبق ذكره أعلاه أن الصيغة الصالحة للحسابات بين المستويات عالمية. يمكن استخدامه أيضًا لحل المشكلة. للقيام بذلك ، ما عليك سوى تحديد أي نقطة تنتمي إلى السطر المحدد.
المشكلة الرئيسية في تحديد المسافة بين العناصر الهندسية المدروسة هي إثبات التوازي (إذا لم يكن الأمر كذلك ، فد=0). من السهل إثبات التوازي إذا قمت بحساب المنتج القياسي للخط العمودي ومتجه الاتجاه للخط. إذا كانت العناصر قيد النظر متوازية ، فسيكون هذا المنتج مساويًا للصفر.
