احسب الزاوية بين الخطوط في المستوى وفي الفراغ: الصيغة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

مشكلة هندسية نموذجية هي إيجاد الزاوية بين الخطوط. على المستوى ، إذا كانت معادلات الخطوط معروفة ، فيمكن رسمها وقياس الزاوية بالمنقلة. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة شاقة وليست ممكنة دائمًا. لمعرفة الزاوية المسماة ، ليس من الضروري رسم خطوط مستقيمة ، يمكن حسابها. هذه المقالة سوف تجيب على كيفية القيام بذلك.

خط مستقيم ومعادلة المتجه الخاصة به

يمكن تمثيل أي خط مستقيم كمتجه يبدأ عند-وينتهي عند + ∞. في هذه الحالة ، يمر المتجه عبر نقطة ما في الفضاء. وبالتالي ، فإن جميع المتجهات التي يمكن رسمها بين أي نقطتين على خط مستقيم ستكون موازية لبعضها البعض. يسمح لك هذا التعريف بتعيين معادلة الخط المستقيم في شكل متجه:

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + α(أ ؛ ب ؛ ج)}

هنا ، المتجه مع الإحداثيات (أ ؛ ب ؛ ج) هو دليل لهذا الخط الذي يمر عبر النقطة (x₀؛ y_{0؛ z}0 _{).تسمح لك المعلمة α بنقل النقطة المحددة إلى أي نقطة أخرى لهذا الخط. هذه المعادلة بديهية وسهلة الاستخدام في كل من الفضاء ثلاثي الأبعاد وعلى المستوى. بالنسبة للمستوى ، لن يحتوي على إحداثيات z ومكون متجه الاتجاه الثالث.}

ترجع راحة إجراء الحسابات ودراسة الموضع النسبي للخطوط المستقيمة بسبب استخدام معادلة المتجه إلى حقيقة أن متجه التوجيه معروف. تُستخدم إحداثياته لحساب الزاوية بين الخطوط والمسافة بينها.

معادلة عامة لخط مستقيم على مستوى

لنكتب صراحة المعادلة المتجهة للخط المستقيم للحالة ثنائية الأبعاد. يبدو كالتالي:

x=x_{0+ αa ؛}

y=y_{0+ αb}

الآن نحسب المعلمة α لكل مساواة ونساوي الأجزاء الصحيحة من المساواة التي تم الحصول عليها:

α=(س - س_{0) / أ ؛}

α=(y - y_{0) / b ؛}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

فتح الأقواس ونقل جميع الشروط إلى جانب واحد من المساواة ، نحصل على:

1 / ax + (- 1 / b)y + y₀/ b- x_{0/ a=0=>}

Ax + By + C=0 ، حيث A=1 / a ، B=-1 / ب ، C=y₀/ b- x0_{/ a}

يُطلق على التعبير الناتج المعادلة العامة لخط مستقيم معطى في فضاء ثنائي الأبعاد (في ثلاثية الأبعاد ، تتوافق هذه المعادلة مع مستوى موازٍ للمحور z ، وليس خطًا مستقيمًا).

إذا كتبنا صراحة من y إلى x في هذا التعبير ، فسنحصل على الصيغة التالية ، المعروفةكل طالب:

y=kx + p ، حيث k=-A / B ، p=-C / B

تحدد هذه المعادلة الخطية بشكل فريد الخط المستقيم على المستوى. من السهل جدًا رسمها وفقًا للمعادلة المعروفة ، لذلك يجب عليك وضع x=0 و y=0 بالتناوب ، وتحديد النقاط المقابلة في نظام الإحداثيات ورسم خط مستقيم يربط بين النقاط التي تم الحصول عليها.

صيغة الزاوية بين السطور

على المستوى ، يمكن أن يتقاطع خطان أو يتوازيان مع بعضهما البعض. في الفضاء ، يضاف إلى هذه الخيارات إمكانية وجود خطوط منحرفة. بغض النظر عن إصدار الموضع النسبي لهذه الكائنات الهندسية أحادية البعد ، يمكن دائمًا تحديد الزاوية بينهما بالصيغة التالية:

φ=arccos (| (v₁¯v₂¯) | / (| v₁¯ || v_{2¯ |))}

حيث v₁¯ و v_{2¯ هي متجهات الدليل للخط 1 و 2 على التوالي. البسط هو معامل الضرب النقطي لاستبعاد الزوايا المنفرجة مع مراعاة الزوايا الحادة فقط.}

المتجهات v₁¯ و v_{2يمكن إعطاءها بإحداثيتين أو ثلاثة ، بينما صيغة الزاوية لا يزال على حاله.}

موازاة وعمودية الخطوط

إذا كانت الزاوية بين سطرين محسوبة باستخدام الصيغة أعلاه هي 0o، يقال إنها متوازية. لتحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم لا ، لا يمكنك حساب الزاويةφ ، يكفي إظهار أنه يمكن تمثيل متجه اتجاه واحد من خلال متجه مشابه لخط آخر ، وهو:

v₁¯=qv_2¯

هنا q هو بعض الأرقام الحقيقية.

إذا تم إعطاء معادلات الخطوط على النحو التالي:

y=k₁ x + p_1،

y=k₂ x + p_2،

عندها سيكونون متوازيين فقط عندما تكون معاملات x متساوية ، أي:

ك₁=k₂

يمكن إثبات هذه الحقيقة إذا أخذنا في الاعتبار كيفية التعبير عن المعامل k من حيث إحداثيات متجه التوجيه للخط المستقيم.

إذا كانت زاوية التقاطع بين الخطوط 90^o، فيُطلق عليها اسم عمودي. لتحديد عمودي الخطوط ، ليس من الضروري أيضًا حساب الزاوية φ ، لذلك يكفي حساب المنتج القياسي للمتجهات v₁¯ و v 2_{¯. يجب أن تكون صفراً.}

في حالة تقاطع الخطوط المستقيمة في الفضاء ، يمكن أيضًا استخدام صيغة الزاوية φ. في هذه الحالة ، يجب تفسير النتيجة بشكل صحيح. تُظهر φ المحسوبة الزاوية بين متجهات الاتجاه للخطوط التي لا تتقاطع وليست متوازية.

المهمة رقم 1. خطوط عمودية

من المعروف ان معادلات الخطوط لها شكل:

(س ؛ ص)=(1 ؛ 2) + α(1 ؛ 2) ؛

(س ؛ ص)=(-4 ؛ 7) +(- 4 ؛ 2)

من الضروري تحديد ما إذا كانت هذه الخطوطعمودي

كما ذكرنا أعلاه ، للإجابة على السؤال ، يكفي حساب الناتج القياسي لمتجهات الأدلة ، والتي تتوافق مع الإحداثيات (1 ؛ 2) و (-4 ؛ 2). لدينا:

(1 ؛ 2)(- 4 ؛ 2)=1(- 4) + 22=0

بما أننا حصلنا على 0 ، فهذا يعني أن الخطوط المدروسة تتقاطع بزاوية قائمة ، أي أنها متعامدة.

المهمة رقم 2. زاوية تقاطع الخط

من المعروف أن معادلتين للخطوط المستقيمة لها الشكل التالي:

ص=2س - 1 ؛

ص=-x + 3

من الضروري إيجاد الزاوية بين السطور

بما أن معاملات x لها قيم مختلفة ، فإن هذه الخطوط ليست متوازية. لإيجاد الزاوية التي تتشكل عند تقاطعهما ، نترجم كل من المعادلات إلى شكل متجه.

للسطر الأول نحصل على:

(س ؛ ص)=(س ؛ 2س - 1)

على الجانب الأيمن من المعادلة ، لدينا متجه تعتمد إحداثياته على x. دعنا نمثلها كمجموع متجهين ، وستحتوي إحداثيات الأول على المتغير x ، وستتكون إحداثيات الثاني حصريًا من أرقام:

(س ؛ ص)=(س ؛ 2س) + (0 ؛ - 1)=س(1 ؛ 2) + (0 ؛ - 1)

بما أن x تأخذ قيمًا عشوائية ، فيمكن استبدالها بالمعامل α. تصبح معادلة المتجه للسطر الأول:

(س ؛ ص)=(0 ؛ - 1) + α(1 ؛ 2)

نقوم بنفس الإجراءات مع المعادلة الثانية للخط ، نحصل على:

(x ؛ y)=(x ؛ -x + 3)=(x ؛ -x) + (0 ؛ 3)=x(1 ؛ -1) + (0 ؛ 3)=>

(س ؛ ص)=(0 ؛ 3) +(1 ؛ -1)

أعدنا كتابة المعادلات الأصلية في شكل متجه. الآن يمكنك استخدام صيغة زاوية التقاطع ، مع استبدال إحداثيات متجهات التوجيه للخطوط:

(1 ؛ 2)(1 ؛ -1)=-1 ؛

| (1 ؛ 2) |=√5 ؛

| (1 ؛ -1) |=√2 ؛

φ=arccos (| -1 | / (√5√2))=71 ، 565o

وهكذا ، تتقاطع الخطوط قيد النظر بزاوية 71.565o، أو 1.249 راديان.

كان من الممكن حل هذه المشكلة بشكل مختلف. للقيام بذلك ، كان من الضروري أخذ نقطتين تعسفيتين من كل خط مستقيم ، وإنشاء متجهات مباشرة منها ، ثم استخدام صيغة φ.