الزوايا بين الطائرات. كيفية تحديد الزاوية بين الطائرات

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

عند حل المشكلات الهندسية في الفضاء ، غالبًا ما توجد تلك التي يكون من الضروري فيها حساب الزوايا بين الكائنات المكانية المختلفة. في هذه المقالة سننظر في مسألة إيجاد الزوايا بين المستويات وبينها وبين الخط المستقيم.

خط في الفضاء

من المعروف أن أي خط مستقيم في المستوى يمكن تحديده بالمساواة التالية:

y=أس + ب

هنا أ و ب بعض الأرقام. إذا كنا نمثل خطًا مستقيمًا في الفضاء بنفس التعبير ، فسنحصل على مستوى موازٍ للمحور z. للتعريف الرياضي للخط المكاني ، يتم استخدام طريقة حل مختلفة عن الحالة ثنائية الأبعاد. وهو يتألف من استخدام مفهوم "متجه الاتجاه".

يوضح المتجه الموجه للخط المستقيم اتجاهه في الفضاء. هذه المعلمة تنتمي إلى الخط. نظرًا لوجود مجموعة لا حصر لها من المتجهات المتوازية في الفضاء ، فمن أجل تحديد الكائن الهندسي المدروس بشكل فريد ، من الضروري أيضًا معرفة إحداثيات النقطة التي تنتمي إليها.

افترض أن هناكالنقطة P (x₀؛ y₀؛ z_{0) ومتجه الاتجاه v¯ (a ؛ b ؛ ج) ، إذن يمكن إعطاء معادلة الخط المستقيم على النحو التالي:}

(س ؛ ص ؛ ض)=P + αv¯ أو

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + α(أ ؛ ب ؛ ج)}

يسمى هذا التعبير معادلة المتجه البارامترية للخط المستقيم. المعامل α هو معامل يمكن أن يأخذ أي قيم حقيقية على الإطلاق. يمكن تمثيل إحداثيات الخط بشكل صريح من خلال توسيع هذه المساواة:

x=x_{0+ αa ؛}

y=y_{0+ αb ؛}

z=z_{0+ αc}

معادلة المستوى

هناك عدة أشكال لكتابة معادلة مستوى في الفضاء. هنا سننظر في إحداها ، والتي تستخدم غالبًا عند حساب الزوايا بين مستويين أو بين أحدهما وخط مستقيم.

إذا كان بعض المتجه n¯ (A ؛ B ؛ C) معروفًا ، وهو عمودي على المستوى المطلوب ، والنقطة P (x₀؛ y₀؛ z_{0) التي تنتمي إليها ، ثم المعادلة العامة للأخير هي:}

Ax + By + Cz + D=0 حيث D=-1(Ax₀+ By₀+ Cz₀₎

لقد حذفنا اشتقاق هذا التعبير ، وهو أمر بسيط للغاية. نلاحظ هنا فقط أنه بمعرفة معاملات المتغيرات في معادلة المستوى ، يمكن للمرء بسهولة العثور على جميع المتجهات المتعامدة معه. هذه الأخيرة تسمى الأعراف وتستخدم في حساب الزوايا بين المائل والمستوى وبيننظائرها التعسفية.

موقع الطائرات وصيغة الزاوية بينهما

لنفترض أن هناك طائرتان. ما هي الخيارات المتاحة لوضعهم النسبي في الفضاء. نظرًا لأن المستوى يحتوي على بعدين لا نهائيين وصفر واحد ، فإن خيارين فقط لتوجيههما المتبادل ممكنان:

سيكونان متوازيين مع بعضهما البعض ؛
قد تتداخل.

الزاوية بين المستويات هي الفهرس بين متجهات الاتجاه الخاصة بهم ، أي بين الأعراف n₁¯ و n_2¯.

من الواضح ، إذا كانتا موازية للمستوى ، فإن زاوية التقاطع بينهما تساوي صفرًا. إذا تقاطعوا ، فهذا يعني أنه ليس صفريًا ، ولكنه حاد دائمًا. من الحالات الخاصة للتقاطع الزاوية 90o، عندما تكون المستويات متعامدة بشكل متبادل مع بعضها البعض.

الزاوية α بين n₁¯ و n_{2¯ يتم تحديدها بسهولة من المنتج القياسي لهذه المتجهات. أي أن الصيغة تحدث:}

α=arccos ((n₁¯n₂¯) / (| n_{1 ¯ || n}2_{¯ |))}

افترض أن إحداثيات هذه المتجهات هي: n₁¯ (a₁؛ b_{1 ؛ c}1 _{) ، n}2_{¯ (أ}2_{؛ ب}2 ؛ ج₂). بعد ذلك ، باستخدام الصيغ لحساب المنتج القياسي والوحدات النمطية للمتجهات من خلال إحداثياتها ، يمكن إعادة كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي:

α=arccos (| a₁ a₂+ b₁ b₂+c₁ c₂| / (√ (a₁²+ b₁²+ c₁²)√ (a₂²+ b₂²+ c₂²⁾⁾⁾

ظهر المعامل في البسط لاستبعاد قيم الزوايا المنفرجة

أمثلة لحل مسائل لتحديد زاوية تقاطع المستويات

معرفة كيفية إيجاد الزاوية بين الطائرات ، سنحل المشكلة التالية. تم إعطاء مستويين ، المعادلات الخاصة بهما هي:

3س + 4ص - ض + 3=0 ؛

-x - 2ص + 5ض +1=0

ما هي الزاوية بين الطائرات؟

للإجابة على سؤال المشكلة ، لنتذكر أن معاملات المتغيرات في المعادلة العامة للمستوى هي إحداثيات متجه الدليل. بالنسبة للطائرات المشار إليها ، لدينا الإحداثيات التالية لقواعدها الطبيعية:

_{1¯ (3 ؛ 4 ؛ -1) ؛}
_{2¯ (-1 ؛ -2 ؛ 5)}

الآن نجد المنتج القياسي لهذه المتجهات ووحداتها النمطية ، لدينا:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16 ؛}

| n_{1¯ |=√ (9 + 16 + 1)=√26 ؛}

| n_{2¯ |=√ (1 + 4 + 25)=30}

الآن يمكنك استبدال الأرقام التي تم العثور عليها في الصيغة الواردة في الفقرة السابقة. نحصل على:

α=arccos (| -16 | / (√26√30) ≈ 55 ، 05o

القيمة الناتجة تتوافق مع زاوية تقاطع حادة للمستويات المحددة في الشرطالمهام

الآن فكر في مثال آخر. بالنظر إلى طائرتين:

س + ص -3=0 ؛

3س + 3ص + 8 =0

هل يتقاطعان؟ دعنا نكتب قيم إحداثيات متجهات الاتجاه الخاصة بهم ، ونحسب منتجهم القياسي والوحدات النمطية:

_{1¯ (1 ؛ 1 ؛ 0) ؛}
_{2¯ (3 ؛ 3 ؛ 0) ؛}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6 ؛}

| n_{1¯ |=√2 ؛}

| n_{2¯ |=√18}

ثم زاوية التقاطع هي:

α=arccos (| 6 | / (√2√18)=0o.

تشير هذه الزاوية إلى أن المستويات لا تتقاطع ، لكنها متوازية. من السهل التحقق من حقيقة أنها لا تتطابق مع بعضها البعض. لنأخذ لهذا الأمر نقطة اعتباطية تنتمي إلى أولهما ، على سبيل المثال ، P (0 ؛ 3 ؛ 2). عوض بإحداثياتها في المعادلة الثانية ، نحصل على:

30 +33 + 8=17 0

أي أن النقطة P تنتمي فقط إلى المستوى الأول.

إذن طائرتان متوازيتان عندما تكون حالتهما الطبيعية.

الطائرة والخط المستقيم

في حالة النظر في الموضع النسبي بين المستوى والخط المستقيم ، هناك العديد من الخيارات أكثر من المستويين. ترتبط هذه الحقيقة بحقيقة أن الخط المستقيم كائن أحادي البعد. يمكن أن يكون الخط والطائرة:

متوازي بشكل متبادل ، في هذه الحالة لا يتقاطع المستوى مع الخط ؛
الأخير قد ينتمي إلى الطائرة ، بينما سيكون أيضًا موازيًا لها ؛
كلا الكائنين يمكنتتقاطع بزاوية ما.

لننظر في الحالة الأخيرة أولاً ، لأنها تتطلب إدخال مفهوم زاوية التقاطع.

الخط والمستوى ، الزاوية بينهما

إذا تقاطع خط مستقيم مع مستوى ، فإنه يسمى مائلًا بالنسبة إليه. تسمى نقطة التقاطع قاعدة المنحدر. لتحديد الزاوية بين هذه الكائنات الهندسية ، من الضروري خفض عمودي مستقيم على المستوى من أي نقطة. ثم تشكل نقطة تقاطع الخط العمودي مع المستوى ومكان تقاطع الخط المائل معه خطًا مستقيمًا. هذا الأخير يسمى إسقاط الخط الأصلي على المستوى قيد النظر. الزاوية الحادة بين الخط وإسقاطه هي الزاوية المطلوبة

تعريف مربك إلى حد ما للزاوية بين المستوى والمائل سيوضح الشكل أدناه.

هنا الزاوية ABO هي الزاوية بين الخط AB والمستوى a.

لكتابة الصيغة الخاصة بها ، ضع في اعتبارك مثالاً. يجب أن يكون هناك خط مستقيم ومستوى موصفان بالمعادلات:

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) +(أ ؛ ب ؛ ج) ؛}

Ax + Bx + Cx + D=0

من السهل حساب الزاوية المرغوبة لهذه الكائنات إذا وجدت المنتج القياسي بين متجهات الاتجاه للخط والمستوى. يجب طرح الزاوية الحادة الناتجة من 90o، ثم يتم الحصول عليها بين خط مستقيم ومستوى.

يوضح الشكل أعلاه الخوارزمية الموصوفة للبحثتعتبر زاوية. هنا β هي الزاوية بين الخط العمودي والخط ، و α بين الخط وإسقاطه على المستوى. يمكن ملاحظة أن مجموعها 90o.

أعلاه ، تم تقديم صيغة تجيب على سؤال حول كيفية إيجاد زاوية بين المستويات. الآن نعطي التعبير المقابل لحالة الخط المستقيم والمستوى:

α=arcsin (| أأ + بب + جج | / (√ (أ²+ ب²+ c²)√ (A²+ B²+ C²⁾⁾⁾

يسمح المعامل في الصيغة بحساب الزوايا الحادة فقط. ظهرت الدالة القوسية بدلاً من القوسين بسبب استخدام صيغة الاختزال المقابلة بين الدوال المثلثية (cos (β)=sin (90o-β)=sin (α)).

المشكلة: المستوى يتقاطع مع خط مستقيم

الآن دعنا نوضح كيفية العمل بالصيغة أعلاه. لنحل المشكلة: من الضروري حساب الزاوية بين المحور y والمستوى المعطى بالمعادلة:

y - z + 12=0

هذه الطائرة موضحة في الصورة

يمكنك أن ترى أنه يتقاطع مع محوري y و z عند النقطتين (0 ؛ -12 ؛ 0) و (0 ؛ 0 ؛ 12) على التوالي ، وهو موازٍ لمحور x.

يحتوي متجه الاتجاه للخط y على إحداثيات (0 ؛ 1 ؛ 0). يتميز المتجه العمودي على مستوى معين بالإحداثيات (0 ؛ 1 ؛ -1). نطبق معادلة زاوية تقاطع الخط المستقيم والمستوى ، ونحصل على:

α=arcsin (| 1 | / (√1√2))=arcsin (1 / √2)=45o

المشكلة: خط مستقيم موازٍ للطائرة

الآن لنقررعلى غرار المشكلة السابقة ، يتم طرح السؤال بشكل مختلف. معادلات المستوى والخط المستقيم معروفة:

س + ص - ض - 3=0 ؛

(س ؛ ص ؛ ض)=(1 ؛ 0 ؛ 0) +(0 ؛ 2 ؛ 2)

من الضروري معرفة ما إذا كانت هذه الكائنات الهندسية موازية لبعضها البعض.

لدينا متجهان: اتجاه الخط المستقيم هو (0 ؛ 2 ؛ 2) واتجاه المستوى هو (1 ؛ 1 ؛ -1). ابحث عن المنتج النقطي الخاص بهم:

01 + 12 - 12=0

يشير الصفر الناتج إلى أن الزاوية بين هذه المتجهات هي 90o، مما يثبت أن الخط والمستوى متوازيان.

الآن دعنا نتحقق مما إذا كان هذا الخط متوازيًا فقط أم أنه يقع أيضًا في المستوى. للقيام بذلك ، حدد نقطة عشوائية على الخط وتحقق مما إذا كانت تنتمي إلى المستوى. على سبيل المثال ، لنأخذ λ=0 ، ثم النقطة P (1 ؛ 0 ؛ 0) تنتمي إلى الخط. عوّض في معادلة المستوى P:

1 - 3=-2 ≠ 0

النقطة P لا تنتمي إلى المستوى ، مما يعني أن الخط بأكمله لا يقع فيه أيضًا.

أين من المهم معرفة الزوايا بين الأشياء الهندسية المدروسة؟

الصيغ المذكورة أعلاه وأمثلة لحل المشكلات ليست فقط ذات أهمية نظرية. غالبًا ما تستخدم لتحديد كميات مادية مهمة لأشكال ثلاثية الأبعاد حقيقية ، مثل المنشورات أو الأهرامات. من المهم أن تكون قادرًا على تحديد الزاوية بين الطائرات عند حساب أحجام الأشكال ومساحات أسطحها. علاوة على ذلك ، إذا كان من الممكن في حالة المنشور المستقيم عدم استخدام هذه الصيغ لتحديدالقيم المحددة ، إذًا لا مفر من استخدامها لأي نوع من الهرم.

أدناه ، ضع في اعتبارك مثالًا لاستخدام النظرية أعلاه لتحديد زوايا هرم بقاعدة مربعة.

الهرم وزواياه

يوضح الشكل أدناه هرمًا يقع في قاعدته مربع ضلع أ. ارتفاع الشكل ح. تحتاج إلى العثور على زاويتين:

بين السطح الجانبي والقاعدة ؛
بين الضلع الجانبي والقاعدة

لحل المشكلة ، يجب عليك أولاً إدخال نظام الإحداثيات وتحديد معلمات القمم المقابلة. يوضح الشكل أن أصل الإحداثيات يتطابق مع النقطة الموجودة في مركز القاعدة المربعة. في هذه الحالة ، يتم وصف المستوى الأساسي بالمعادلة:

ض=0

أي أن قيمة الإحداثي الثالث هي صفر دائمًا لأي x و y. يتقاطع المستوى الجانبي ABC مع المحور z عند النقطة B (0 ؛ 0 ؛ h) والمحور y عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ أ / 2 ؛ 0). لا تعبر المحور السيني. هذا يعني أنه يمكن كتابة معادلة المستوى ABC على النحو التالي: