عند دراسة القياس الفراغي ، فإن أحد الموضوعات الرئيسية هو "الأسطوانة". تعتبر مساحة السطح الجانبي ، إن لم تكن الرئيسية ، معادلة مهمة في حل المشكلات الهندسية. ومع ذلك ، من المهم أن تتذكر التعريفات التي ستساعدك على التنقل خلال الأمثلة وعند إثبات النظريات المختلفة.
مفهوم الاسطوانة
أولاً نحتاج إلى النظر في بعض التعريفات. فقط بعد دراستها يمكن للمرء أن يبدأ في النظر في مسألة الصيغة الخاصة بمساحة السطح الجانبي للأسطوانة. بناءً على هذا الإدخال ، يمكن حساب التعبيرات الأخرى.
- يُفهم السطح الأسطواني على أنه مستوى موصوف بواسطة شبكة توليد ، يتحرك ويبقى موازيًا لاتجاه معين ، وينزلق على طول منحنى موجود.
- هناك أيضًا تعريف ثانٍ: السطح الأسطواني يتكون من مجموعة من الخطوط المتوازية التي تتقاطع مع منحنى معين.
- التوليد يسمى تقليديا ارتفاع الاسطوانة. عندما يتحرك حول محور يمر عبر مركز القاعدة ،يتم الحصول على الجسم الهندسي المحدد.
- يقصد أسفل المحور خطًا مستقيمًا يمر عبر قاعدتي الشكل
- الاسطوانة هي جسم مجسم يحده سطح جانبي متقاطع ومستويان متوازيان.
هناك أنواع مختلفة من هذا الشكل ثلاثي الأبعاد:
- دائرية اسطوانة دليلها دائرة. مكوناتها الرئيسية هي نصف قطر القاعدة والمولد. الأخير يساوي ارتفاع الشكل
- هناك اسطوانة مستقيمة. حصلت على اسمها بسبب عمودية المصفوفة على قواعد الشكل
- النوع الثالث اسطوانة مشطوفة. في الكتب المدرسية ، يمكنك أيضًا العثور على اسم آخر لها - "أسطوانة دائرية ذات قاعدة مشطوفة." يحدد هذا الشكل نصف قطر القاعدة ، الحد الأدنى والحد الأقصى للارتفاعات.
- تُفهم الأسطوانة متساوية الأضلاع على أنها جسم له ارتفاع وقطر متساويان لمستوى دائري.
الرموز
تقليديا ، تسمى "المكونات" الرئيسية للأسطوانة على النحو التالي:
- نصف قطر القاعدة هو R (يستبدل أيضًا نفس قيمة الشكل المجسم).
- Generative - L.
- الارتفاع - H.
- منطقة القاعدة - Sbase(بمعنى آخر ، تحتاج إلى العثور على معلمة الدائرة المحددة).
- ارتفاع الأسطوانة المشطوفة - h1 ، h2(الحد الأدنى والحد الأقصى).
- مساحة السطح الجانبية - Sجانب(إذا قمت بتوسيعها ، تحصل عليهانوع من المستطيل).
- حجم الشكل المجسم - V.
- إجمالي مساحة السطح - S.
"مكونات" الشكل المجسم
عند دراسة الأسطوانة ، تلعب مساحة السطح الجانبية دورًا مهمًا. هذا يرجع إلى حقيقة أن هذه الصيغة مدرجة في العديد من المعادلات الأخرى الأكثر تعقيدًا. لذلك من الضروري أن تكون على دراية جيدة بالنظرية
المكونات الرئيسية للشكل هي:
- السطح الجانبي. كما تعلم ، يتم الحصول عليها بسبب حركة المصفوفة على طول منحنى معين.
- السطح الكامل يتضمن القواعد الموجودة والمستوى الجانبي
- قسم الأسطوانة ، كقاعدة عامة ، هو مستطيل يقع موازٍ لمحور الشكل. خلاف ذلك ، يطلق عليه طائرة. اتضح أن الطول والعرض هما مكونان بدوام جزئي لأشكال أخرى. لذلك ، بشكل مشروط ، أطوال المقطع هي المولدات. العرض - الحبال المتوازية لشكل مجسم
- المقطع المحوري يعني موقع الطائرة عبر مركز الجسم.
- وأخيرا ، التعريف النهائي. الظل هو مستوى يمر عبر شبكة توليد الأسطوانة وعند الزوايا القائمة على القسم المحوري. في هذه الحالة ، يجب استيفاء شرط واحد. يجب تضمين المولد المحدد في مستوى المقطع المحوري.
الصيغ الأساسية للعمل مع الأسطوانة
للإجابة على سؤال حول كيفية العثور على مساحة سطح الأسطوانة ، من الضروري دراسة "المكونات" الرئيسية للشكل الفراغي والصيغ للعثور عليها.
تختلف هذه الصيغ في أنه يتم أولاً تقديم تعبيرات الأسطوانة المشطوفة ، ثم التعبير المستقيم.
أمثلة مفككة
مهمة 1.
من الضروري معرفة مساحة السطح الجانبي للأسطوانة. يُعطى قطر المقطع AC=8 سم (بالإضافة إلى أنه محوري). عند ملامسة المولد ، يتضح<ACD=30 °
القرار. بما أن قيم القطر والزاوية معروفة ، ففي هذه الحالة:
CD=ACcos 30 °
تعليق. المثلث ACD ، في هذا المثال بالذات ، هو مثلث قائم الزاوية. هذا يعني أن حاصل قسمة CD و AC=جيب تمام الزاوية المعطاة. يمكن العثور على قيمة الدوال المثلثية في جدول خاص.
وبالمثل ، يمكنك إيجاد قيمة AD:
AD=ACsin 30 °
الآن تحتاج إلى حساب النتيجة المرجوة باستخدام الصيغة التالية: مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي ضعف نتيجة ضرب "pi" ، ونصف قطر الشكل وارتفاعه. يجب أيضًا استخدام صيغة أخرى: مساحة قاعدة الأسطوانة. وهي تساوي نتيجة ضرب "pi" في مربع نصف القطر. وأخيرًا ، الصيغة الأخيرة: مساحة السطح الإجمالية. وهو يساوي مجموع المنطقتين السابقتين
المهمة 2.
اسطوانات معطاة. حجمها=128ن سم مكعب. أي اسطوانة لديها أصغرالسطح ممتلئ؟
القرار. تحتاج أولاً إلى استخدام الصيغ لإيجاد حجم الشكل وارتفاعه.
بما أن مساحة السطح الكلية للأسطوانة معروفة من الناحية النظرية ، فيجب تطبيق صيغتها.
إذا نظرنا إلى الصيغة الناتجة كدالة لمساحة الأسطوانة ، فسيتم الوصول إلى "المؤشر" الأدنى عند النقطة القصوى. للحصول على القيمة الأخيرة ، تحتاج إلى استخدام التفاضل.
يمكن عرض الصيغ في جدول خاص لإيجاد المشتقات. في المستقبل ، النتيجة التي تم العثور عليها تساوي الصفر ويتم إيجاد حل المعادلة.
الإجابة: سيتم الوصول إلى Sminعند h=1/32 cm ، R=64 cm.
المشكلة 3.
إعطاء شكل مجسم - أسطوانة وقسم. يتم تنفيذ هذا الأخير بطريقة تقع موازية لمحور الجسم الفراغي. الاسطوانة لها المعلمات التالية: VK=17 سم ، ع=15 سم ، R=5 سم ، من الضروري إيجاد المسافة بين القسم والمحور.
القرار.
نظرًا لأن المقطع العرضي للأسطوانة هو VSCM ، أي مستطيل ، فإن جانبها VM=h. WMC يحتاج إلى النظر. المثلث مستطيل. بناءً على هذا البيان ، يمكننا استنتاج الافتراض الصحيح بأن MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
من هنا نستنتج أن MK=BC=8 سم
الخطوة التالية هي رسم مقطع من خلال قاعدة الشكل. من الضروري النظر في المستوى الناتج.
AD - قطر الشكل المجسم. وهو موازٍ للقسم المذكور في بيان المشكلة.
BC هو خط مستقيم يقع على مستوى المستطيل الحالي.
ABCD هو شبه منحرف. في حالة معينة ، يعتبر متساوي الساقين ، حيث يتم وصف دائرة حوله.
إذا وجدت ارتفاع شبه المنحرف الناتج ، فيمكنك الحصول على الإجابة في بداية المشكلة. وهي: إيجاد المسافة بين المحور والمقطع المرسوم
للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على قيم AD و OS.
الجواب: يقع القسم على بعد 3 سم من المحور
مشاكل لتوحيد المادة
مثال 1.
اسطوانة معينة. يتم استخدام مساحة السطح الجانبية في الحل الإضافي. الخيارات الأخرى معروفة. مساحة القاعدة هي Q ومساحة المقطع المحوري M. من الضروري إيجاد S. بمعنى آخر المساحة الكلية للأسطوانة.
مثال 2.
اسطوانة معينة. يجب إيجاد مساحة السطح الجانبية في إحدى خطوات حل المشكلة. من المعروف أن الارتفاع=4 سم ونصف القطر=2 سم ومن الضروري إيجاد المساحة الكلية لشكل مجسم.
