عند النظر في الأشكال في الفضاء ، غالبًا ما تنشأ مشاكل في تحديد مساحة سطحها. أحد هذه الأشكال هو المخروط. ضع في اعتبارك في المقالة السطح الجانبي لمخروط بقاعدة دائرية ، وكذلك مخروط مقطوع.
مخروط بقاعدة مستديرة
قبل الشروع في النظر في السطح الجانبي للمخروط ، سنبين نوع الشكل وكيفية الحصول عليه باستخدام الطرق الهندسية.
خذ مثلثًا قائم الزاوية ABC ، حيث AB و AC هما أرجل. لنضع هذا المثلث على الضلع AC ونديره حول الضلع AB. نتيجة لذلك ، يصف الجانبان AC و BC سطحين من الشكل الموضح أدناه.
الشكل الذي تم الحصول عليه عن طريق الدوران يسمى المخروط المستدير المستدير. إنها مستديرة لأن قاعدتها دائرة ، ومستقيمة لأن عموديًا مرسومًا من أعلى الشكل (النقطة B) يتقاطع مع الدائرة في مركزها. طول هذا العمودي يسمى الارتفاع. من الواضح أنها تساوي الضلع AB.عادة ما يتم الإشارة إلى الارتفاع بالحرف h
بالإضافة إلى الارتفاع ، يتم وصف المخروط المدروس بخاصيتين خطيتين أخريين:
- إنشاء أو مولد (وتر المثلث قبل الميلاد) ؛
- نصف قطر القاعدة (ساق AC).
سيتم الإشارة إلى نصف القطر بالحرف r ، والمولد بواسطة g. بعد ذلك ، مع الأخذ في الاعتبار نظرية فيثاغورس ، يمكننا تدوين المساواة المهمة للشكل قيد النظر:
g2=h2+ r2
سطح مخروطي
تشكل مجمل جميع الأجيال سطحًا مخروطيًا أو جانبيًا للمخروط. في المظهر ، من الصعب تحديد الشكل المسطح الذي يتوافق معه. من المهم معرفة الأخير عند تحديد مساحة السطح المخروطي. لحل هذه المشكلة ، يتم استخدام طريقة المسح. يتكون مما يلي: يتم قطع السطح عقليًا على طول مصفوفة توليد عشوائية ، ثم يتم فتحها على مستوى. بهذه الطريقة في الحصول على المسح ، يتم تشكيل الشكل المسطح التالي.
كما قد تتخيل ، تتوافق الدائرة مع القاعدة ، لكن القطاع الدائري هو سطح مخروطي ، المنطقة التي نهتم بها. يحد القطاع بمولدين وقوس. طول الأخير يساوي تمامًا محيط (طول) محيط القاعدة. تحدد هذه الخصائص بشكل فريد جميع خصائص القطاع الدائري. لن نعطي حسابات رياضية وسيطة ، ولكن سنقوم على الفور بتدوين الصيغة النهائية ، والتي يمكنك من خلالها حساب مساحة السطح الجانبي للمخروط. الصيغة هي:
Sب=بيزص
مساحة السطح المخروطي Sbتساوي منتج معلمتين و Pi.
مخروط مقطوع وسطحه
إذا أخذنا مخروطًا عاديًا وقطعنا قمته بمستوى موازٍ ، فسيكون الشكل المتبقي مخروطًا مبتورًا. سطحه الجانبي محدود بقاعدتين دائريتين. دعنا نشير إلى أنصاف أقطارها على أنها R و r. نشير إلى ارتفاع الشكل ب h ، والمنسق بواسطة g. يوجد أدناه مقطع ورقي لهذا الشكل.
يمكن ملاحظة أن السطح الجانبي لم يعد قطاعًا دائريًا ، فهو أصغر في المساحة ، حيث تم قطع الجزء المركزي منه. يقتصر التطوير على أربعة خطوط ، اثنان منها عبارة عن مولدات شرائح مستقيمة ، والاثنان الآخران عبارة عن أقواس بأطوال الدوائر المقابلة لقواعد المخروط المقطوع.
السطح الجانبي Sbمحسوب على النحو التالي:
Sb=pig(r + R)
Generatrix ونصف القطر والارتفاع مرتبطة بالمساواة التالية:
g2=h2+ (R - r)2
مشكلة مساواة مساحات الارقام
بمخروط ارتفاعه 20 سم ونصف قطر قاعدته 8 سم ، من الضروري إيجاد ارتفاع مخروط مقطوع يكون سطحه الجانبي بنفس مساحة هذا المخروط. الشكل المقطوع مبني على نفس القاعدة ونصف قطر القاعدة العلوية 3 سم.
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب حالة المساواة بين مناطق المخروط والشكل المقطوع. لدينا:
Sb1=Sb2=>
pig1 R=pig2 (r + R)
الآن دعنا نكتب التعبيرات لمولدات كل شكل:
g1=√ (R2+ h12) ؛
g2=√ ((R-r)2+ h22)
البديل g1و g2في صيغة المساحات المتساوية وقم بتربيع الجانبين الأيسر والأيمن ، نحصل على:
R2 (R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(ص + R)2
من أين نحصل على تعبير h2:
h2=√ (R2 (R2+ h 12 ) / (r + R)2- (R - r)2 )
لن نبسط هذه المساواة ، ولكن ببساطة نستبدل البيانات المعروفة من الشرط:
h2=√ (82 (82+ 202 ) / (3 + 8)2- (8-3)2 ) ≈ 14.85 سم
وهكذا ، من أجل مساواة مساحات الأسطح الجانبية للأشكال ، يجب أن يكون للمخروط المقطوع المعلمات: R=8 سم ، ص=3 سم ، ح2≈ 14، 85 سم
