القدرة على حساب حجم الأشكال المكانية مهمة في حل عدد من المشاكل العملية في الهندسة. أحد الأشكال الأكثر شيوعًا هو الهرم. في هذه المقالة ، سننظر في الصيغ الخاصة بحجم الهرم ، سواء كانت كاملة أو مقطوعة.
الهرم كشكل ثلاثي الابعاد
الجميع يعرف شيئًا عن الأهرامات المصرية ، لذلك لديهم فكرة جيدة عن الشكل الذي سيتم مناقشته. ومع ذلك ، فإن الهياكل الحجرية المصرية ليست سوى حالة خاصة لفئة ضخمة من الأهرامات.
الكائن الهندسي المدروس في الحالة العامة هو قاعدة متعددة الأضلاع ، كل رأس منها متصل بنقطة ما في الفضاء لا تنتمي إلى المستوى الأساسي. يؤدي هذا التعريف إلى شكل يتكون من مثلثين n-gon و n.
أي هرم يتكون من n + 1 وجوه ، 2n حواف و n + 1 رؤوس. نظرًا لأن الشكل قيد الدراسة هو متعدد السطوح المثالي ، فإن أعداد العناصر المحددة تخضع لمساواة أويلر:
2n=(n + 1) + (n + 1) - 2.
يعطي المضلع الموجود في القاعدة اسم الهرم ،على سبيل المثال ، مثلث وخماسي وما إلى ذلك. مجموعة من الاهرامات بقواعد مختلفة موضحة بالصورة ادناه
النقطة التي ترتبط عندها n مثلثات من الشكل تسمى قمة الهرم. إذا تم خفض عمودي منه إلى القاعدة وتقاطعها في المركز الهندسي ، فسيطلق على هذا الشكل اسم خط مستقيم. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فهناك هرم منحدر.
الشكل المستقيم الذي تتكون قاعدته من n-gon متساوي الأضلاع (متساوي الزوايا) يسمى منتظم.
صيغة حجم الهرم
لحساب حجم الهرم ، نستخدم حساب التفاضل والتكامل. للقيام بذلك ، نقسم الشكل على مستويات قاطعة موازية للقاعدة إلى عدد لا حصر له من الطبقات الرقيقة. يوضح الشكل أدناه هرمًا رباعي الزوايا بارتفاع h وطول جانبه L ، حيث يتم تمييز طبقة رقيقة من المقطع برباعي الأضلاع.
يمكن حساب مساحة كل طبقة باستخدام الصيغة:
A (z)=A0 (h-z)2/ h2.
هنا A0هي مساحة القاعدة ، z هي قيمة الإحداثي الرأسي. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z=0 ، فإن الصيغة تعطي القيمة A0.
للحصول على صيغة حجم الهرم ، يجب أن تحسب التكامل على كامل ارتفاع الشكل ، أي:
V=∫h0(A (z)dz).
استبدال الاعتماد A (z) وحساب المشتق العكسي ، نصل إلى التعبير:
V=-A0 (h-z)3/ (3h2) |h0=1/3A0 h.
حصلنا على صيغة حجم الهرم. للعثور على قيمة V ، يكفي ضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة ، ثم قسمة النتيجة على ثلاثة.
لاحظ أن التعبير الناتج صالح لحساب حجم هرم من نوع تعسفي. بمعنى أنه يمكن أن يميل ، ويمكن أن تكون قاعدته تعسفية n-gon.
الهرم الصحيح وحجمه
يمكن تحسين الصيغة العامة للحجم التي تم الحصول عليها في الفقرة أعلاه في حالة وجود هرم بالقاعدة الصحيحة. يتم حساب مساحة هذه القاعدة باستخدام الصيغة التالية:
A0=n / 4L2 ctg (pi / n).
هنا L هو طول ضلع مضلع منتظم برؤوس n. الرمز pi هو الرقم pi
استبدال تعبير A0في الصيغة العامة ، نحصل على حجم الهرم العادي:
V=1/3n / 4L2 hctg (pi / n)=n / 12L2 hctg (pi / n).
على سبيل المثال ، بالنسبة للهرم الثلاثي ، تؤدي هذه الصيغة إلى التعبير التالي:
V3=3/12L2 hctg (60o)=√3 / 12L2 h.
لهرم رباعي الزوايا عادي ، تصبح صيغة الحجم:
V4=4/12L2 hctg (45o)=1/3L2 h.
تحديد حجم الأهرامات المنتظمة يتطلب معرفة جانب قاعدتها وارتفاع الشكل
اقتطاع الهرم
افترض أننا أخذناهرم اعتباطي ويقطع جزء من سطحه الجانبي يحتوي على قمته. الرقم المتبقي يسمى الهرم المقطوع. يتكون بالفعل من قاعدتين n-gonal و n شبه منحرف يربط بينهما. إذا كان مستوى القطع موازيًا لقاعدة الشكل ، فسيتم تكوين هرم مقطوع بقواعد مماثلة متوازية. أي أنه يمكن الحصول على أطوال جانبي أحدهما بضرب أطوال الآخر في بعض المعامل k.
تُظهر الصورة أعلاه هرمًا سداسيًا منتظمًا مبتورًا. يمكن ملاحظة أن قاعدته العلوية ، مثل القاعدة السفلية ، تتكون من مسدس منتظم.
معادلة حجم الهرم المقطوع ، والتي يمكن اشتقاقها باستخدام حساب التفاضل والتكامل المشابه لتلك المعطاة ، هي:
V=1/3ح(A0+ A1+ √ (A0A1 )).
حيث A0و A1هي مناطق القواعد السفلية (الكبيرة) والعليا (الصغيرة) ، على التوالي. المتغير h هو ارتفاع الهرم المقطوع.
حجم هرم خوفو
المثير للاهتمام حل مشكلة تحديد الحجم الذي يحتوي بداخله أكبر هرم مصري.
في عام 1984 ، حدد عالما المصريات البريطانيان مارك لينر وجون جودمان الأبعاد الدقيقة لهرم خوفو. كان ارتفاعه الأصلي 146.50 مترًا (حاليًا حوالي 137 مترًا). كان متوسط طول كل جانب من الجوانب الأربعة للهيكل 230.363 مترًا.قاعدة الهرم مربعة بدقة عالية
دعونا نستخدم الأرقام المعطاة لتحديد حجم هذا الحجر العملاق. نظرًا لأن الهرم رباعي الزوايا منتظم ، فإن الصيغة صالحة له:
V4=1/3L2 h.
استبدل الأرقام ، نحصل على:
V4=1/3(230 ، 363)2 146 ، 5 ≈ 2591444 م3.
حجم هرم خوفو ما يقرب من 2.6 مليون م3. للمقارنة ، نلاحظ أن المسبح الأولمبي يبلغ حجمه 2.5 ألف م3. أي لملء هرم خوفو بأكمله ، ستكون هناك حاجة إلى أكثر من 1000 من هذه البرك!
