حساب أحجام الأشكال المكانية هو أحد المهام الهامة للقياس الفراغي. في هذه المقالة ، سننظر في مسألة تحديد حجم مجسم متعدد الوجوه مثل الهرم ، ونعطي أيضًا صيغة حجم الهرم السداسي المنتظم.
هرم سداسي
أولاً ، لنلقي نظرة على ماهية الشكل الذي سيتم مناقشته في المقالة
لنحصل على شكل سداسي تعسفي لا تتساوى أضلاعه بالضرورة مع بعضها البعض. افترض أيضًا أننا اخترنا نقطة في الفضاء ليست في مستوى الشكل السداسي. من خلال ربط جميع زوايا الأخير بالنقطة المحددة ، نحصل على هرم. هرمين مختلفين بقاعدة سداسية موضحة في الشكل أدناه.
يمكن ملاحظة أنه بالإضافة إلى الشكل السداسي ، يتكون الشكل من ستة مثلثات ، تسمى نقطة الاتصال بالرأس. الفرق بين الأهرامات المصوَّرة هو أن ارتفاع ح يمينها لا يتقاطع مع القاعدة السداسية في مركزها الهندسي ، ويهبط ارتفاع الشكل الأيسر.في هذا المركز تمامًا. وبفضل هذا المعيار سمي الهرم الأيسر مستقيما ، و الهرم الأيمن مائلا.
نظرًا لأن قاعدة الشكل الأيسر في الشكل مكونة من مسدس له جوانب وزوايا متساوية ، يطلق عليه الصحيح. علاوة على ذلك في المقال سنتحدث فقط عن هذا الهرم
حجم الهرم السداسي
لحساب حجم هرم تعسفي ، الصيغة التالية صالحة:
V=1/3حSo
هنا h هو طول ارتفاع الشكل ، Soهي مساحة قاعدتها. دعونا نستخدم هذا التعبير لتحديد حجم هرم سداسي منتظم.
نظرًا لأن الشكل قيد النظر يستند إلى مسدس متساوي الأضلاع ، لحساب مساحته ، يمكنك استخدام التعبير العام التالي لـ n-gon:
S=n / 4a2 ctg (pi / n)
هنا n هو عدد صحيح يساوي عدد الأضلاع (الزوايا) للمضلع ، و a طول ضلعه ، يتم حساب دالة ظل التمام باستخدام الجداول المناسبة.
بتطبيق تعبير n=6 ، نحصل على:
S6=6/4a2 ctg (pi / 6)=√3 / 2a2
الآن يبقى استبدال هذا التعبير في الصيغة العامة للمجلد الخامس:
V6=S6 h=√3 / 2ha2
وبالتالي ، لحساب حجم الهرم قيد الدراسة ، من الضروري معرفة معلمتين خطيتين: طول جانب القاعدة وارتفاع الشكل.
مثال على حل المشكلات
دعونا نوضح كيف يمكن استخدام التعبير الذي تم الحصول عليه لـ V6لحل المشكلة التالية.
من المعروف أن حجم الهرم السداسي العادي هو 100 سم3. من الضروري تحديد جانب القاعدة وارتفاع الشكل ، إذا كان معروفًا أنهما مرتبطان ببعضهما البعض بالمساواة التالية:
أ=2ح
نظرًا لأنه يتم تضمين a و h فقط في صيغة الحجم ، يمكن استبدال أي من هذه المعلمات فيه ، معبراً عنها بمصطلحات أخرى. على سبيل المثال ، استبدل أ ، نحصل على:
V6=√3 / 2h(2h)2=>
h=∛ (V6/ (2√3))
للعثور على قيمة ارتفاع الشكل ، عليك أن تأخذ جذر الدرجة الثالثة من الحجم ، والذي يتوافق مع بُعد الطول. نستبدل قيمة الحجم V6الهرم من بيان المشكلة ، نحصل على الارتفاع:
h=∛ (100 / (2√3)) ≈ 3.0676 سم
بما أن جانب القاعدة ، وفقًا لحالة المشكلة ، هو ضعف القيمة التي تم العثور عليها ، نحصل على قيمة لها:
أ=2ع=23 ، 0676=6 ، 1352 سم
يمكن العثور على حجم الهرم السداسي ليس فقط من خلال ارتفاع الشكل وقيمة جانب قاعدته. يكفي معرفة معلمتين خطيتين مختلفتين للهرم لحسابه ، على سبيل المثال الأبوتيما وطول الحافة الجانبية.
