نشأ مفهوم التكامل بسبب الحاجة إلى إيجاد الدالة العكسية بمشتقها ، وكذلك لتحديد مقدار الشغل ، ومساحة الأشكال المعقدة ، والمسافة المقطوعة ، مع المعلمات التي تحددها المنحنيات الموصوفة بالصيغ غير الخطية.
من الدورة
والفيزياء تعلم أن الشغل يساوي حاصل ضرب القوة والمسافة. إذا حدثت كل الحركات بسرعة ثابتة أو تم التغلب على المسافة باستخدام نفس القوة ، فكل شيء واضح ، ما عليك سوى مضاعفتها. ما هو جزء لا يتجزأ من الثابت؟ هذه دالة خطية بالصيغة y=kx + c.
لكن القوة أثناء العمل يمكن أن تتغير ، وفي نوع من الاعتماد الطبيعي. يحدث نفس الموقف مع حساب المسافة المقطوعة إذا لم تكن السرعة ثابتة.
إذن ، من الواضح ما هو التكامل. إن تعريفه على أنه مجموع منتجات قيم الوظيفة من خلال زيادة متناهية في الصغر للحجة يصف بالكامل المعنى الرئيسي لهذا المفهوم كمساحة من الشكل يحدها من أعلى خط الوظيفة ، وعلى الحواف بحدود التعريف
Jean Gaston Darboux ، عالم رياضيات فرنسي ، في النصف الثاني من القرن التاسع عشرأوضح القرن بوضوح ما هو التكامل. لقد أوضح أنه بشكل عام لن يكون من الصعب حتى على طالب المدرسة الثانوية فهم هذه المشكلة.
لنفترض أن هناك وظيفة لأي شكل معقد. المحور y ، الذي يتم فيه رسم قيم الحجة ، مقسم إلى فترات زمنية صغيرة ، من الناحية المثالية تكون صغيرة بشكل لا نهائي ، ولكن نظرًا لأن مفهوم اللانهاية هو مجرد فكرة مجردة ، يكفي تخيل أجزاء صغيرة فقط ، القيمة منها عادة ما يشار إليها بالحرف اليوناني Δ (دلتا).
الوظيفة تبين أنها "مقطوعة" إلى قوالب صغيرة.
تتوافق كل قيمة وسيطة مع نقطة على المحور y ، يتم فيها رسم قيم الوظيفة المقابلة. ولكن نظرًا لأن المنطقة المحددة لها حدين ، فستكون هناك أيضًا قيمتان للدالة ، أكثر وأقل.
مجموع حاصل ضرب القيم الأكبر بالزيادة Δ يسمى مجموع Darboux الكبير ، ويشار إليه على أنه S. وفقًا لذلك ، القيم الأصغر في منطقة محدودة ، مضروبة في Δ ، جميعًا معًا شكل دربوكس مبلغ صغير ق. المقطع نفسه يشبه شبه منحرف مستطيل ، حيث يمكن إهمال انحناء خط الوظيفة بزيادتها المتناهية الصغر. أسهل طريقة لإيجاد مساحة مثل هذا الشكل الهندسي هي إضافة حاصل ضرب القيمة الأكبر والأصغر للدالة عن طريق الزيادة Δ والقسمة على اثنين ، أي تحديدها على أنها المتوسط الحسابي.
هذا ما هو تكامل Darboux:
s=Σf (x) Δ كمية صغيرة ؛
S=Σf (x + Δ) Δ مبلغ كبير
إذن ما هو التكامل؟ المنطقة التي يحدها خط الوظيفة وحدود التعريف ستكون:
∫f (x) dx={(S + s) / 2} + c
أي أن المتوسط الحسابي لـ Darboux sums.c كبير وصغير هو قيمة ثابتة يتم ضبطها على صفر أثناء التفاضل.
بناءً على التعبير الهندسي لهذا المفهوم ، يصبح المعنى المادي للتكامل واضحًا. ستكون مساحة الشكل ، المحددة بواسطة وظيفة السرعة ، والمحدودة بالفاصل الزمني على طول محور الإحداثي ، هي طول المسار الذي يتم قطعه.
L=∫f (x) dx على الفاصل الزمني من t1 إلى t2 ،
أين
f (x) - وظيفة السرعة ، أي الصيغة التي تتغير بها بمرور الوقت ؛
L - طول المسار
t1 - وقت البدء ؛
t2 - وقت انتهاء الرحلة.
تمامًا وفقًا لنفس المبدأ ، يتم تحديد مقدار العمل ، وسيتم رسم المسافة فقط على طول الإحداثي ، وسيتم رسم مقدار القوة المطبقة في كل نقطة معينة على طول الإحداثي.
