المنشور هو متعدد السطوح أو متعدد السطوح ، والذي يتم دراسته في الدورة المدرسية للهندسة الصلبة. واحدة من الخصائص الهامة لهذا متعدد السطوح هو حجمه. دعنا نفكر في المقالة في كيفية حساب هذه القيمة ، ونقدم أيضًا الصيغ الخاصة بحجم المنشور - رباعي الزوايا وسداسي.
المنشور في القياس الفراغي
يُفهم هذا الشكل على أنه متعدد الوجوه ، والذي يتكون من مضلعين متطابقين يقعان في مستويات متوازية ، وعدة متوازي الأضلاع. بالنسبة لأنواع معينة من المناشير ، يمكن أن تمثل متوازي الأضلاع رباعي الأضلاع أو مربعات. يوجد أدناه مثال على ما يسمى بالمنشور الخماسي.
لبناء شكل كما في الشكل أعلاه ، تحتاج إلى أن تأخذ البنتاغون وتقوم بنقلها الموازي لمسافة معينة في الفضاء. ربط جانبي اثنين من البنتاغون باستخدام متوازي الأضلاع ، نحصل على المنشور المطلوب.
كل منشور يتكون من وجوه ورؤوس وحواف. رؤوس المنشورعلى عكس الهرم ، متساوون ، كل منهم يشير إلى إحدى القاعدتين. الوجوه والحواف من نوعين: التي تنتمي إلى القواعد وتلك التي تنتمي إلى الجوانب.
المنشورات من عدة أنواع (صحيحة ، مائلة ، محدبة ، مستقيمة ، مقعرة). دعونا نفكر لاحقًا في المقالة وفقًا للصيغة التي يتم حساب حجم المنشور فيها ، مع مراعاة شكل الشكل.
تعبير عام لتحديد حجم المنشور
بغض النظر عن النوع الذي ينتمي إليه الشكل قيد الدراسة ، سواء كان مستقيمًا أم مائلًا ، عاديًا أم غير منتظم ، هناك تعبير عام يسمح لك بتحديد حجمه. حجم الشكل المكاني هو مساحة المساحة المحاطة بين وجهيه. الصيغة العامة لحجم المنشور هي:
V=So× h.
هنا يمثل Soمساحة القاعدة. يجب أن نتذكر أننا نتحدث عن أساس واحد وليس عن أساسين. القيمة h هي الارتفاع. يُفهم ارتفاع الشكل قيد الدراسة على أنه المسافة بين قاعدته المتماثلة. إذا تزامنت هذه المسافة مع أطوال الأضلاع الجانبية ، فإن المرء يتحدث عن منشور مستقيم. في الشكل المستقيم ، جميع الجوانب مستطيلة.
وهكذا ، إذا كان المنشور مائلًا وله مضلع قاعدة غير منتظم ، يصبح حساب حجمه أكثر تعقيدًا. إذا كان الرقم مستقيمًا ، فسيتم تقليل حساب الحجم فقط لتحديد مساحة القاعدة So.
تحديد حجم الشكل العادي
العادي هو أي منشور مستقيم وله قاعدة متعددة الأضلاع مع جوانب وزوايا متساوية مع بعضها البعض. على سبيل المثال ، هذه المضلعات المنتظمة عبارة عن مربع ومثلث متساوي الأضلاع. في الوقت نفسه ، المعين ليس شكلًا عاديًا ، حيث ليست كل زواياه متساوية.
تأتي صيغة حجم المنشور العادي بشكل لا لبس فيه من التعبير العام لـ V ، والذي تمت كتابته في الفقرة السابقة من المقالة. قبل الشروع في كتابة الصيغة المقابلة ، من الضروري تحديد مساحة القاعدة الصحيحة. دون الخوض في التفاصيل الرياضية ، نقدم صيغة لتحديد المنطقة المشار إليها. إنه عالمي لأي n-gon عادي وله الشكل التالي:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
كما ترى من التعبير ، فإن المنطقة Snهي دالة من معلمتين. يمكن أن يأخذ العدد الصحيح n القيم من 3 إلى اللانهاية. القيمة a هي طول ضلع n-gon.
لحساب حجم الشكل ، من الضروري فقط ضرب المنطقة Sفي الارتفاع h أو بطول الحافة الجانبية b (h=b). نتيجة لذلك ، نصل إلى صيغة العمل التالية:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2× h.
لاحظ أنه لتحديد حجم منشور من نوع تعسفي ، تحتاج إلى معرفة عدة كميات (أطوال جوانب القاعدة ، الارتفاع ، زوايا ثنائية الأضلاع للشكل) ، ولكن لحساب القيمة V لـ منشور عادي ، نحتاج إلى معرفة معلمتين خطيتين فقط ، على سبيل المثال ، a و h
حجم المنشور المنتظم رباعي الزوايا
يسمى المنشور رباعي الزوايا متوازي السطوح. إذا كانت جميع الوجوه متساوية ومربعات ، فسيكون هذا الشكل مكعبًا. يعرف كل طالب أن حجم المستطيل متوازي السطوح أو المكعب يتحدد بضرب جوانبه الثلاثة المختلفة (الطول والارتفاع والعرض). تأتي هذه الحقيقة من تعبير الحجم العام المكتوب للرقم العادي:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2× h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2× h.
هنا ظل التمام 45 درجة يساوي 1. لاحظ أن مساواة الارتفاع h وطول جانب القاعدة a تؤدي تلقائيًا إلى صيغة حجم المكعب.
حجم المنشور العادي السداسي
الآن قم بتطبيق النظرية المذكورة أعلاه لتحديد حجم الشكل بقاعدة سداسية. للقيام بذلك ، ما عليك سوى استبدال القيمة n=6 في الصيغة:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2× h=3 × √3 / 2 × a2× ح
يمكن الحصول على التعبير المكتوب بشكل مستقل دون استخدام الصيغة العامة لـ S. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تقسيم الشكل السداسي العادي إلى ستة مثلثات متساوية الأضلاع. سيكون جانب كل منهم مساويًا ل. مساحة المثلث الواحد تقابل:
S3=√3 / 4 × a2.
بضرب هذه القيمة بعدد المثلثات (6) وبالارتفاع ، نحصل على الصيغة أعلاه للحجم.
