في الوصف الرياضي للحركة الدورانية ، من المهم معرفة لحظة القصور الذاتي للنظام حول المحور. في الحالة العامة ، يتضمن إجراء العثور على هذه الكمية تنفيذ عملية التكامل. إن ما يسمى بنظرية شتاينر يجعل الحساب أسهل. دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل في المقال.
ما هي لحظة القصور الذاتي
قبل إعطاء صياغة نظرية شتاينر ، من الضروري التعامل مع مفهوم لحظة القصور الذاتي. افترض أن هناك جسمًا ذا كتلة معينة وشكل تعسفي. يمكن أن يكون هذا الجسم إما نقطة مادية أو أي جسم ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد (قضيب ، أسطوانة ، كرة ، إلخ). إذا كان الكائن المعني يقوم بحركة دائرية حول بعض المحاور مع تسارع زاوي ثابت α ، فيمكن كتابة المعادلة التالية:
م=أناα
هنا ، تمثل القيمة M اللحظة الكلية للقوى ، والتي تعطي تسارع α للنظام بأكمله. معامل التناسب بينهما يسمى أنالحظة من الجمود. يتم حساب هذه الكمية المادية باستخدام الصيغة العامة التالية:
أنا=∫م(ص2 دسم)
هنا r هي المسافة بين العنصر ذي الكتلة dm ومحور الدوران. يعني هذا التعبير أنه من الضروري إيجاد مجموع حاصل ضرب مسافات التربيع r2والكتلة الأولية dm. أي أن لحظة القصور الذاتي ليست صفة صافية من سمات الجسد التي تميزه عن القصور الذاتي الخطي. يعتمد ذلك على توزيع الكتلة في جميع أنحاء الجسم الذي يدور ، وكذلك على المسافة إلى المحور وعلى اتجاه الجسم بالنسبة له. على سبيل المثال ، سيكون للقضيب حرف I مختلف إذا تم تدويره حول مركز الكتلة وحول النهاية.
لحظة القصور الذاتي ونظرية شتاينر
عالم الرياضيات السويسري الشهير ، جاكوب شتاينر ، أثبت النظرية على محاور متوازية ولحظة القصور الذاتي التي تحمل اسمه الآن. تفترض هذه النظرية أن لحظة القصور الذاتي لأي جسم صلب من الهندسة التعسفية بالنسبة إلى بعض محاور الدوران تساوي مجموع لحظة القصور الذاتي حول المحور الذي يتقاطع مع مركز كتلة الجسم وهو موازٍ للأول ، وحاصل ضرب كتلة الجسم في مربع المسافة بين هذين المحورين. رياضيا ، هذه الصيغة مكتوبة على النحو التالي:
IZ=IO+ ml2
IZوأناO- لحظات من القصور الذاتي حول المحور Z والمحور O الموازي له ، والذي يمر من خلال مركز كتلة الجسم ، l - المسافة بين الخطين Z و O.
تسمح النظرية ، بمعرفة قيمة IO، بالحسابفي أي لحظة أخرى أناZحول محور موازٍ لـ O.
إثبات النظرية
يمكن الحصول بسهولة على صيغة نظرية شتاينر بنفسك. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك جسمًا تعسفيًا على المستوى xy. دع أصل الإحداثيات يمر عبر مركز كتلة هذا الجسم. دعونا نحسب لحظة القصور الذاتي IOالتي تمر عبر الأصل بشكل عمودي على المستوى xy. نظرًا لأن المسافة إلى أي نقطة من الجسم يتم التعبير عنها بالصيغة r=√ (x2+ y2) ، فإننا نحصل على التكامل:
أناO=∫m(r2 dm)=∫ m((x2+ y2 )dm)
الآن دعنا نحرك المحور الموازي على طول المحور x بمسافة l ، على سبيل المثال ، في الاتجاه الإيجابي ، ثم سيبدو حساب المحور الجديد لعزم القصور الذاتي كما يلي:
أناZ=∫m(((x + l)2+ y2)dm)
قم بتوسيع المربع الكامل بين قوسين وقسم التكامل ، نحصل على:
IZ=∫m((x2+ l2+ 2xl + y2)dm)=∫m((x2+ y2)dm) + 2l∫m(xdm) + l2 ∫mdm
أول هذه المصطلحات هي القيمة IO، المصطلح الثالث ، بعد التكامل ، يعطي المصطلح l2 m ، وهنا الحد الثاني هو صفر. يرجع تصفير التكامل المحدد إلى حقيقة أنه مأخوذ من حاصل ضرب x وعناصر الكتلة dm ، والتي فيالمتوسط يعطي صفرًا ، لأن مركز الكتلة هو في الأصل. نتيجة لذلك ، يتم الحصول على صيغة نظرية شتاينر.
يمكن تعميم الحالة المدروسة على المستوى على جسم ثلاثي الأبعاد.
التحقق من صيغة شتاينر على مثال قضيب
لنقدم مثالاً بسيطًا لشرح كيفية استخدام النظرية أعلاه.
من المعروف أنه بالنسبة لقضيب بطول L وكتلة م ، فإن لحظة القصور الذاتي IO(يمر المحور عبر مركز الكتلة) تساوي مL2/ 12 ، واللحظة IZ(يمر المحور عبر نهاية القضيب) تساوي mL2/ 3. دعنا نتحقق من هذه البيانات باستخدام نظرية شتاينر. نظرًا لأن المسافة بين المحورين هي L / 2 ، فإننا نحصل على اللحظة IZ:
IZ=IO+ m(L / 2)2=مL2/ 12 + مL2/ 4=4مL2/ 12=مL2/ 3
أي أننا فحصنا صيغة شتاينر وحصلنا على نفس القيمة لـ IZكما في المصدر.
يمكن إجراء حسابات مماثلة للأجسام الأخرى (الأسطوانة ، الكرة ، القرص) ، مع الحصول على اللحظات اللازمة من القصور الذاتي ، وبدون إجراء تكامل.
لحظة القصور الذاتي والمحاور العمودية
النظرية المدروسة تتعلق بالمحاور المتوازية. من أجل اكتمال المعلومات ، من المفيد أيضًا إعطاء نظرية للمحاور العمودية. تتم صياغتها على النحو التالي: بالنسبة لجسم مسطح ذي شكل تعسفي ، فإن لحظة القصور الذاتي حول محور متعامد عليه ستكون مساوية لمجموع لحظتين من القصور الذاتي حول اثنين متعامدين بشكل متبادل وكاذبفي مستوى كائن المحاور ، مع مرور جميع المحاور الثلاثة عبر نفس النقطة. رياضيا ، هذا مكتوب على النحو التالي:
أناz=أناx+ أناy
هنا z ، x ، y ثلاثة محاور عمودية متبادلة للدوران.
الاختلاف الأساسي بين هذه النظرية ونظرية شتاينر هو أنها قابلة للتطبيق فقط على الأجسام الصلبة المسطحة (ثنائية الأبعاد). ومع ذلك ، في الممارسة العملية ، يتم استخدامه على نطاق واسع ، حيث يتم تقطيع الجسم عقليًا إلى طبقات منفصلة ، ثم إضافة لحظات القصور الذاتي التي تم الحصول عليها.
