تتطلب الدراسة الكمية لديناميات وحركية الحركة الدورانية معرفة لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية وجسم صلب بالنسبة لمحور الدوران. سننظر في المقالة في المعلمة التي نتحدث عنها ، ونقدم أيضًا صيغة لتحديدها.
معلومات عامة عن الكمية المادية
أولاً ، دعنا نحدد لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية وجسم صلب ، ثم نوضح كيف يجب استخدامها في حل المشكلات العملية.
تحت الخاصية الفيزيائية المشار إليها لنقطة كتلتها m ، والتي تدور حول المحور على مسافة r ، فإن القيمة التالية تعني:
I=mr².
حيث يترتب على ذلك أن وحدة قياس المعلمة المدروسة هي كيلوجرام لكل متر مربع (kgm²).
إذا كان ، بدلاً من نقطة حول محور ، يدور جسم ذو شكل معقد ، وله توزيع عشوائي للكتلة داخل نفسه ، فعندئذ يتم تحديد لحظة القصور الذاتيلذلك:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
أين ρ هي كثافة الجسم. باستخدام الصيغة المتكاملة ، يمكنك تحديد قيمة I لأي نظام دوران على الإطلاق.
لحظة القصور الذاتي لها نفس معنى الدوران تمامًا مثل الكتلة للحركة الانتقالية. على سبيل المثال ، يعلم الجميع أنه من الأسهل تدوير ممسحة الأرضية حول محور يمر عبر مقبضها بدلاً من تدويرها في اتجاه عمودي. هذا يرجع إلى حقيقة أن لحظة القصور الذاتي في الحالة الأولى أقل بكثير مما كانت عليه في الثانية.
أقدر أجساد الأشكال المختلفة
عند حل المشكلات في الفيزياء من أجل الدوران ، غالبًا ما يكون من الضروري معرفة لحظة القصور الذاتي لجسم ذي شكل هندسي معين ، على سبيل المثال ، للأسطوانة أو الكرة أو القضيب. إذا طبقنا الصيغة المكتوبة أعلاه لـ I ، فمن السهل الحصول على التعبير المقابل لجميع الهيئات المميزة. فيما يلي الصيغ لبعض منهم:
قضيب: I=1/12ML² ؛
اسطوانة: I=1/2MR² ؛
المجال: I=2/5MR².
هنا أعطيت لمحور الدوران ، الذي يمر عبر مركز كتلة الجسم. في حالة الأسطوانة ، يكون المحور موازٍ لمولد الشكل. يمكن العثور على لحظة القصور الذاتي للهيئات الهندسية الأخرى وخيارات موقع محاور الدوران في الجداول المقابلة. لاحظ أنه لتحديد أشكال مختلفة ، يكفي معرفة معلمة هندسية واحدة وكتلة الجسم.
نظرية وصيغة شتاينر
يمكن تحديد لحظة القصور الذاتي إذا كان محور الدوران يقع على مسافة ما من الجسم. للقيام بذلك ، يجب أن تعرف طول هذا الجزء وقيمة IOمن الجسم بالنسبة إلى المحور الذي يمر عبر مركز كتلته ، والذي يجب أن يكون موازيًا للمحور الموجود أسفله الاعتبار. تم إصلاح إنشاء اتصال بين المعلمة IOوالقيمة غير المعروفة I في نظرية شتاينر. تتم كتابة لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية وجسم صلب رياضيًا على النحو التالي:
أنا=أناO+ Mh2.
هنا M هي كتلة الجسم ، h هي المسافة من مركز الكتلة إلى محور الدوران ، والتي من الضروري حسابها بالنسبة لها. من السهل الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت استخدم الصيغة المتكاملة لـ I مع مراعاة أن جميع نقاط الجسم على مسافات r=r0+ h.
تبسط نظرية شتاينر بشكل كبير تعريف أنا في العديد من المواقف العملية. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إيجاد I لقضيب بطول L وكتلة M فيما يتعلق بمحور يمر عبر نهايته ، فإن تطبيق نظرية شتاينر يتيح لك كتابة:
أنا=أناO+ M(L / 2)2=1/12ML2+ ML2/ 4=ML2/ 3.
يمكنك الرجوع إلى الجدول المقابل ومعرفة أنه يحتوي بالضبط على هذه الصيغة لقضيب رفيع مع محور دوران في نهايته.
معادلة اللحظة
في فيزياء الدوران هناك صيغة تسمى معادلة اللحظات. يبدو كالتالي:
م=أناα.
هنا M هي لحظة القوة ، α هي التسارع الزاوي. كما ترون ، فإن لحظة القصور الذاتي لنقطة مادية وجسم صلب ولحظة القوة مرتبطة خطيًا ببعضها البعض. تحدد القيمة M إمكانية وجود بعض القوة F لإنشاء حركة دورانية مع تسارع α في النظام. لحساب M ، استخدم التعبير البسيط التالي:
M=Fد.
حيث d هو كتف اللحظة ، والذي يساوي المسافة من متجه القوة F إلى محور الدوران. كلما كان الذراع أصغر d ، قلت قدرة القوة على إحداث دوران للنظام.
تتوافق معادلة اللحظات في معناها تمامًا مع قانون نيوتن الثاني. في هذه الحالة ، ألعب دور كتلة القصور الذاتي
مثال على حل المشكلات
لنتخيل نظامًا عبارة عن أسطوانة مثبتة على محور رأسي بقضيب أفقي عديم الوزن. من المعروف أن محور الدوران والمحور الرئيسي للأسطوانة متوازيان ، والمسافة بينهما 30 سم ، وكتلة الأسطوانة 1 كجم ، ونصف قطرها 5 سم. قوة مقدارها 10 N مماس لمسار الدوران يعمل على الشكل ، والذي يمر متجه عبر المحور الرئيسي للأسطوانة. من الضروري تحديد العجلة الزاوية للشكل الذي ستسببه هذه القوة.
أولاً ، دعنا نحسب لحظة القصور الذاتي للأسطوانة I. للقيام بذلك ، قم بتطبيق نظرية شتاينر ، لدينا:
I=IO+ Md²=1/2MR² + Md²=1/210.05² + 10، 3²=0.09125 كجمم².
قبل استخدام معادلة اللحظة ، تحتاج إلىتحديد لحظة القوة M. في هذه الحالة لدينا:
M=Fد=100 ، 3=3 نيوتنم.
الآن يمكنك تحديد التسارع:
α=M / I=3 / 0.09125 ≈ 32.9 راديان / ثانية².
يشير التسارع الزاوي المحسوب إلى أن سرعة الأسطوانة ستزداد بمقدار 5.2 دورة في الثانية في كل ثانية.
