لقد سمع كل طالب عن مخروط دائري ويتخيل كيف يبدو هذا الشكل ثلاثي الأبعاد. تحدد هذه المقالة تطور المخروط ، وتوفر الصيغ التي تصف خصائصه ، وتصف كيفية بنائه باستخدام بوصلة ومنقلة ومستقيم.
مخروط دائري في الهندسة
دعونا نعطي تعريفًا هندسيًا لهذا الشكل. المخروط المستدير هو سطح يتكون من مقاطع مستقيمة تربط جميع نقاط دائرة معينة بنقطة واحدة في الفضاء. يجب ألا تنتمي هذه النقطة المفردة إلى المستوى الذي تقع فيه الدائرة. إذا أخذنا دائرة بدلاً من دائرة ، فإن هذه الطريقة تؤدي أيضًا إلى شكل مخروط.
تسمى الدائرة قاعدة الشكل ومحيطها هو الدليل. المقاطع التي تربط النقطة بالدليل تسمى المولدات أو المولدات ، والنقطة التي تتقاطع فيها هي رأس المخروط.
يمكن أن يكون المخروط المستدير مستقيمًا ومائلًا. يظهر كلا الشكلين في الشكل أدناه.
الاختلاف بينهما هو: إذا كان العمود الرأسي من أعلى المخروط يقع بالضبط في مركز الدائرة ، فسيكون المخروط مستقيماً. بالنسبة له ، فإن العمود العمودي ، والذي يسمى ارتفاع الشكل ، هو جزء من محوره. في حالة المخروط المائل ، يشكل الارتفاع والمحور زاوية حادة.
نظرًا لبساطة الشكل وتماثله ، سننظر أيضًا في خصائص المخروط الأيمن فقط بقاعدة مستديرة.
الحصول على شكل باستخدام التدوير
قبل الشروع في النظر في تطوير سطح المخروط ، من المفيد معرفة كيف يمكن الحصول على هذا الشكل المكاني باستخدام الدوران.
لنفترض أن لدينا مثلث قائم الزاوية بأضلاعه أ ، ب ، ج. أول اثنين منهم من الأرجل ، ج هو الوتر. لنضع مثلثًا على الساق أ ونبدأ في تدويره حول الساق ب. سيصف الوتر c بعد ذلك سطحًا مخروطيًا. هذه التقنية المخروطية البسيطة موضحة في الرسم البياني أدناه.
من الواضح أن الساق أ ستكون نصف قطر قاعدة الشكل ، وستكون الساق ب ارتفاعها ، والوتر ج يتوافق مع مصفوفة المخروط الأيمن المستدير.
منظر لتطور المخروط
كما قد تتخيل ، يتكون المخروط من نوعين من الأسطح. واحد منهم عبارة عن دائرة قاعدة مسطحة. افترض أن نصف قطرها r. السطح الثاني جانبي ويسمى مخروطي الشكل. اجعل مولده يساوي g
إذا كان لدينا مخروط ورقي ، فيمكننا أخذ المقص ونقطع القاعدة منه. ثم يجب قطع السطح المخروطيعلى طول أي مولد ونشره على المستوى. بهذه الطريقة ، حصلنا على تطور للسطح الجانبي للمخروط. يظهر السطحان ، جنبًا إلى جنب مع المخروط الأصلي ، في الرسم التخطيطي أدناه.
تم تصوير الدائرة الأساسية في أسفل اليمين. يظهر السطح المخروطي غير المطوي في المركز. اتضح أنه يتوافق مع قطاع دائري من الدائرة ، نصف قطرها يساوي طول المصفوفة g.
اكتساح الزاوية والمساحة
الآن نحصل على صيغ تسمح لنا ، باستخدام المعلمات المعروفة g و r ، بحساب مساحة وزاوية المخروط.
من الواضح أن طول قوس القطاع الدائري الموضح أعلاه في الشكل يساوي محيط القاعدة ، أي:
l=2pir.
إذا تم بناء الدائرة بأكملها بنصف قطر g ، فسيكون طولها:
L=2pig.
نظرًا لأن الطول L يتوافق مع 2pi راديان ، فيمكن تحديد الزاوية التي يرتكز عليها القوس l من النسبة المقابلة:
L==>2pi ؛
l==> φ.
ثم الزاوية المجهولة φ ستكون مساوية لـ:
φ=2pil / L.
باستبدال التعبيرات الخاصة بالطول l و L ، نصل إلى صيغة زاوية تطور السطح الجانبي للمخروط:
φ=2pir / g.
يتم التعبير عن الزاوية φ هنا بالتقدير الدائري.
لتحديد المنطقة Sbلقطاع دائري ، سنستخدم القيمة التي تم العثور عليها لـ φ. نصنع نسبة أخرى ، فقط للمناطق. لدينا:
2بي==>pig2؛
φ==> Sb.
من حيث يتم التعبير عن Sb، ثم استبدل قيمة الزاوية φ. نحصل على:
Sb=φg2 pi / (2pi)=2pir / gg2/ 2=pirg.
بالنسبة لمساحة السطح المخروطي ، حصلنا على صيغة مضغوطة إلى حد ما. قيمة Sbتساوي حاصل ضرب ثلاثة عوامل: pi ، نصف قطر الشكل ومولده.
ثم مساحة السطح بالكامل للشكل ستكون مساوية لمجموع Sbو So(دائري منطقة قاعدة). نحصل على الصيغة:
S=Sb+ So=pir(g + r).
بناء مسح مخروط على الورق
لإكمال هذه المهمة ستحتاج إلى قطعة من الورق وقلم رصاص ومنقلة ومسطرة وبوصلة.
في البداية لنرسم مثلث قائم الزاوية أضلاعه 3 سم و 4 سم و 5 سم ، ودورانه حول الضلع البالغ 3 سم سيعطي المخروط المطلوب. الشكل ص=3 سم ، ع=4 سم ، ز=5 سم.
سيبدأ بناء المسح برسم دائرة نصف قطرها r ببوصلة. طوله يساوي 6pi cm ، والآن بجانبه سنرسم دائرة أخرى ، لكن نصف قطرها g. سوف يتوافق طوله مع 10pi cm ، والآن نحتاج إلى قطع قطاع دائري من دائرة كبيرة. زاويته φ هي:
φ=2pir / g=2pi3/5=216o.
الآن نضع هذه الزاوية مع منقلة على دائرة نصف قطرها g ونرسم نصف قطر سيحدان من القطاع الدائري.
هكذاوهكذا ، قمنا ببناء تطوير للمخروط مع المعلمات المحددة لنصف القطر والارتفاع والمولد.
مثال على حل مشكلة هندسية
إعطاء مخروط مستدير مستدير. من المعروف أن زاوية اكتساحه الجانبي هي 120o. من الضروري إيجاد نصف القطر والمصفوفة المولدة لهذا الشكل ، إذا كان من المعروف أن ارتفاع h للمخروط هو 10 سم.
المهمة ليست صعبة إذا تذكرنا أن المخروط المستدير هو شكل دوران لمثلث قائم الزاوية. من هذا المثلث يتبع علاقة لا لبس فيها بين الارتفاع ونصف القطر والمركبة. لنكتب الصيغة المقابلة:
g2=h2+ r2.
التعبير الثاني الذي يجب استخدامه عند الحل هو صيغة الزاوية φ:
φ=2pir / g.
وهكذا ، لدينا معادلتان تتعلقان بكميتين غير معروفين (r و g).
Express g من الصيغة الثانية واستبدل النتيجة بالصيغة الأولى ، نحصل على:
g=2pir / φ ؛
h2+ r2=4pi2 r 2/ φ2=>
r=h / √ (4pi2/ φ2- 1).
الزاوية φ=120oبالتقدير الدائري تساوي 2pi / 3. نعوض بهذه القيمة ، نحصل على الصيغ النهائية لـ r و g:
r=ح / √8 ؛
g=3h /88.
يبقى استبدال قيمة الارتفاع والحصول على إجابة سؤال المشكلة: ص 3.54 سم ، ز ≈ 10.61 سم.
