الحجم ومساحة السطح سمتان مهمتان لأي جسم له أبعاد محدودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في هذه المقالة ، نعتبر فئة معروفة من متعدد السطوح - المنشورات. على وجه الخصوص ، سيتم الكشف عن مسألة كيفية العثور على مساحة سطح المنشور المستقيم.
ما هو المنشور؟
المنشور هو أي متعدد الوجوه يحده عدة متوازي أضلاع ومضلعين متطابقين يقعان في مستويات متوازية. تعتبر هذه المضلعات أساس الشكل ، ومتوازيات الأضلاع هي جوانبها. يحدد عدد جوانب (زوايا) القاعدة اسم الشكل. على سبيل المثال ، يوضح الشكل أدناه منشور خماسي.
المسافة بين القواعد تسمى ارتفاع الشكل. إذا كان الارتفاع مساويًا لطول أي حافة جانبية ، فسيكون هذا المنشور مستقيمًا. الميزة الثانية الكافية للمنشور المستقيم هي أن جميع جوانبه عبارة عن مستطيلات أو مربعات. إذا ، على الرغم منإذا كان أحد الجوانب متوازي أضلاع عام ، فسيكون الشكل مائلاً. أدناه يمكنك أن ترى كيف يختلف المنشور المستقيم والمائل بصريًا في مثال الأشكال الرباعية الزوايا.
مساحة سطح المنشور المستقيم
إذا كان الشكل الهندسي له قاعدة n-gonal ، فإنه يتكون من n + 2 وجوه ، n منها مستطيلات. دعنا نشير إلى أطوال جوانب القاعدة على أنهاi، حيث i=1 ، 2 ، … ، n ، ونشير إلى ارتفاع الشكل الذي يساوي طول الحافة الجانبية ، مثل h. لتحديد المساحة (S) لسطح كل الوجوه ، أضف المساحة Soلكل قاعدة وكل مناطق الجوانب (المستطيلات). وبالتالي ، يمكن كتابة صيغة S بشكل عام على النحو التالي:
S=2So+ Sb
حيث Sbهي مساحة السطح الجانبي.
نظرًا لأن قاعدة المنشور المستقيم يمكن أن تكون على الإطلاق أي مضلع مسطح ، فلا يمكن إعطاء صيغة واحدة لحساب So، ولتحديد هذه القيمة بشكل عام يجب إجراء التحليل الهندسي. على سبيل المثال ، إذا كانت القاعدة عبارة عن n-gon عادي مع الضلع a ، فسيتم حساب مساحتها بواسطة الصيغة:
So=n / 4ctg (pi / n)a2
بالنسبة لقيمة Sb، يمكن إعطاء التعبير الخاص بحسابها. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم هي:
Sb=h∑i=1(ai)
أي القيمةيتم حساب Sbعلى أنه حاصل ضرب ارتفاع الشكل ومحيط قاعدته.
مثال على حل المشكلات
دعنا نطبق المعرفة المكتسبة لحل المشكلة الهندسية التالية. بالنظر إلى المنشور ، قاعدته مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة 5 سم و 7 سم ، وارتفاع الشكل 10 سم ، ومن الضروري إيجاد مساحة سطح منشور مثلث قائم.
أولاً ، لنحسب وتر المثلث. سيساوي:
c=√ (52+ 72)=8.6 سم
الآن لنقم بعملية حسابية تحضيرية أخرى - احسب محيط القاعدة. سيكون:
P=5 + 7 + 8.6=20.6 سم
يتم حساب مساحة السطح الجانبي للشكل على أنه حاصل ضرب القيمة P والارتفاع h=10 سم ، أي Sb=206 سم2.
للعثور على مساحة السطح بالكامل ، يجب إضافة منطقتين أساسيتين إلى القيمة التي تم العثور عليها. نظرًا لأن مساحة المثلث الأيمن يتم تحديدها بنصف حاصل ضرب الساقين ، نحصل على:
2So=257/2=35 سم2
ثم نحصل على أن مساحة سطح المنشور الثلاثي المستقيم هي 35 + 206=241 سم2.
