أحد الأشكال التي تحدث عند حل المسائل الهندسية في الفضاء هو المخروط. إنه ، على عكس متعدد الوجوه ، ينتمي إلى فئة أشكال الدوران. دعنا نفكر في المقال في ما هو المقصود به في الهندسة ، ونستكشف خصائص الأقسام المختلفة للمخروط.
مخروط في الهندسة
افترض أن هناك منحنى على المستوى. يمكن أن يكون قطع مكافئ ، دائرة ، قطع ناقص ، وما إلى ذلك. خذ نقطة لا تنتمي إلى المستوى المحدد ، وقم بتوصيل جميع نقاط المنحنى بها. السطح الناتج يسمى مخروط أو ببساطة مخروط.
إذا كان المنحنى الأصلي مغلقًا ، فيمكن ملء السطح المخروطي بالمادة. الشكل الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة هو جسم ثلاثي الأبعاد. ويسمى أيضا مخروط. عدة مخاريط ورقية موضحة أدناه.
السطح المخروطي موجود في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، يكون لمخروط الآيس كريم أو مخروط المرور المخطط هذا الشكل ، وهو مصمم لجذب انتباه السائقين والمشاة
أنواع المخاريط
كما قد تتخيل ، تختلف الأشكال قيد النظر عن بعضها البعض حسب نوع المنحنى الذي تشكلت عليه. على سبيل المثال ، هناك مخروط دائري أو بيضاوي الشكل. يسمى هذا المنحنى بقاعدة الشكل. ومع ذلك ، فإن شكل القاعدة ليس الميزة الوحيدة التي تسمح بتصنيف الأقماع.
السمة الثانية المهمة هي موضع الارتفاع بالنسبة للقاعدة. ارتفاع المخروط هو قطعة مستقيمة يتم إنزالها من أعلى الشكل إلى مستوى القاعدة ويكون عموديًا على هذا المستوى. إذا تقاطع الارتفاع مع القاعدة في المركز الهندسي (على سبيل المثال ، في وسط الدائرة) ، فسيكون المخروط مستقيمًا ، وإذا انخفض الجزء العمودي إلى أي نقطة أخرى من القاعدة أو بعدها ، فسيكون الشكل مائل.
علاوة على ذلك في المقالة ، سننظر فقط في المخروط المستدير المستدير كممثل مشرق لفئة الشخصيات المدروسة.
الأسماء الهندسية للعناصر المخروطية
قيل أعلاه أن المخروط له قاعدة. تحدها دائرة تسمى دليل المخروط. تسمى المقاطع التي تربط الدليل بنقطة لا تقع في مستوى القاعدة بالمولدات. تسمى مجموعة جميع نقاط المولدات السطح المخروطي أو الجانبي للشكل. بالنسبة للمخروط الأيمن المستدير ، فإن جميع المولدات لها نفس الطول.
النقطة التي يتقاطع عندها المولدات تسمى أعلى الشكل. على عكس متعددات الوجوه ، المخروط له رأس واحد وليس لهحافة
يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر الجزء العلوي من الشكل ومركز الدائرة بالمحور. يحتوي المحور على ارتفاع مخروط مستقيم ، لذا فهو يشكل زاوية قائمة مع مستوى القاعدة. هذه المعلومات مهمة عند حساب مساحة المقطع المحوري للمخروط.
مخروط مستدير مستدير - شكل دوران
المخروط المدروس هو شكل متماثل إلى حد ما ، يمكن الحصول عليه نتيجة دوران المثلث. افترض أن لدينا مثلثًا بزاوية قائمة. للحصول على مخروط ، يكفي تدوير هذا المثلث حول إحدى الأرجل كما هو موضح بالشكل أدناه.
يمكن ملاحظة أن محور الدوران هو محور المخروط. ستكون إحدى الأرجل مساوية لارتفاع الشكل ، وستصبح الساق الثانية نصف قطر القاعدة. سيصف وتر المثلث نتيجة الدوران سطحًا مخروطيًا. ستكون المصفوفة المولدة للمخروط.
هذه الطريقة للحصول على مخروط مستدير مستدير ملائمة للاستخدام لدراسة العلاقة الرياضية بين المعلمات الخطية للشكل: الارتفاع h ، نصف قطر القاعدة المستديرة r والدليل g. تأتي الصيغة المقابلة من خصائص المثلث القائم الزاوية. وهي مدرجة أدناه:
g2=h2+ r2.
نظرًا لأن لدينا معادلة واحدة وثلاثة متغيرات ، فهذا يعني أنه لتعيين معلمات المخروط الدائري بشكل فريد ، فأنت بحاجة إلى معرفة أي كميتين.
أقسام المخروط بمستوى لا يحتوي على رأس الشكل
مسألة بناء أقسام من الشكل ليست كذلكتافه. الحقيقة هي أن شكل قسم المخروط بالسطح يعتمد على الموضع النسبي للشكل والقاطع.
افترض أننا نتقاطع مع المخروط مع مستوى. ماذا ستكون نتيجة هذه العملية الهندسية؟ تظهر خيارات شكل القسم في الشكل أدناه.
القسم الوردي عبارة عن دائرة. يتكون نتيجة تقاطع الشكل مع مستوى موازٍ لقاعدة المخروط. هذه أقسام متعامدة على محور الشكل. الشكل المكوّن فوق مستوى القطع هو مخروط مشابه للشكل الأصلي ، لكن له دائرة أصغر في القاعدة.
القسم الأخضر عبارة عن قطع ناقص. يتم الحصول عليها إذا لم يكن مستوى القطع موازيًا للقاعدة ، ولكنه يتقاطع فقط مع السطح الجانبي للمخروط. الشكل المقطوع فوق المستوى يسمى مخروط بيضاوي مائل.
المقاطع الزرقاء والبرتقالية قطع مكافئ وزائدي ، على التوالي. كما ترى من الشكل ، يتم الحصول عليها إذا تقاطع مستوى القطع مع السطح الجانبي وقاعدة الشكل في نفس الوقت.
لتحديد مناطق أقسام المخروط التي تم النظر فيها ، من الضروري استخدام الصيغ للشكل المقابل على المستوى. على سبيل المثال ، بالنسبة للدائرة ، هذا هو الرقم Pi مضروبًا في مربع نصف القطر ، وبالنسبة للقطع الناقص ، هذا هو حاصل ضرب Pi وطول النصفين الصغرى والرئيسية:
دائرة: S=pir2؛
القطع الناقص: S=piab.
أقسام تحتوي على الجزء العلوي من المخروط
الآن ضع في اعتبارك خيارات الأقسام التي تظهر إذا كان مستوى القطع كذلكتمر عبر الجزء العلوي من المخروط. ثلاث حالات ممكنة:
- القسم هو نقطة واحدة. على سبيل المثال ، المستوى الذي يمر عبر الرأس وبالتوازي مع القاعدة يعطي مثل هذا المقطع.
- المقطع خط مستقيم. يحدث هذا الموقف عندما يكون المستوى مماسًا لسطح مخروطي الشكل. سيكون الخط المستقيم للمقطع في هذه الحالة هو المصفوفة المولدة للمخروط.
- قسم محوري. يتشكل عندما لا يحتوي المستوى على الجزء العلوي من الشكل فحسب ، بل يحتوي أيضًا على محوره بالكامل. في هذه الحالة ، سيكون المستوى عموديًا على القاعدة المستديرة وسوف يقسم المخروط إلى جزأين متساويين.
من الواضح أن مناطق النوعين الأولين من الأقسام تساوي الصفر. أما بالنسبة لمساحة المقطع العرضي للمخروط للنوع الثالث ، فستتم مناقشة هذه المسألة بمزيد من التفصيل في الفقرة التالية.
قسم محوري
لوحظ أعلاه أن المقطع المحوري للمخروط هو الشكل الذي يتكون عندما يتقاطع المخروط مع مستوى يمر عبر محوره. من السهل تخمين أن هذا القسم سيمثل الشكل الموضح في الشكل أدناه.
هذا مثلث متساوي الساقين. رأس المقطع المحوري للمخروط هو رأس هذا المثلث ، ويتكون من تقاطع جوانب متطابقة. هذا الأخير يساوي طول شبكة المخروط. قاعدة المثلث هي قطر قاعدة المخروط.
يتم تقليل حساب مساحة المقطع المحوري للمخروط لإيجاد مساحة المثلث الناتج. إذا كان نصف قطر القاعدة r والارتفاع h للمخروط معروفين في البداية ، فإن المنطقة S للقسم قيد النظر ستكون:
S=حص.
هذاالتعبير هو نتيجة لتطبيق الصيغة القياسية لمساحة المثلث (نصف حاصل ضرب الارتفاع في القاعدة).
لاحظ أنه إذا كانت المصفوفة العامة للمخروط تساوي قطر قاعدتها الدائرية ، فإن القسم المحوري للمخروط هو مثلث متساوي الأضلاع.
يتكون القسم المثلث عندما يكون مستوى القطع متعامدًا على قاعدة المخروط ويمر عبر محوره. أي مستوى آخر موازٍ للمستوى المحدد سيعطي قطعًا زائدًا في القسم. ومع ذلك ، إذا كان المستوى يحتوي على رأس المخروط ويتقاطع مع قاعدته وليس من خلال القطر ، فإن القسم الناتج سيكون أيضًا مثلث متساوي الساقين.
مشكلة تحديد المعلمات الخطية للمخروط
دعونا نوضح كيفية استخدام الصيغة المكتوبة لمساحة المقطع المحوري لحل مشكلة هندسية.
من المعروف أن مساحة المقطع المحوري للمخروط 100 سم2. المثلث الناتج متساوي الأضلاع. ما ارتفاع المخروط ونصف قطر قاعدته؟
بما أن المثلث متساوي الأضلاع ، فإن ارتفاعه h يرتبط بطول الضلع a كما يلي:
ح=√3 / 2أ.
بالنظر إلى أن ضلع المثلث يساوي ضعف نصف قطر قاعدة المخروط ، وبالتعويض عن هذا التعبير في صيغة مساحة المقطع العرضي ، نحصل على:
S=hr=√3 / 22rr=>
r=√ (S / √3).
ثم ارتفاع المخروط:
h=√3 / 22r=√3√ (S / √3)=√ (√3S).
يبقى استبدال قيمة المنطقة من حالة المشكلةواحصل على الجواب:
r=√ (100 / √3) ≈ 7.60 سم ؛
ع=√ (3100) ≈ 13 ، 16 سم.
في أي المجالات من المهم معرفة معلمات الأقسام المدروسة؟
دراسة الأنواع المختلفة من الأقسام المخروطية ليست فقط ذات أهمية نظرية ، ولكن لها أيضًا تطبيقات عملية.
أولاً ، تجدر الإشارة إلى منطقة الديناميكا الهوائية ، حيث بمساعدة المقاطع المخروطية ، يمكن إنشاء أشكال ناعمة مثالية للأجسام الصلبة.
ثانيًا ، المقاطع المخروطية عبارة عن مسارات تتحرك على طولها الأجسام الفضائية في مجالات الجاذبية. ما نوع المقطع المحدد الذي يمثل مسار حركة الأجسام الكونية للنظام يتحدد بنسبة كتلها والسرعات المطلقة والمسافات بينها.
