تلعب دراسة خصائص الأشكال المكانية دورًا مهمًا في حل المشكلات العملية. يُطلق على العلم الذي يتعامل مع الأشكال في الفضاء قياس الفراغ. في هذه المقالة ، من وجهة نظر الهندسة الصلبة ، سننظر في المخروط ونبين كيفية إيجاد مساحة المخروط.
مخروط بقاعدة مستديرة
في الحالة العامة ، المخروط هو سطح مبني على منحنى مستوٍ ما ، وجميع نقاطه متصلة بأجزاء ذات نقطة واحدة في الفضاء. هذا الأخير يسمى قمة المخروط.
من التعريف أعلاه ، من الواضح أن المنحنى يمكن أن يكون له شكل تعسفي ، مثل القطع المكافئ ، والزائدي ، والإهليلجي ، وما إلى ذلك. ومع ذلك ، في الممارسة العملية وفي مشاكل الهندسة ، غالبًا ما يكون مخروطًا دائريًا يتم مواجهته غالبًا. هو موضح في الصورة أدناه.
هنا يشير الرمز r إلى نصف قطر الدائرة الموجودة في قاعدة الشكل ، و h هو العمود العمودي على مستوى الدائرة ، والذي يتم رسمه من أعلى الشكل. إنه يسمى الارتفاع. القيمة s هي المصفوفة المولدة للمخروط ، أو مصفوفة تكوينه.
يمكن ملاحظة أن المقاطع r و h و sشكل مثلث قائم الزاوية. إذا تم تدويره حول الساق h ، فسيصف الوتر السطح المخروطي ، وتشكل الساق r القاعدة المستديرة للشكل. لهذا السبب ، يعتبر المخروط رمزًا للثورة. المعلمات الخطية الثلاثة المسماة مترابطة من خلال المساواة:
s2=r2+ h2
لاحظ أن المساواة المعطاة صالحة فقط لمخروط دائري مستقيم. الشكل المستقيم يكون فقط إذا كان ارتفاعه يقع بالضبط في مركز دائرة القاعدة. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فإن الرقم يسمى مائل. يظهر الفرق بين المخاريط المستقيمة والمائلة في الشكل أدناه.
تطوير الشكل
دراسة مساحة سطح المخروط ملائمة للتنفيذ ، مع الأخذ في الاعتبار أنها على متن طائرة. هذه الطريقة في تمثيل سطح الأشكال في الفضاء تسمى تطورها. بالنسبة للمخروط ، يمكن الحصول على هذا التطور على النحو التالي: يجب أن تأخذ شكلًا مصنوعًا ، على سبيل المثال ، من الورق. ثم ، باستخدام المقص ، قم بقطع القاعدة المستديرة حول المحيط. بعد ذلك ، على طول المولد ، قم بعمل قطع من السطح المخروطي وقم بتحويله إلى مستوى. ستكون نتيجة هذه العمليات البسيطة هي تطوير المخروط ، كما هو موضح في الشكل أدناه.
كما ترى ، يمكن بالفعل تمثيل سطح المخروط على مستوى. ويتكون من الجزئين التاليين:
- دائرة نصف قطرها r تمثل قاعدة الشكل ؛
- قطاع دائري نصف قطره g ، وهو سطح مخروطي.
تتضمن معادلة مساحة المخروط إيجاد مناطق السطحين المكشوفين.
حساب مساحة سطح الشكل
دعونا نقسم المهمة إلى مرحلتين. أولًا نجد مساحة قاعدة المخروط ، ثم مساحة السطح المخروطي.
الجزء الأول من المشكلة سهل الحل. بما أن نصف القطر r معطى ، فيكفي أن نتذكر التعبير المقابل لمساحة الدائرة لحساب مساحة القاعدة. دعنا نكتبها:
So=pi × r2
إذا كان نصف القطر غير معروف ، فعليك أن تجده أولاً باستخدام صيغة العلاقة بينه وبين الارتفاع والمولد.
الجزء الثاني من مشكلة إيجاد مساحة المخروط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لاحظ أن القطاع الدائري مبني على نصف القطر g للمركبة المولدة ويحده قوس طوله يساوي محيط الدائرة. تسمح لك هذه الحقيقة بكتابة النسبة وإيجاد زاوية القطاع المدروس. دعنا نشير إليها بالحرف اليوناني φ. هذه الزاوية ستساوي:
2 × pi=>2 × pi × g ؛
φ=> 2 × pi × r ؛
φ=2 × pi × r / g
بمعرفة الزاوية المركزية φ لقطاع دائري ، يمكنك استخدام النسبة المناسبة لإيجاد مساحتها. دعنا نشير إليها بالرمز Sb. سيساوي:
2 × pi=>pi × g2؛
φ=> Sب؛
Sb=pi × g2× φ / (2 × pi)=pi × r × g
أي أن مساحة السطح المخروطي تتوافق مع منتج المولد g ، ونصف قطر القاعدة r والرقم Pi.
معرفة ما هي المجالات على حد سواءبالنظر إلى الأسطح ، يمكننا كتابة الصيغة النهائية لمساحة المخروط:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
يفترض التعبير المكتوب معرفة معلمتين خطيتين للمخروط لحساب S. إذا كانت g أو r غير معروفة ، فيمكن العثور عليها من خلال الارتفاع h.
مشكلة حساب مساحة المخروط
من المعروف أن ارتفاع المخروط المستدير يساوي قطره. من الضروري حساب مساحة الشكل ، مع العلم أن مساحة القاعدة 50 سم2.
معرفة مساحة الدائرة ، يمكنك العثور على نصف قطر الشكل. لدينا:
So=pi × r2=>
r=√ (So/ pi)
الآن لنجد المولد g بدلالة h و r. وفقًا للشرط ، فإن ارتفاع h من الشكل يساوي نصف قطر r ، ثم:
ح=2 × ص ؛
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√ (5 × So/ pi)
يجب استبدال الصيغ التي تم العثور عليها لـ g و r في التعبير الخاص بمساحة المخروط بالكامل. نحصل على:
S=So+ pi × √ (So/ pi) × √ (5 × So/ pi)=So× (1 + √5)
في التعبير الناتج نستبدل مساحة القاعدة Soونكتب الإجابة: S ≈ 161.8 cm2.
