من الناحية العملية ، غالبًا ما تنشأ المهام التي تتطلب القدرة على بناء أقسام من الأشكال الهندسية ذات الأشكال المختلفة والعثور على منطقة الأقسام. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على كيفية بناء أقسام مهمة من المنشور والهرم والمخروط والأسطوانة ، وكيفية حساب مساحتها.
شخصيات ثلاثية الأبعاد
من القياس الفراغي ، من المعروف أن الشكل ثلاثي الأبعاد من أي نوع على الإطلاق محدود بعدد من الأسطح. على سبيل المثال ، بالنسبة لمثل هذه الأشكال متعددة السطوح مثل المنشور والهرم ، فإن هذه الأسطح هي جوانب متعددة الأضلاع. بالنسبة للأسطوانة والمخروط ، نتحدث عن سطوح ثورة من الأشكال الأسطوانية والمخروطية.
إذا أخذنا طائرة وتقاطعنا بشكل تعسفي مع سطح شكل ثلاثي الأبعاد ، فسنحصل على قسم. مساحتها تساوي مساحة جزء المستوى الذي سيكون داخل حجم الشكل. القيمة الدنيا لهذه المنطقة هي صفر ، والتي تتحقق عندما يلمس المستوى الشكل. على سبيل المثال ، يتم الحصول على قسم يتكون من نقطة واحدة إذا كان المستوى يمر عبر قمة هرم أو مخروط. تعتمد القيمة القصوى لمنطقة المقطع العرضي علىالموضع النسبي للشكل والمستوى وكذلك شكل الشكل وحجمه.
أدناه ، سننظر في كيفية حساب مساحة المقاطع المشكلة لشخصين من الثورة (الأسطوانة والمخروط) واثنين من متعددات الوجوه (الهرم والمنشور).
اسطوانة
الأسطوانة الدائرية هي شكل دوران لمستطيل حول أي جانب من جوانبه. تتميز الأسطوانة بمعلمتين خطيتين: نصف قطر القاعدة r والارتفاع h. يوضح الرسم البياني أدناه كيف تبدو أسطوانة مستقيمة دائرية.
هناك ثلاثة أنواع أقسام مهمة لهذا الشكل:
- جولة ؛
- مستطيل ؛
- بيضاوي.
بيضاوي الشكل نتيجة تقاطع المستوى مع السطح الجانبي للشكل بزاوية ما مع قاعدته. الجولة هي نتيجة تقاطع مستوى القطع للسطح الجانبي الموازي لقاعدة الأسطوانة. أخيرًا ، يتم الحصول على مستطيل إذا كان مستوى القطع موازيًا لمحور الأسطوانة.
المنطقة الدائرية يتم حسابها بالصيغة:
S1=pir2
منطقة المقطع المحوري أي المستطيل الذي يمر عبر محور الاسطوانة يعرف على النحو التالي:
S2=2rh
أقسام مخروطية
المخروط هو شكل دوران لمثلث قائم الزاوية حول إحدى الأرجل. المخروط له قمة واحدة وقاعدة مستديرة. معلماته هي أيضًا نصف القطر r والارتفاع h. ويرد أدناه مثال على مخروط ورقي.
هناك عدة أنواع من المقاطع المخروطية. دعونا نذكرهم:
- جولة ؛
- بيضاوي الشكل ؛
- مكافئ ؛
- القطعي ؛
- مثلث.
يستبدلون بعضهم البعض إذا قمت بزيادة زاوية ميل المستوى القاطع بالنسبة للقاعدة المستديرة. أسهل طريقة هي كتابة الصيغ لمنطقة المقطع العرضي للدائرة والمثلثة.
يتكون المقطع الدائري نتيجة تقاطع سطح مخروطي مع مستوى موازٍ للقاعدة. بالنسبة لمنطقته ، فإن الصيغة التالية صالحة:
S1=pir2 z2/ h2
هنا z هي المسافة من أعلى الشكل إلى القسم المُشكَّل. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z=0 ، فإن المستوى يمر فقط عبر الرأس ، وبالتالي فإن المنطقة S1ستكون مساوية للصفر. منذ z < h ، ستكون مساحة القسم قيد الدراسة دائمًا أقل من قيمتها للقاعدة.
يتم الحصول على المثلث عندما يتقاطع المستوى مع الشكل على طول محور الدوران. سيكون شكل القسم الناتج مثلث متساوي الساقين ، ضلعه قطر القاعدة ومولدان للمخروط. كيف تجد مساحة المقطع العرضي للمثلث؟ ستكون الإجابة على هذا السؤال بالصيغة التالية:
S2=rh
يتم الحصول على هذه المساواة من خلال تطبيق صيغة مساحة المثلث التعسفي من خلال طول قاعدته وارتفاعه.
أقسام المنشور
المنشور فئة كبيرة من الأشكال التي تتميز بوجود قاعدتين مضلعتين متطابقتين متوازيتين مع بعضهما البعض ،متصلة بواسطة متوازي الأضلاع. أي قسم في المنشور عبارة عن مضلع. نظرًا لتنوع الأشكال قيد النظر (مناشير مائلة ، مستقيمة ، n-gonal ، منتظمة ، مقعرة) ، فإن تنوع أقسامها رائع أيضًا. أدناه ، ننظر فقط في بعض الحالات الخاصة.
إذا كان مستوى القطع موازيًا للقاعدة ، فإن مساحة المقطع العرضي للمنشور ستكون مساوية لمساحة هذه القاعدة.
إذا مرت الطائرة عبر المراكز الهندسية للقاعدتين ، أي أنها موازية للحواف الجانبية للشكل ، فسيتم تشكيل متوازي الأضلاع في القسم. في حالة المناشير المستقيمة والعادية ، سيكون عرض القسم المدروس مستطيلاً.
الهرم
الهرم متعدد السطوح آخر يتكون من مثلثات n-gon و n. موضح أدناه مثال لهرم مثلثي
إذا تم رسم المقطع بواسطة مستوى موازٍ للقاعدة n-gonal ، فسيكون شكله مساويًا تمامًا لشكل القاعدة. يتم حساب مساحة هذا القسم بالصيغة:
S1=So (h-z)2/ h 2
حيث z هي المسافة من القاعدة إلى مستوى القسم ، Soهي مساحة القاعدة.
إذا كان مستوى القطع يحتوي على قمة الهرم ويتقاطع مع قاعدته ، نحصل على قسم مثلث. لحساب مساحته ، يجب الرجوع إلى استخدام الصيغة المناسبة للمثلث.
