الهندسة هي فرع من فروع الرياضيات التي تدرس الهياكل في الفضاء والعلاقة بينهما. بدوره ، يتكون أيضًا من أقسام ، أحدها قياس الفراغ. يوفر لدراسة خصائص الأشكال الحجمية الموجودة في الفضاء: مكعب ، هرم ، كرة ، مخروط ، أسطوانة ، إلخ.
المخروط عبارة عن جسم في الفضاء الإقليدي يحد سطحًا مخروطيًا ومستويًا تقع عليه نهايات مولداته. يحدث تكوينه في عملية دوران مثلث قائم الزاوية حول أي من أرجله ، وبالتالي فهو ينتمي إلى أجسام الثورة.
مكونات المخروط
يتم تمييز الأنواع التالية من الأقماع: مائلة (أو مائلة) ومستقيمة. المائل هو الذي يتقاطع محوره مع مركز قاعدته وليس بزاوية قائمة. لهذا السبب ، لا يتطابق الارتفاع في مثل هذا المخروط مع المحور ، لأنه جزء يتم إنزاله من أعلى الجسم إلى مستواه.قاعدة عند 90 درجة.
يسمى هذا المخروط ، الذي يكون محوره عموديًا على قاعدته ، مخروطًا مستقيمًا. يتطابق المحور والارتفاع في مثل هذا الجسم الهندسي نظرًا لحقيقة أن الرأس الموجود فيه يقع فوق مركز قطر القاعدة.
يتكون المخروط من العناصر التالية:
- الدائرة التي هي قاعدتها
- جانب
- نقطة لا تكمن في مستوى القاعدة ، تسمى الجزء العلوي من المخروط.
- المقاطع التي تربط نقاط دائرة قاعدة الجسم الهندسي و قمته
كل هذه الشرائح مولدات من المخروط. إنهم يميلون إلى قاعدة الجسم الهندسي ، وفي حالة المخروط الأيمن ، تكون إسقاطاتهم متساوية ، لأن الرأس على مسافة متساوية من نقاط دائرة القاعدة. وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أنه في المخروط العادي (المستقيم) ، تكون المولدات متساوية ، أي أن لها نفس الطول وتشكل نفس الزوايا مع المحور (أو الارتفاع) والقاعدة.
نظرًا لأنه في جسم مائل (أو مائل) للثورة ، يتم إزاحة الرأس بالنسبة إلى مركز المستوى الأساسي ، فإن المولدات في مثل هذا الجسم لها أطوال وإسقاطات مختلفة ، لأن كل منها يقع على مسافة مختلفة من أي نقطتين في الدائرة الأساسية. بالإضافة إلى ذلك ، ستكون الزوايا بينها وبين ارتفاع المخروط مختلفة أيضًا.
طول المولدات في المخروط الأيمن
كما هو مكتوب سابقًا ، يكون الارتفاع في جسم هندسي مستقيم للثورة عموديًا على مستوى القاعدة. وهكذا ، فإن المولد والارتفاع ونصف قطر القاعدة تشكل مثلثًا قائمًا في المخروط.
أي معرفة نصف قطر القاعدة والارتفاع ، باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس ، يمكنك حساب طول المولد ، الذي سيساوي مجموع مربعات نصف قطر القاعدة و الارتفاع:
l2=r2+ h2أو l=√r 2+ h2
حيث l هي مولد ؛
r - نصف القطر ؛
ح - الارتفاع.
عام في مخروط مائل
بناءً على حقيقة أن المولدات في المخروط المائل أو المائل ليست بنفس الطول ، فلن يكون من الممكن حسابها بدون إنشاءات وحسابات إضافية.
بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى معرفة ارتفاع وطول المحور ونصف قطر القاعدة.
بوجود هذه البيانات ، يمكنك حساب جزء نصف القطر الواقع بين المحور والارتفاع ، باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس:
r1=√k2- h2
حيث r1هو جزء من نصف القطر بين المحور والارتفاع ؛
k - طول المحور ؛
ح - الارتفاع.
نتيجة إضافة نصف القطر (r) وجزءه الواقع بين المحور والارتفاع (r1) ، يمكنك معرفة الجانب الكامل من اليمين مثلث يتكون من الشبكة العامة للمخروط ، ارتفاعه وقطره الجزء:
R=r + r1
حيث R هي ساق المثلث المكون من الارتفاع ، والمولد وجزء من قطر القاعدة ؛
r - نصف قطر القاعدة ؛
r1- جزء من نصف القطر بين المحور والارتفاع
باستخدام نفس الصيغة من نظرية فيثاغورس ، يمكنك إيجاد طول المصفوفة المولدة للمخروط:
لتر=√h2+ R2
أو ، بدون حساب R بشكل منفصل ، ادمج الصيغتين في واحدة:
l=√h2+ (r + r1)2.
بغض النظر عما إذا كان مخروطًا مستقيمًا أو مائلًا ونوع بيانات الإدخال ، فإن جميع طرق العثور على طول المولد تنخفض دائمًا إلى نتيجة واحدة - استخدام نظرية فيثاغورس.
قسم المخروط
القسم المحوري للمخروط هو مستوى يمر على طول محوره أو ارتفاعه. في المخروط الأيمن ، يكون هذا القسم مثلثًا متساوي الساقين ، حيث يكون ارتفاع المثلث هو ارتفاع الجسم ، وجوانبه هي المولدات ، والقاعدة هي قطر القاعدة. في جسم هندسي متساوي الأضلاع ، القسم المحوري هو مثلث متساوي الأضلاع ، لأن قطر القاعدة والمولدات في هذا المخروط متساويان.
مستوى المقطع المحوري في مخروط مستقيم هو مستوى تناظره. والسبب في ذلك هو أن قمته أعلى مركز قاعدته ، أي أن مستوى المقطع المحوري يقسم المخروط إلى جزأين متطابقين.
نظرًا لأن الارتفاع والمحور لا يتطابقان في مادة صلبة مائلة ، فقد لا يتضمن مستوى القسم المحوري الارتفاع. إذا كان من الممكن إنشاء مجموعة من الأقسام المحورية في مثل هذا المخروط ، حيث يجب مراعاة شرط واحد فقط لهذا - يجب أن يمر فقط عبر المحور ، ثم قسم محوري واحد فقط من المستوى ، والذي سينتمي إلى ارتفاع يمكن رسم هذا المخروط ، لأن عدد الحالات يزداد ، وكما هو معروف ، يمكن أن ينتمي خطان (معًا)طائرة واحدة فقط.
منطقة القسم
المقطع المحوري للمخروط المذكور سابقاً هو مثلث. بناءً على ذلك ، يمكن حساب مساحته باستخدام صيغة مساحة المثلث:
S=1/2dh أو S=1/22rh
حيث S هي منطقة المقطع العرضي ؛
د - قطر القاعدة ؛
r - نصف القطر ؛
ح - الارتفاع.
في مخروط مائل أو مائل ، يكون المقطع على طول المحور أيضًا مثلثًا ، لذلك يتم حساب مساحة المقطع العرضي فيه بالمثل.
حجم
بما أن المخروط شكل ثلاثي الأبعاد في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكننا حساب حجمه. حجم المخروط هو الرقم الذي يميز هذا الجسم في وحدة حجم ، أي في م3. لا يعتمد الحساب على ما إذا كان مستقيماً أو مائلاً (مائل) ، لأن الصيغ لهذين النوعين من الأجسام لا تختلف.
كما ذكرنا سابقًا ، يحدث تشكيل المخروط الأيمن بسبب دوران المثلث الأيمن على طول إحدى ساقيه. يتشكل المخروط المائل أو المائل بشكل مختلف ، حيث يتم إزاحة ارتفاعه بعيدًا عن مركز المستوى الأساسي للجسم. ومع ذلك ، فإن مثل هذه الاختلافات في الهيكل لا تؤثر على طريقة حساب حجمها.
حساب الحجم
معادلة حجم أي مخروط تبدو كالتالي:
V=1/3πhr2
حيث V هو حجم المخروط ؛
ح - الارتفاع ؛
r - نصف القطر ؛
π - ثابت يساوي 3 ، 14.
لحساب حجم المخروط ، يجب أن يكون لديك بيانات عن ارتفاع ونصف قطر قاعدة الجسم.
لحساب ارتفاع الجسم ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر القاعدة وطول مصطنعها. نظرًا لأنه يتم دمج نصف القطر والارتفاع والمصفوفة في مثلث قائم الزاوية ، يمكن حساب الارتفاع باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس (a2+ b2=c2أو في حالتنا h2+ r2=l2، حيث l - generatrix). في هذه الحالة ، سيتم حساب الارتفاع عن طريق استخراج الجذر التربيعي للفرق بين مربعي الوتر والضلع الآخر:
a=√c2- b2
أي أن ارتفاع المخروط سيكون مساويًا للقيمة التي تم الحصول عليها بعد استخراج الجذر التربيعي من الفرق بين مربع طول شبكة التوليد ومربع نصف قطر القاعدة:
h=√l2- r2
حساب الارتفاع بهذه الطريقة ومعرفة نصف قطر قاعدته ، يمكنك حساب حجم المخروط. في هذه الحالة ، تلعب المصفوفة المولدة دورًا مهمًا ، لأنها تعمل كعنصر مساعد في العمليات الحسابية.
بالمثل ، إذا كنت تعرف ارتفاع الجسم وطول مصفوفته ، يمكنك إيجاد نصف قطر قاعدته عن طريق استخراج الجذر التربيعي للفرق بين مربع المولد ومربع الارتفاع:
r=√l2- h2
ثم ، باستخدام نفس الصيغة المذكورة أعلاه ، احسب حجم المخروط.
حجم المخروط المائل
نظرًا لأن صيغة حجم المخروط هي نفسها لجميع أنواع جسم الثورة ، فإن الاختلاف في حسابها هو البحث عن الارتفاع.
لمعرفة ارتفاع المخروط المائل ، يجب أن تتضمن بيانات الإدخال طول المولد ، ونصف قطر القاعدة ، والمسافة بين المركزالقاعدة وتقاطع ارتفاع الجسم مع مستوى قاعدته. بمعرفة ذلك ، يمكنك بسهولة حساب ذلك الجزء من قطر القاعدة ، والذي سيكون قاعدة مثلث قائم الزاوية (يتكون من الارتفاع والمركب ومستوى القاعدة). ثم ، مرة أخرى باستخدام نظرية فيثاغورس ، احسب ارتفاع المخروط ، وبالتالي حجمه.
