المثلث هو أبسط شكل مغلق على المستوى ، ويتكون من ثلاثة أجزاء مترابطة فقط. في مشاكل الهندسة ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد مساحة هذا الشكل. ماذا تريد أن تعرف عن هذا؟ سنجيب في المقال عن كيفية إيجاد مساحة المثلث من ثلاث جهات.
الصيغة العامة
يعرف كل طالب أن مساحة المثلث تُحسب على أنها حاصل ضرب طول أي من أضلاعه - أ بمقدار نصف الارتفاع - ح ، يتم خفضه إلى الجانب المختار. فيما يلي الصيغة المقابلة: S=ah / 2.
يمكن استخدام هذا التعبير في حالة معرفة جانبين على الأقل وقيمة الزاوية بينهما. في هذه الحالة ، من السهل حساب الارتفاع h باستخدام الدوال المثلثية ، مثل الجيب. لكن لا يعرف الجميع كيفية إيجاد المساحة على الجوانب الثلاثة للمثلث.
صيغة هيرون
هذه الصيغة هي الإجابة على سؤال كيفثلاثة جوانب تجد مساحة المثلث. قبل كتابته ، دعنا نشير إلى أطوال مقاطع الشكل التعسفي مثل أ ، ب ، ج. تمت كتابة صيغة مالك الحزين على النحو التالي: S=√ (p(p-a)(p-b)(p-c)).
حيث p هو نصف محيط الشكل ، أي: p=(a + b + c) /2.
على الرغم من الإرهاق الواضح ، من السهل تذكر التعبير أعلاه للمنطقة S. للقيام بذلك ، يجب عليك أولاً حساب نصف محيط المثلث ، ثم طرحه بطول واحد من ضلع الشكل ، وضرب جميع الاختلافات التي تم الحصول عليها ونصف المحيط نفسه. أخيرًا ، خذ الجذر التربيعي للمنتج
سميت هذه الصيغة باسم مالك الحزين السكندري الذي عاش في بداية عصرنا. يعتقد التاريخ الحديث أن هذا الفيلسوف هو أول من طبق هذا التعبير لإجراء الحسابات المقابلة. تم نشر هذه الصيغة في Metrica الخاص به ، والذي يعود تاريخه إلى 60 ميلاديًا. لاحظ أن بعض أعمال أرخميدس ، الذي عاش قبل هيرون بقرنين ، تحتوي على إشارات تدل على أن الفيلسوف اليوناني كان يعرف الصيغة بالفعل. بالإضافة إلى ذلك ، عرف الصينيون القدماء أيضًا كيفية إيجاد مساحة المثلث ، بمعرفة الجوانب الثلاثة.
من المهم ملاحظة أنه يمكن حل المشكلة دون معرفة وجود صيغة هيرون. للقيام بذلك ، ارسم ارتفاعين في المثلث واستخدم الصيغة العامة من الفقرة السابقة ، وقم بتجميع نظام المعادلات المناسب.
يمكن استخدام تعبير هيرون لحساب مساحات المضلعات العشوائية ، بعد تقسيمها إلىالمثلثات وحساب أطوال الأقطار الناتجة.
مثال على حل المشكلات
معرفة كيفية إيجاد مساحة المثلث من ثلاثة جوانب ، دعنا ندعم معرفتنا من خلال حل المشكلة التالية. اجعل جوانب الشكل 5 سم و 4 سم و 3 سم. أوجد المساحة.
ثلاثة جوانب من المثلث معروفة ، لذا يمكنك استخدام صيغة هيرون. نحسب شبه المحيط والاختلافات الضرورية لدينا:
- p=(أ + ب + ج) / 2=6 سم ؛
- p-a=1 سم ؛
- p-b=2 سم ؛
- p-c=3 سم
ثم نحصل على المنطقة: S=√ (p(p-a)(p-b)(p-c))=√ (6123)=6 سم2.
المثلث المعطى في حالة المشكلة قائم الزاوية ، والذي يسهل التحقق منه إذا كنت تستخدم نظرية فيثاغورس. نظرًا لأن مساحة مثل هذا المثلث هي نصف منتج الساقين ، نحصل على: S=43/2=6 سم2.
القيمة الناتجة هي نفسها الخاصة بصيغة هيرون والتي تؤكد صحة هذا الأخير.
