عدم المساواة الجبرية أو أنظمتها ذات المعاملات المنطقية التي يتم البحث عن حلول لها في أعداد صحيحة أو متكاملة. كقاعدة عامة ، يكون عدد المجهول في معادلات ديوفنتين أكبر. وبالتالي ، فهي تُعرف أيضًا باسم عدم المساواة إلى أجل غير مسمى. في الرياضيات الحديثة ، يتم تطبيق المفهوم أعلاه على المعادلات الجبرية التي يتم البحث عن حلول لها في الأعداد الصحيحة الجبرية لبعض الامتدادات لمجال متغيرات Q- عقلانية ، مجال المتغيرات p-adic ، إلخ.
أصول هذه التفاوتات
دراسة معادلات ديوفانتين تقع على الحدود بين نظرية الأعداد والهندسة الجبرية. يعد إيجاد الحلول في المتغيرات الصحيحة من أقدم المسائل الرياضية. بالفعل في بداية الألفية الثانية قبل الميلاد. تمكن البابليون القدماء من حل أنظمة معادلات ذات مجهولين. ازدهر هذا الفرع من الرياضيات في اليونان القديمة. تعد حسابات Diophantus (القرن الثالث الميلادي) مصدرًا مهمًا ورئيسيًا يحتوي على أنواع وأنظمة مختلفة من المعادلات.
في هذا الكتاب ، توقع ديوفانتوس عددًا من الطرق لدراسة عدم المساواة في الثاني والثالثدرجات تم تطويرها بالكامل في القرن التاسع عشر. أدى إنشاء نظرية الأعداد المنطقية من قبل هذا الباحث في اليونان القديمة إلى تحليل الحلول المنطقية للأنظمة غير المحددة ، والتي يتم اتباعها بشكل منهجي في كتابه. على الرغم من أن عمله يحتوي على حلول لمعادلات ديوفانتين محددة ، إلا أن هناك سببًا للاعتقاد بأنه كان أيضًا على دراية بالعديد من الأساليب العامة.
عادة ما ترتبط دراسة هذه التفاوتات بصعوبات خطيرة. نظرًا لاحتوائها على كثيرات حدود ذات معاملات عدد صحيح F (x، y1،…، y ). بناءً على ذلك ، تم التوصل إلى استنتاجات مفادها أنه لا توجد خوارزمية واحدة يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كانت المعادلة F (x، y1 ،….، y ). الوضع قابل للحل بالنسبة لـ y1،… ، y . يمكن كتابة أمثلة على كثير الحدود.
أبسط تفاوت
ax + by=1 ، حيث a و b عدد صحيح نسبيًا وأعداد أولية ، فإنه يحتوي على عدد كبير من عمليات التنفيذ (إذا كانت x0 ،y0يتم تشكيل النتيجة ، ثم زوج المتغيرات x=x0+ b و y=y0-an، حيث n تعسفيًا ، سيتم اعتباره أيضًا عدم مساواة). مثال آخر على معادلات ديوفانتين هو x2+ y2=z2. الحلول التكاملية الموجبة لهذه المتباينة هي أطوال الأضلاع الصغيرة x و y والمثلثات القائمة ، بالإضافة إلى الوتر z بأبعاد جانبية صحيحة. تُعرف هذه الأرقام بأرقام فيثاغورس. يشار إلى كل ثلاثة توائم فيما يتعلق رئيس الوزراءيتم إعطاء المتغيرات أعلاه بواسطة x=m2- n2، y=2mn ، z=m2+ n2، حيث m و n هي أعداد صحيحة وأعداد أولية (m>n>0).
Diophantus في بحثه الحسابي عن حلول عقلانية (ليست بالضرورة متكاملة) لأنواع خاصة من عدم المساواة. تم تطوير نظرية عامة لحل معادلات الديوفانتين من الدرجة الأولى بواسطة C. G. Baschet في القرن السابع عشر. درس علماء آخرون في بداية القرن التاسع عشر بشكل أساسي التفاوتات المماثلة مثل الفأس2+ bxy + cy2+ dx + ey + f=0 ، حيث تكون a و b و c و d و e و f عامة وغير متجانسة مع مجهولين من الدرجة الثانية. استخدم لاجرانج الكسور المستمرة في دراسته. طور Gauss للأشكال التربيعية نظرية عامة تقوم عليها بعض أنواع الحلول.
في دراسة عدم المساواة من الدرجة الثانية ، تم إحراز تقدم كبير في القرن العشرين فقط. وجد A. Thue أن معادلة Diophantine أ0x + a1xn- 1y +… + a y =c ، حيث n ≧ 3 ، a0،… ، a ، c هي أعداد صحيحة ، و0tn+ …+ a لا يمكن أن تحتوي على عدد لا حصر له من الحلول الصحيحة. ومع ذلك ، لم يتم تطوير طريقة Thue بشكل صحيح. ألف بيكر نظريات فعالة تعطي تقديرات لأداء بعض المعادلات من هذا النوع. اقترح BN Delaunay طريقة أخرى للتحقيق تنطبق على فئة أضيق من هذه التفاوتات. على وجه الخصوص ، شكل الفأس3+ y3=1 قابل للحل تمامًا بهذه الطريقة.
معادلات ديوفانتين: طرق الحل
نظرية ديوفانتوس لها اتجاهات عديدة. وبالتالي ، فإن المشكلة المعروفة في هذا النظام هي الفرضية القائلة بأنه لا يوجد حل غير تافه لمعادلات ديوفانتين xn+ y =znif n ≧ 3 (سؤال فيرما). دراسة الإنجازات الصحيحة لعدم المساواة هي تعميم طبيعي لمشكلة ثلاثة توائم فيثاغورس. حصل أويلر على حل إيجابي لمسألة فيرما لـ n=4. وبفضل هذه النتيجة ، تشير إلى إثبات العدد الصحيح المفقود ، دراسات غير صفرية للمعادلة إذا كان n عددًا أوليًا.
لم يتم الانتهاء من دراسة القرار. ترتبط الصعوبات في تنفيذه بحقيقة أن التحليل البسيط في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية ليس فريدًا. إن نظرية القواسم في هذا النظام للعديد من فئات الأسس الأولية n تجعل من الممكن تأكيد صحة نظرية فيرما. وهكذا ، فإن معادلة ديوفانتين الخطية مع مجهولين يتم تحقيقها بالطرق والطرق الحالية.
أنواع وأنواع المهام الموصوفة
حساب حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية يستخدم أيضًا في العديد من المشكلات والحلول الأخرى لمعادلات ديوفانتين. على سبيل المثال ، تم تطبيق هذه الأساليب عند تحقيق عدم المساواة في النموذج N (أ1x1+ … + أ x )=m ، حيث N (a) هو معيار a ، و x1، … ، xn تم العثور علىالمتغيرات المنطقية المتكاملة. يتضمن هذا الفصل معادلة بيل x2–dy2=1.
القيم التي تظهر1 ،… ،a التي تظهر ، تنقسم هذه المعادلات إلى نوعين. النوع الأول - ما يسمى بالصيغ الكاملة - يشمل المعادلات التي يوجد فيها م أرقام مستقلة خطيًا على مجال المتغيرات المنطقية Q ، حيث م=[س (أ1، … ، a ): Q] ، حيث توجد درجة من الأسس الجبرية Q (a1،…، a ) على Q. الأنواع غير المكتملة هي تلك الموجودة في وهو الحد الأقصى لعدد iأقل من م
النماذج الكاملة أبسط ، ودراستها كاملة ، ويمكن وصف جميع الحلول. النوع الثاني ، الأنواع غير المكتملة ، أكثر تعقيدًا ، ولم يكتمل تطوير مثل هذه النظرية بعد. تتم دراسة هذه المعادلات باستخدام تقريب Diophantine ، والتي تشمل عدم المساواة F (x ، y)=C ، حيث F (x ، y) هي غير قابلة للاختزال ومتجانس متعدد الحدود من الدرجة n ≧ 3. وبالتالي ، يمكننا أن نفترض أن yi→∞. وفقًا لذلك ، إذا كانت yiكبيرة بما يكفي ، فإن عدم المساواة سوف تتعارض مع نظرية Thue و Siegel و Roth ، والتي تتبع منها F (x ، y)=C ، حيث F هي شكل من الدرجة الثالثة أو أعلى ، لا يمكن أن يحتوي غير القابل للاختزال على عدد لا نهائي من الحلول.
كيفية حل معادلة ديوفانتين؟
هذا المثال هو فئة ضيقة نوعًا ما بين الجميع. على سبيل المثال ، على الرغم من بساطتها ، x3+ y3+ z3=N ، و x 2+ y2+ z2+ u2=N لم يتم تضمينها في هذا الفصل. دراسة الحلول هي فرع تمت دراسته بعناية من معادلات ديوفانتين ، حيث الأساس هو تمثيل الأشكال التربيعية للأرقام. لاغرانجأنشأ نظرية تقول أن الاستيفاء موجود لكل شيء طبيعي N. أي رقم طبيعي يمكن تمثيله على أنه مجموع ثلاثة مربعات (نظرية غاوس) ، ولكن لا ينبغي أن يكون بالشكل 4a(8K- 1) ، حيث a و k أس عدد صحيح غير سالب.
حلول عقلانية أو متكاملة لنظام معادلة ديوفانتين من النوع F (x1، … ، x )=أ ، حيث F (x1 ،…، x ) هو شكل تربيعي مع معاملات عدد صحيح. وبالتالي ، وفقًا لنظرية Minkowski-Hasse ، فإن عدم المساواة ∑aijxixj=b ijو b عقلاني ، وله حل متكامل في الأعداد الحقيقية والأرقام p-adic لكل عدد أولي p فقط إذا كان قابلاً للحل في هذه البنية.
بسبب الصعوبات الكامنة ، تمت دراسة دراسة الأرقام ذات الأشكال التعسفية من الدرجة الثالثة وما فوق بدرجة أقل. طريقة التنفيذ الرئيسية هي طريقة المبالغ المثلثية. في هذه الحالة ، يتم كتابة عدد حلول المعادلة بشكل صريح بدلالة تكامل فورييه. بعد ذلك ، يتم استخدام طريقة البيئة للتعبير عن عدد تحقيق عدم المساواة في التطابق المقابل. تعتمد طريقة المجاميع المثلثية على السمات الجبرية للمتباينات. هناك عدد كبير من الطرق الأولية لحل معادلات ديوفانتين الخطية.
تحليل ديوفانتاين
قسم الرياضيات موضوعه دراسة الحلول المتكاملة والعقلانية لأنظمة معادلات الجبر بالطرق الهندسية من نفس القسمالمجالات. في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ، أدى ظهور نظرية الأعداد هذه إلى دراسة معادلات ديوفانتين من حقل عشوائي ذي معاملات ، وتم اعتبار الحلول إما فيه أو في حلقاته. تم تطوير نظام الدوال الجبرية بالتوازي مع الأرقام. أدى التشابه الأساسي بين الاثنين ، والذي أكده د.
هذا ملحوظ بشكل خاص إذا كانت الدوال الجبرية قيد الدراسة على مجال محدود من الثوابت متغيرًا واحدًا. تعتبر المفاهيم مثل نظرية مجال الفصل والمقسوم عليه والتفرع والنتائج مثالًا جيدًا لما سبق. تم تبني وجهة النظر هذه في نظام عدم المساواة Diophantine فقط في وقت لاحق ، والبحث المنهجي ليس فقط مع المعاملات العددية ، ولكن أيضًا مع المعاملات التي هي دوال ، بدأ فقط في الخمسينيات من القرن الماضي. كان أحد العوامل الحاسمة في هذا النهج هو تطوير الهندسة الجبرية. الدراسة المتزامنة لمجالات الأرقام والوظائف ، والتي ظهرت كجانبين متساويين في الأهمية لنفس الموضوع ، لم تعطي نتائج أنيقة ومقنعة فحسب ، بل أدت إلى الإثراء المتبادل للموضوعين.
في الهندسة الجبرية ، يتم استبدال فكرة التنوع بمجموعة غير ثابتة من عدم المساواة على حقل معين K ، ويتم استبدال حلولها بنقاط منطقية ذات قيم في K أو في امتدادها المحدود. وفقًا لذلك ، يمكن للمرء أن يقول أن المشكلة الأساسية للهندسة الديوفانتية هي دراسة النقاط المنطقيةمن مجموعة جبرية X (K) ، بينما X هي أرقام معينة في الحقل K. تنفيذ عدد صحيح له معنى هندسي في معادلات Diophantine الخطية.
دراسات عدم المساواة وخيارات التنفيذ
عند دراسة النقاط المنطقية (أو التكاملية) على الأصناف الجبرية ، تظهر المشكلة الأولى وهي وجودها. تمت صياغة مشكلة هيلبرت العاشرة على أنها مشكلة إيجاد طريقة عامة لحل هذه المشكلة. في عملية إنشاء تعريف دقيق للخوارزمية وبعد إثبات عدم وجود عمليات إعدام لعدد كبير من المشكلات ، اكتسبت المشكلة نتيجة سلبية واضحة ، والسؤال الأكثر إثارة للاهتمام هو تعريف فئات معادلات ديوفانتين التي يوجد من أجلها النظام أعلاه. النهج الأكثر طبيعية ، من وجهة نظر جبرية ، هو ما يسمى بمبدأ Hasse: يتم دراسة الحقل الأولي K جنبًا إلى جنب مع عمليات استكماله Kvعلى جميع التقديرات الممكنة. بما أن X (K)=X (Kv) هي شرط ضروري للوجود ، ونقطة K تأخذ في الاعتبار أن المجموعة X (Kv) ليس فارغًا لجميع v.
تكمن الأهمية في حقيقة أنه يجمع بين مشكلتين. الثاني أبسط بكثير ، وهو قابل للحل بواسطة خوارزمية معروفة. في الحالة الخاصة التي يكون فيها الصنف X إسقاطيًا ، فإن ليمما هانسيل وتعميماته تجعل المزيد من الخفض ممكنًا: يمكن اختزال المشكلة إلى دراسة النقاط المنطقية على مجال محدود. ثم قرر بناء مفهوم إما من خلال البحث المتسق أو طرق أكثر فعالية.
الاخيرمن الاعتبارات المهمة أن المجموعات X (Kv) ليست فارغة للجميع باستثناء عدد محدود من v ، لذا فإن عدد الشروط دائمًا محدود ويمكن اختبارها بشكل فعال. ومع ذلك ، لا ينطبق مبدأ Hasse على منحنيات الدرجة. على سبيل المثال ، 3x3+ 4y3=5 لديها نقاط في جميع حقول رقم p-adic و في نظام الأعداد الحقيقية ولكن ليس له نقاط منطقية
كانت هذه الطريقة بمثابة نقطة انطلاق لبناء مفهوم يصف فئات المساحات المتجانسة الرئيسية لأصناف أبيليان لأداء "انحراف" عن مبدأ Hasse. يتم وصفه من حيث الهيكل الخاص الذي يمكن ربطه بكل مشعب (مجموعة Tate-Shafarevich). تكمن الصعوبة الرئيسية للنظرية في حقيقة أن طرق حساب المجموعات يصعب الحصول عليها. تم تمديد هذا المفهوم أيضًا إلى فئات أخرى من الأصناف الجبرية.
ابحث عن خوارزمية لتحقيق التفاوتات
فكرة إرشادية أخرى مستخدمة في دراسة معادلات ديوفانتين هي أنه إذا كان عدد المتغيرات المشاركة في مجموعة من عدم المساواة كبيرًا ، فعادة ما يكون للنظام حل. ومع ذلك ، من الصعب جدًا إثبات ذلك في أي حالة معينة. يستخدم النهج العام لمشاكل من هذا النوع نظرية الأعداد التحليلية ويستند إلى تقديرات المبالغ المثلثية. تم تطبيق هذه الطريقة في الأصل على أنواع خاصة من المعادلات.
ومع ذلك ، ثبت فيما بعد بمساعدتها أنه إذا كان شكل الدرجة الفردية هو F ، في dو n ومع المعاملات المنطقية ، فإن n كبير بما يكفي مقارنة بـ d ، وبالتالي فإن السطح الفائق الإسقاط F=0 له نقطة عقلانية. وفقًا لتخمين Artin ، هذه النتيجة صحيحة حتى لو كان n > d2. تم إثبات هذا فقط للأشكال التربيعية. يمكن طرح مشكلات مماثلة في مجالات أخرى أيضًا. المشكلة المركزية في هندسة الديوفانتين هي بنية مجموعة النقاط الصحيحة أو المنطقية ودراستها ، والسؤال الأول الذي يجب توضيحه هو ما إذا كانت هذه المجموعة محدودة. في هذه المشكلة ، يكون للموقف عادةً عدد محدود من عمليات الإعدام إذا كانت درجة النظام أكبر بكثير من عدد المتغيرات. هذا هو الافتراض الأساسي.
عدم المساواة على الخطوط والمنحنيات
يمكن تمثيل المجموعة X (K) كمجموع مباشر للهيكل الحر للرتبة r ومجموعة محدودة من الرتبة n. منذ الثلاثينيات من القرن الماضي ، تمت دراسة مسألة ما إذا كانت هذه الأرقام مقيدة بمجموعة من المنحنيات الناقصية على حقل معين K. تم توضيح حدود الالتواء n في السبعينيات. هناك منحنيات ذات رتبة عالية تعسفية في الحالة الوظيفية. في الحالة العددية ، لا يوجد حتى الآن إجابة على هذا السؤال
أخيرًا ، ينص تخمين مورديل على أن عدد نقاط التكامل محدود لمنحنى الجنس g>1. في الحالة الوظيفية ، تم توضيح هذا المفهوم بواسطة Yu. I. Manin في عام 1963. الأداة الرئيسية المستخدمة في إثبات نظريات المحدودية في هندسة Diophantine هي الارتفاع. من بين الأصناف الجبرية ، الأبعاد فوق واحد هي أبليانالمشعبات ، وهي النظير متعدد الأبعاد للمنحنيات الإهليلجية ، كانت الأكثر دراسة بدقة.
أ. قام Weil بتعميم نظرية محدودية عدد مولدات مجموعة من النقاط العقلانية لأصناف Abelian من أي بُعد (مفهوم Mordell-Weil) ، وتوسيعها. في الستينيات ، ظهر تخمين بيرش وسوينرتون-داير ، مما أدى إلى تحسين وظائف المجموعة وزيتا للمشعب. يدعم الدليل العددي هذه الفرضية.
مشكلة قابلية الحل
مشكلة إيجاد خوارزمية يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كانت أي معادلة ديوفانتين لها حل. من السمات الأساسية للمشكلة المطروحة البحث عن طريقة عالمية تكون مناسبة لأي تفاوت. تسمح هذه الطريقة أيضًا بحل الأنظمة المذكورة أعلاه ، نظرًا لأنها تعادل P21 + ⋯ + P2k=0.p1=0 ، … ، PK=0p=0 ، … ، pK=0 أو p21 + + P2K=0. n12 + ⋯ + pK2=0. مشكلة إيجاد مثل هذه الطريقة العالمية لإيجاد حلول لعدم المساواة الخطية في الأعداد الصحيحة طرحها د. جيلبرت
في أوائل الخمسينيات من القرن الماضي ، ظهرت الدراسات الأولى بهدف إثبات عدم وجود خوارزمية لحل معادلات ديوفانتاين. في هذا الوقت ، ظهر تخمين ديفيس ، الذي قال إن أي مجموعة لا تُحصى تنتمي أيضًا إلى العالم اليوناني. لأن أمثلة المجموعات غير القابلة للتقرير حسابيًا معروفة ، ولكن يمكن عدها بشكل متكرر. ويترتب على ذلك أن تخمين ديفيس صحيح ومشكلة قابلية حل هذه المعادلاتلديه تنفيذ سلبي.
بعد ذلك ، بالنسبة إلى حدسية ديفيس ، يبقى إثبات أن هناك طريقة لتحويل عدم المساواة التي (أو لم تكن كذلك) في نفس الوقت. لقد تبين أن مثل هذا التغيير في معادلة ديوفانتين ممكن إذا كان لها الخاصيتان المذكورتان أعلاه: 1) في أي حل من هذا النوع v ≦ uu ؛ 2) لأي ك ، هناك تنفيذ مع نمو أسي.
مثال على معادلة Diophantine الخطية لهذه الفئة أكمل الإثبات. لا تزال مشكلة وجود خوارزمية للحل والتعرف على هذه التفاوتات في الأعداد المنطقية تعتبر سؤالًا مهمًا ومفتوحًا لم تتم دراسته بشكل كافٍ.
