القدرة على العمل مع التعبيرات العددية التي تحتوي على جذر تربيعي ضرورية لحل ناجح لعدد من المشاكل من OGE و USE. في هذه الاختبارات ، عادةً ما يكون الفهم الأساسي لماهية استخراج الجذر وكيف يتم إجراؤه عمليًا كافيًا.
التعريف
الجذر n من رقم X هو رقم x تساوي فيه صحيحًا: xn=X.
إيجاد قيمة تعبير بجذر يعني إيجاد x معطى X و n.
الجذر التربيعي أو ، وهو نفسه ، الجذر الثاني لـ X - الرقم x الذي يتم تحقيق المساواة من أجله: x2=X.
التعيين: ∛Х. هنا 3 درجة الجذر ، X هو التعبير الجذر. غالبًا ما يطلق على علامة '√' علامة جذرية.
إذا كان الرقم فوق الجذر لا يشير إلى الدرجة ، فإن القيمة الافتراضية هي الدرجة 2.
في الدورة المدرسية للدرجات المتساوية ، لا يتم أخذ الجذور السلبية والتعبيرات الراديكالية في الاعتبار. على سبيل المثال ، لا يوجد√-2 ، وبالنسبة للتعبير √4 ، فإن الإجابة الصحيحة هي 2 ، على الرغم من حقيقة أن (-2)2تساوي أيضًا 4.
عقلانية الجذور ولاعقلانيتها
أبسط مهمة ممكنة مع الجذر هي إيجاد قيمة تعبير أو اختباره من حيث العقلانية.
على سبيل المثال ، احسب القيم √25 ؛ ∛8 ؛ ∛-125:
- √25=5 لأن 52=25 ؛
- ∛8=2 لأن 23=8 ؛
- ∛ - 125=-5 منذ (-5)3=-125.
الإجابات في الأمثلة المعطاة هي أرقام منطقية.
عند العمل مع التعبيرات التي لا تحتوي على ثوابت ومتغيرات حرفية ، يوصى دائمًا بإجراء مثل هذا الفحص باستخدام العملية العكسية للرفع إلى قوة طبيعية. إيجاد العدد x أس n يكافئ حساب حاصل ضرب n عوامل x.
هناك العديد من التعبيرات ذات الجذر ، قيمتها غير منطقية ، أي مكتوبة على هيئة كسر غير دوري لانهائي.
بحكم التعريف ، الأسباب المنطقية هي تلك التي يمكن التعبير عنها ككسر مشترك ، والأعداد غير المنطقية هي جميع الأعداد الحقيقية الأخرى.
وتشمل هذه √24 ، √0 ، 1 ، √101.
إذا كان كتاب المشكلة يقول: أوجد قيمة التعبير بجذر 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 ، إلخ ، أي من تلك الأعداد الطبيعية غير الواردة في جدول المربعات ، فإن الإجابة الصحيحة هي √ 2 قد تكون موجودة (ما لم يذكر خلاف ذلك).
تقييم
في مشاكل معإجابة مفتوحة ، إذا كان من المستحيل العثور على قيمة تعبير بجذر وكتابته في صورة عدد نسبي ، فيجب ترك النتيجة كجذر.
قد تتطلب بعض المهام التقييم. على سبيل المثال ، قارن 6 و 37. يتطلب الحل تربيع كل من الأرقام ومقارنة النتائج. من بين عددين ، يكون الرقم الذي يكون مربعه أكبر. تعمل هذه القاعدة مع جميع الأعداد الموجبة:
- 62=36 ؛
- 372=37 ؛
- 37 >36 ؛
- تعني √37 > 6.
بنفس الطريقة يتم حل المشكلات حيث يجب ترتيب عدة أرقام بترتيب تصاعدي أو تنازلي.
مثال: ترتيب 5، √6، √48، 64 بترتيب تصاعدي.
بعد التربيع لدينا: 25 ، 6 ، 48 ، √64. يمكن للمرء أن يربّع جميع الأعداد مرة أخرى لمقارنتها بـ 64 ، لكنها تساوي الرقم المنطقي 8. 6 < 8 < 25 < 48 ، لذا فإن الحل هو: 48.
تبسيط التعبير
يحدث أنه من المستحيل إيجاد قيمة تعبير بجذر ، لذلك يجب تبسيطه. تساعد الصيغة التالية في هذا:
√ab=a√b.
جذر حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب جذورهما. ستتطلب هذه العملية أيضًا القدرة على تحليل الرقم إلى عوامل.
في المرحلة الأولية ، لتسريع العمل ، يوصى بوجود جدول للأعداد الأولية والمربعات في متناول اليد. هذه الجداول متكررةسيتم تذكر استخدامها في المستقبل.
على سبيل المثال ، √242 هو رقم غير نسبي ، يمكنك تحويله على النحو التالي:
- 242=2 × 121 ؛
- √242=√ (2 × 121) ؛
- √2 × √121=√2 × 11.
عادة يتم كتابة النتيجة كـ 11√2 (اقرأ: أحد عشر جذرًا من اثنين).
إذا كان من الصعب أن ترى على الفور أي عاملين يجب أن يتحلل الرقم إليهما بحيث يمكن استخلاص جذر طبيعي من أحدهما ، يمكنك استخدام التحلل الكامل إلى عوامل أولية. إذا تكرر نفس العدد الأولي مرتين في التوسع ، فسيتم إزالته من علامة الجذر. عند وجود العديد من العوامل ، يمكنك استخراج الجذر بعدة خطوات.
مثال: √2400=√ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). الرقم 2 يحدث في التوسع مرتين (في الواقع ، أكثر من مرتين ، لكننا ما زلنا مهتمين بالحدثين الأولين في التوسع).
نخرجه من تحت علامة الجذر:
√ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
كرر نفس الإجراء:
2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
في التعبير الجذري المتبقي ، تحدث 2 و 3 مرة واحدة ، لذلك يبقى إخراج العامل 5:
2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3) ؛
وإجراء العمليات الحسابية:
5 × 2 × 2√ (2 × 3)=20√6.
إذن ، نحصل على √2400=20√6.
إذا لم تذكر المهمة صراحة: "اعثر على قيمة التعبير بجذر تربيعي" ، ثم الاختيار ،في أي شكل لترك الإجابة (سواء لاستخراج الجذر من تحت الجذر) يبقى مع الطالب وقد يعتمد على حل المشكلة.
في البداية ، يتم وضع متطلبات عالية على تصميم المهام ، الحساب ، بما في ذلك الشفوية أو الكتابية ، دون استخدام الوسائل التقنية.
فقط بعد التمكن الجيد من قواعد العمل مع التعبيرات العددية غير المنطقية ، من المنطقي الانتقال إلى التعبيرات الحرفية الأكثر صعوبة وحل المعادلات غير المنطقية وحساب نطاق القيم الممكنة للتعبير تحت راديكالي
يواجه الطلاب هذا النوع من المشاكل في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات ، وكذلك في السنة الأولى من الجامعات المتخصصة عند دراسة التحليل الرياضي والتخصصات ذات الصلة.
