دوال حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ومتغيرات متعددة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

حساب التفاضل والتكامل هو فرع من التفاضل والتكامل يدرس المشتقات والتفاضلات واستخدامها في دراسة دالة.

تاريخ المظهر

برز حساب التفاضلكنظام مستقل في النصف الثاني من القرن السابع عشر ، بفضل عمل نيوتن ولايبنيز ، اللذين صاغا الأحكام الأساسية في حساب التفاضل ولاحظا العلاقة بين التكامل والتفاضل. منذ تلك اللحظة ، تطور النظام جنبًا إلى جنب مع حساب التكاملات ، وبالتالي شكل أساس التحليل الرياضي. فتح ظهور هذه الحسابات التفاضلية والتكامل حقبة حديثة جديدة في عالم الرياضيات وتسبب في ظهور تخصصات جديدة في العلوم. كما وسعت من إمكانية تطبيق العلوم الرياضية في العلوم الطبيعية والتكنولوجيا.

مفاهيم أساسية

يعتمد حساب التفاضل على المفاهيم الأساسية للرياضيات. وهي: العدد الحقيقي ، والاستمرارية ، والوظيفة ، والحد. بمرور الوقت ، اتخذوا مظهرًا عصريًا بفضل حساب التفاضل والتكامل.

عملية الإنشاء

تم تشكيل حساب التفاضل في شكل تطبيقي ، ثم حدث منهج علمي قبل ظهور النظرية الفلسفية التي ابتكرها نيكولاس دي كوسا. تعتبر أعماله تطورًا تطوريًا من أحكام العلوم القديمة. على الرغم من حقيقة أن الفيلسوف نفسه لم يكن عالم رياضيات ، فإن مساهمته في تطوير العلوم الرياضية لا يمكن إنكارها. كان Kuzansky من أوائل الذين ابتعدوا عن اعتبار الحساب أكثر مجالات العلوم دقة ، ووضع الرياضيات في ذلك الوقت موضع شك.

استخدم علماء الرياضيات القدماء الوحدة كمعيار عالمي ، بينما اقترح الفيلسوف اللانهاية كمقياس جديد بدلاً من الرقم الدقيق. في هذا الصدد ، فإن تمثيل الدقة في العلوم الرياضية معكوس. المعرفة العلمية ، حسب قوله ، تنقسم إلى عقلانية وفكرية. والثاني أكثر دقة ، حسب العالم ، لأن الأول يعطي نتيجة تقريبية فقط.

فكرة

الفكرة والمفهوم الرئيسيان في حساب التفاضل متعلق بوظيفة في أحياء صغيرة من نقاط معينة. للقيام بذلك ، من الضروري إنشاء جهاز رياضي لدراسة وظيفة يكون سلوكها في حي صغير من النقاط المحددة قريبًا من سلوك دالة كثيرة الحدود أو دالة خطية. هذا يعتمد على تعريف المشتق والتفاضل.

ظهور مفهوم المشتق سببه عدد كبير من المشاكل من العلوم الطبيعية والرياضيات ،مما أدى لإيجاد قيم الحدود من نفس النوع.

إحدى المشكلات الرئيسية التي يتم تقديمها كمثال بدءًا من المدرسة الثانوية هي تحديد سرعة نقطة تتحرك على طول خط مستقيم وإنشاء خط مماس لهذا المنحنى. يرتبط التفاضل بهذا ، لأنه من الممكن تقريب الوظيفة في حي صغير من النقطة المدروسة للوظيفة الخطية.

مقارنة بمفهوم مشتق دالة لمتغير حقيقي ، فإن تعريف الفروق ينتقل ببساطة إلى دالة ذات طبيعة عامة ، على وجه الخصوص ، إلى صورة مساحة إقليدية على مساحة أخرى.

مشتق

دع النقطة تتحرك في اتجاه محور Oy ، للوقت الذي نأخذ فيه x ، والذي يتم حسابه من بداية معينة للحظة. يمكن وصف هذه الحركة من خلال الوظيفة y=f (x) ، والتي يتم تخصيصها لكل لحظة زمنية x من إحداثيات النقطة التي يتم نقلها. في الميكانيكا ، تسمى هذه الوظيفة قانون الحركة. السمة الرئيسية للحركة ، خاصةً غير المتكافئة ، هي السرعة اللحظية. عندما تتحرك نقطة على طول محور Oy وفقًا لقانون الميكانيكا ، فإنها تكتسب الإحداثيات f (x) في لحظة زمنية عشوائية x. في الوقت الحالي x + Δx ، حيث تشير Δx إلى زيادة الوقت ، سيكون إحداثياتها f (x + Δx). هذه هي الطريقة التي يتم بها تشكيل الصيغة Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ، والتي تسمى زيادة الوظيفة. يمثل المسار الذي تقطعه النقطة الزمنية من x إلى x + Δx.

بسبب ظهور هذاالسرعة في وقت ، يتم إدخال المشتق. في وظيفة عشوائية ، يسمى المشتق عند نقطة ثابتة الحد (بافتراض وجوده). يمكن تحديده برموز معينة:

f '(x)، y'، ý، df / dx، dy / dx، Df (x).

عملية حساب المشتق تسمى التفاضل

حساب التفاضل لدالة متعددة المتغيرات

تُستخدم طريقة حساب التفاضل والتكامل هذه عند فحص دالة ذات متغيرات متعددة. في وجود متغيرين x و y ، يسمى المشتق الجزئي بالنسبة إلى x عند النقطة A مشتق هذه الدالة بالنسبة إلى x مع y الثابت.

يمكن تمثيله بالأحرف التالية:

f '(x) (x، y)، u' (x)، ∂u / ∂x أو ∂f (x، y) '/ ∂x.

المهارات المطلوبة

مهارات في التكامل والتمايز مطلوبة للدراسة بنجاح والقدرة على حل مشكلة النشر. لتسهيل فهم المعادلات التفاضلية ، يجب أن يكون لديك فهم جيد لموضوع المشتق والتكامل غير المحدد. كما أنه لا يضر بمعرفة كيفية إيجاد مشتق دالة معينة ضمنيًا. هذا يرجع إلى حقيقة أنه في عملية دراسة التكاملات والتفاضل غالبًا ما يجب استخدامها.

أنواع المعادلات التفاضلية

في جميع أوراق الاختبار تقريبًا المتعلقة بالمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، هناك 3 أنواع من المعادلات: متجانسة ، مع متغيرات قابلة للفصل ، خطية غير متجانسة.

هناك أيضًا أنواع نادرة من المعادلات: مع مجموع الفروق ومعادلات برنولي وغيرها.

أساسيات القرار

أولاً ، يجب أن تتذكر المعادلات الجبرية من الدورة المدرسية. تحتوي على متغيرات وأرقام. لحل معادلة عادية ، عليك إيجاد مجموعة من الأعداد التي تفي بشرط معين. كقاعدة ، كان لهذه المعادلات جذر واحد ، وللتحقق من صحتها ، كان على المرء فقط استبدال هذه القيمة بالمجهول.

المعادلة التفاضلية مشابهة لذلك. بشكل عام ، تتضمن معادلة الدرجة الأولى:

• متغير مستقل.
• مشتق الوظيفة الأولى.
• دالة أو متغير تابع.

في بعض الحالات ، قد يكون أحد المجهولين ، x أو y ، مفقودًا ، لكن هذا ليس مهمًا جدًا ، لأن وجود المشتق الأول ، بدون مشتقات ذات رتبة أعلى ، ضروري للحل والتفاضل أن يكون حساب التفاضل والتكامل صحيحًا.

لحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد مجموعة كل الدوال المطابقة للتعبير المحدد. غالبًا ما تسمى هذه المجموعة من الوظائف بالحل العام لـ DE.

حساب التفاضل والتكامل

حساب التفاضل والتكامل هو أحد أقسام التحليل الرياضي الذي يدرس مفهوم التكامل وخصائص وطرق حسابه.

في كثير من الأحيان ، يحدث حساب التكامل عند حساب مساحة الشكل المنحني. تعني هذه المنطقة الحد الذي تميل إليه مساحة المضلع المدرج في شكل معين مع زيادة تدريجية في جانبه ، بينما يمكن جعل هذه الجوانب أقل من أي تعسفي محدد مسبقًاقيمة صغيرة.

الفكرة الرئيسية في حساب مساحة الشكل الهندسي التعسفي هي حساب مساحة المستطيل ، أي إثبات أن مساحته تساوي ناتج الطول والعرض. عندما يتعلق الأمر بالهندسة ، يتم إنشاء جميع الإنشاءات باستخدام المسطرة والبوصلة ، ومن ثم تكون نسبة الطول إلى العرض قيمة منطقية. عند حساب مساحة المثلث القائم ، يمكنك تحديد أنه إذا وضعت نفس المثلث بجانبه ، فسيتم تكوين مستطيل. في متوازي الأضلاع ، تُحسب المساحة بطريقة مشابهة ، ولكنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، من خلال مستطيل ومثلث. في المضلعات يتم حساب المساحة من خلال المثلثات المتضمنة فيها.

عند تحديد تجنيب منحنى تعسفي ، لن تعمل هذه الطريقة. إذا قسمتها إلى مربعات مفردة ، فستكون هناك أماكن شاغرة. في هذه الحالة ، يحاول المرء استخدام غلافين ، مع وجود مستطيلات في الأعلى والأسفل ، ونتيجة لذلك ، يتضمن ذلك الرسم البياني للوظيفة ولا يشمل ذلك. تظل طريقة التقسيم إلى هذه المستطيلات مهمة هنا. أيضًا ، إذا أخذنا أقسامًا أصغر بشكل متزايد ، فيجب أن تتقارب المنطقة أعلى وأسفل عند قيمة معينة.

يجب أن تعود إلى طريقة التقسيم إلى مستطيلات. هناك طريقتان شائعتان.

قام ريمان بإضفاء الطابع الرسمي على تعريف التكامل الذي أنشأه ليبنيز ونيوتن كمساحة للرسم البياني الفرعي. في هذه الحالة ، تم النظر في الأشكال المكونة من عدد معين من المستطيلات الرأسية والتي تم الحصول عليها بالقسمةقطعة. عندما ، مع انخفاض القسم ، يكون هناك حد تنخفض به مساحة الشكل المماثل ، يسمى هذا الحد تكامل Riemann لوظيفة في فترة زمنية معينة.

الطريقة الثانية هي بناء تكامل Lebesgue ، والذي يتكون من حقيقة أنه بالنسبة لمكان تقسيم المنطقة المحددة إلى أجزاء من التكامل ثم تجميع المجموع المتكامل من القيم التي تم الحصول عليها في هذه الأجزاء ، نطاق قيمه مقسم إلى فترات ، ثم يتم تلخيصه بالمقاييس المقابلة للصور الأولية لهذه التكاملات.

الفوائد الحديثة

كتب Fikhtengolts أحد الكتيبات الرئيسية لدراسة حساب التفاضل والتكامل - "دورة حساب التفاضل والتكامل". كتابه المدرسي هو دليل أساسي لدراسة التحليل الرياضي ، والذي مر بالعديد من الطبعات والترجمات إلى لغات أخرى. تم إنشاؤه لطلاب الجامعات ولطالما تم استخدامه في العديد من المؤسسات التعليمية كأحد وسائل الدراسة الرئيسية. يعطي البيانات النظرية والمهارات العملية. نُشر لأول مرة عام 1948.

خوارزمية البحث الوظيفي

للتحقيق في دالة باستخدام طرق حساب التفاضل ، يجب اتباع الخوارزمية المحددة بالفعل:

1. أوجد نطاق الوظيفة.
2. أوجد جذور المعادلة المعطاة.
3. حساب النهايات. للقيام بذلك ، احسب المشتق والنقاط التي تساوي فيها الصفر.
4. استبدل القيمة الناتجة في المعادلة.

أنواع المعادلات التفاضلية

تحكم من الدرجة الأولى (خلاف ذلك ، تفاضليةحساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير) وأنواعها:

• معادلة منفصلة: f (y) dy=g (x) dx.
• أبسط المعادلات ، أو حساب التفاضل لدالة متغير واحد ، لها الصيغة: y '=f (x).
• الدرجة الأولى الخطية غير المتجانسة DE: y '+ P (x) y=Q (x).
• معادلة برنولي التفاضلية: y '+ P (x) y=Q (x) ya.
• معادلة بمجموع الفروق: P (x، y) dx + Q (x، y) dy=0.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية وأنواعها:

• معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية الخطية مع قيم معامل ثابتة: y + py '+ qy=0 p ، q ينتمي إلى R.
• معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة: y + py '+ qy=f (x).
• المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة: y + p (x) y '+ q (x) y=0 ، ومعادلة الدرجة الثانية غير المتجانسة: y + p (x) y '+ q (x) y=f (x).

المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى وأنواعها:

• معادلة تفاضلية يمكن اختزالها بالترتيب: F (x، y^(k) ، y^{(k + 1)} ،.. ، y^(n)=0.
• معادلة خطية متجانسة ذات ترتيب أعلى: y⁽ⁿ⁾+ f_(n-1)y^{(n- 1)}+… + f₁y '+ f₀y=0 ، وغير متجانسة: y⁽ⁿ⁾+ f_(n-1)y^(n-1)+… + f_{1 y '+ f}0_{y=f (x).}

خطوات حل مشكلة بالمعادلة التفاضلية

بمساعدة جهاز التحكم عن بعد ، لا يتم حل الأسئلة الرياضية أو المادية فحسب ، بل يتم أيضًا حل المشكلات المختلفة منعلم الأحياء والاقتصاد وعلم الاجتماع ، إلخ. على الرغم من تنوع الموضوعات ، يجب على المرء الالتزام بتسلسل منطقي واحد عند حل مثل هذه المشكلات:

1. تجميع جهاز التحكم عن بعد. من أصعب الخطوات التي تتطلب أقصى درجات الدقة ، حيث أن أي خطأ سيؤدي إلى نتائج خاطئة تمامًا. يجب أن تؤخذ جميع العوامل التي تؤثر على العملية في الاعتبار ويجب تحديد الشروط الأولية. كما يجب أن تستند إلى الحقائق والاستنتاجات المنطقية.
2. حل المعادلة المصاغة. هذه العملية أبسط من الخطوة الأولى ، لأنها لا تتطلب سوى حسابات رياضية صارمة.
3. تحليل وتقييم النتائج. يجب تقييم الحل المشتق لتحديد القيمة العملية والنظرية للنتيجة.

مثال على استخدام المعادلات التفاضلية في الطب

يحدث استخدام جهاز التحكم عن بعد في مجال الطب عند بناء نموذج وبائي رياضي. في الوقت نفسه ، لا ينبغي لأحد أن ينسى أن هذه المعادلات موجودة أيضًا في علم الأحياء والكيمياء ، وهي قريبة من الطب ، لأن دراسة المجموعات البيولوجية المختلفة والعمليات الكيميائية في جسم الإنسان تلعب دورًا مهمًا فيها.

في المثال أعلاه للوباء ، يمكننا النظر في انتشار العدوى في مجتمع منعزل. ينقسم السكان إلى ثلاثة أنواع:

• مصاب ، العدد x (t) ، يتكون من الأفراد ، حاملي العدوى ، كل منهم معدي (فترة الحضانة قصيرة).
• النوع الثاني يشملالأفراد المعرضون للإصابة y (t) القادرون على الإصابة من خلال الاتصال بأفراد مصابين.
• النوع الثالث يشمل الأفراد المحصنين z (t) الذين لديهم مناعة أو ماتوا بسبب المرض.

عدد الأفراد ثابت ، ولا يؤخذ في الاعتبار المواليد والوفيات الطبيعية والهجرة. ستكون هناك فرضيتان في الصميم.

النسبة المئوية للوقوع في نقطة زمنية معينة هي x (t) y (t) (بناءً على النظرية القائلة بأن عدد الحالات يتناسب مع عدد التقاطعات بين الممثلين المرضى والمعرضين للإصابة ، والتي في الأول سيكون التقريب متناسبًا مع x (t) y (t)) ، فيما يتعلق بهذا ، يزداد عدد الحالات ، ويقل عدد الحالات الحساسة بمعدل يتم حسابه بواسطة الصيغة ax (t) y (t) (أ > 0).

عدد الأفراد الذين أصيبوا بالمناعة أو ماتوا يتزايد بمعدل يتناسب مع عدد الحالات ، bx (t) (b > 0).

نتيجة لذلك ، يمكنك عمل نظام معادلات مع مراعاة جميع المؤشرات الثلاثة واستخلاص النتائج بناءً عليها.

مثال اقتصادي

غالبًا ما يستخدم حساب التفاضل والتكامل في التحليل الاقتصادي. المهمة الرئيسية في التحليل الاقتصادي هي دراسة الكميات من الاقتصاد ، والتي تتم كتابتها في شكل دالة. يستخدم هذا عند حل مشاكل مثل التغييرات في الدخل فورًا بعد زيادة الضرائب ، وإدخال الرسوم ، والتغيرات في إيرادات الشركة عندما تتغير تكلفة الإنتاج ، وفي أي نسبة يمكن استبدال العمال المتقاعدين بمعدات جديدة. لحل مثل هذه القضايا ، فمن الضروريبناء دالة اتصال من متغيرات الإدخال ، والتي يتم دراستها بعد ذلك باستخدام حساب التفاضل.

في المجال الاقتصادي ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على أفضل المؤشرات: إنتاجية العمل القصوى ، أعلى دخل ، أقل التكاليف ، وما إلى ذلك. كل مؤشر من هذا القبيل هو دالة لواحدة أو أكثر من الحجج. على سبيل المثال ، يمكن النظر إلى الإنتاج كدالة للعمالة ومدخلات رأس المال. في هذا الصدد ، يمكن تقليل العثور على قيمة مناسبة لإيجاد الحد الأقصى أو الأدنى لدالة من متغير واحد أو أكثر.

مشاكل من هذا النوع تخلق فئة من المشاكل المتطرفة في المجال الاقتصادي ، والتي يتطلب حلها حساب التفاضل. عندما يحتاج المؤشر الاقتصادي إلى تصغيره أو تكبيره كدالة لمؤشر آخر ، فعند نقطة الحد الأقصى ، ستميل نسبة الزيادة في الوظيفة إلى الحجج إلى الصفر إذا كانت الزيادة في الوسيطة تميل إلى الصفر. خلاف ذلك ، عندما تميل هذه النسبة إلى بعض القيم الموجبة أو السلبية ، فإن النقطة المحددة غير مناسبة ، لأنه بزيادة أو تقليل الوسيطة ، يمكنك تغيير القيمة التابعة في الاتجاه المطلوب. في مصطلحات حساب التفاضل ، سيعني هذا أن الشرط المطلوب للحد الأقصى للدالة هو القيمة الصفرية لمشتقها.

في علم الاقتصاد ، غالبًا ما توجد مشاكل في إيجاد الحد الأقصى لدالة ذات متغيرات عديدة ، لأن المؤشرات الاقتصادية تتكون من العديد من العوامل. أسئلة مثل هذه جيدة.درس في نظرية وظائف عدة متغيرات ، تطبيق طرق الحساب التفاضلي. مثل هذه المشكلات لا تشمل فقط الوظائف المكبرة والمُصغرة ، ولكن أيضًا القيود. ترتبط مثل هذه الأسئلة بالبرمجة الرياضية ، ويتم حلها بمساعدة طرق مطورة خصيصًا ، تعتمد أيضًا على هذا الفرع من العلوم.

من بين طرق حساب التفاضل والتفاضل المستخدمة في علم الاقتصاد ، هناك قسم مهم هو التحليل الهامشي. في المجال الاقتصادي ، يشير هذا المصطلح إلى مجموعة من الأساليب لدراسة المؤشرات والنتائج المتغيرة عند تغيير حجم الإنشاء والاستهلاك ، بناءً على تحليل مؤشراتها الهامشية. المؤشر المحدد هو المشتق أو المشتقات الجزئية ذات المتغيرات المتعددة.

حساب التفاضل لعدة متغيرات هو موضوع مهم في مجال التحليل الرياضي. للحصول على دراسة مفصلة ، يمكنك استخدام العديد من الكتب المدرسية للتعليم العالي. واحدة من أشهرها تم إنشاؤها بواسطة Fikhtengolts - "دورة حساب التفاضل والتكامل". كما يوحي الاسم ، فإن المهارات في التعامل مع التكاملات لها أهمية كبيرة في حل المعادلات التفاضلية. عندما يحدث حساب التفاضل لدالة لمتغير واحد ، يصبح الحل أبسط. على الرغم من أنه تجدر الإشارة إلى أنه يخضع لنفس القواعد الأساسية. من أجل دراسة وظيفة عمليًا عن طريق حساب التفاضل ، يكفي اتباع الخوارزمية الموجودة بالفعل ، والتي يتم تقديمها في المدرسة الثانوية وتكون معقدة قليلاً فقط عند إدخال خوارزمية جديدة.المتغيرات.