للعثور على وظائف توزيع المتغيرات العشوائية ومتغيراتها ، من الضروري دراسة جميع ميزات هذا المجال المعرفي. هناك عدة طرق مختلفة للعثور على القيم المعنية ، بما في ذلك تغيير متغير وتوليد لحظة. التوزيع هو مفهوم يعتمد على عناصر مثل التشتت والاختلافات. ومع ذلك ، فإنها تحدد فقط درجة اتساع التشتت.
الوظائف الأكثر أهمية للمتغيرات العشوائية هي تلك المرتبطة والمستقلة ، والموزعة بالتساوي. على سبيل المثال ، إذا كان X1 هو وزن فرد تم اختياره عشوائيًا من مجموعة من الذكور ، و X2 هو وزن فرد آخر ، … و Xn هو وزن شخص آخر من السكان الذكور ، فنحن بحاجة إلى معرفة كيفية عمل الوظيفة العشوائية يتم توزيع X. في هذه الحالة ، تنطبق النظرية الكلاسيكية المسماة نظرية الحد المركزي. يسمح لك بإظهار أنه بالنسبة إلى n كبير ، فإن الوظيفة تتبع التوزيعات القياسية.
وظائف متغير عشوائي واحد
نظرية الحدود المركزية هي لتقريب القيم المنفصلة قيد الدراسة مثل ذات الحدين وبواسون.يتم النظر في وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية ، أولاً وقبل كل شيء ، على قيم بسيطة لمتغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كانت X عبارة عن متغير عشوائي مستمر له توزيع احتمالي خاص به. في هذه الحالة ، نستكشف كيفية العثور على دالة كثافة Y باستخدام طريقتين مختلفتين ، وهما طريقة دالة التوزيع والتغيير في المتغير. أولاً ، يتم أخذ القيم الفردية فقط في الاعتبار. ثم تحتاج إلى تعديل أسلوب تغيير المتغير لإيجاد احتماله. أخيرًا ، نحتاج إلى معرفة كيف يمكن لدالة التوزيع التراكمي العكسية أن تساعد في تشكيل أرقام عشوائية تتبع أنماطًا متسلسلة معينة.
طريقة توزيع القيم المعتبرة
طريقة دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي قابلة للتطبيق من أجل إيجاد كثافته. عند استخدام هذه الطريقة ، يتم حساب القيمة التراكمية. بعد ذلك ، من خلال تمييزها ، يمكنك الحصول على كثافة الاحتمال. الآن بعد أن أصبح لدينا طريقة دالة التوزيع ، يمكننا إلقاء نظرة على بعض الأمثلة الأخرى. لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر بكثافة احتمالية معينة.
ما دالة كثافة الاحتمال لـ x2؟ إذا نظرت أو رسمت الدالة (أعلى ويمين) y \u003d x2 ، يمكنك ملاحظة أنها زيادة X و 0 <y<1. أنت الآن بحاجة إلى استخدام الطريقة المدروسة للعثور على Y. أولاً ، تم العثور على دالة التوزيع التراكمي ، ما عليك سوى التفريق للحصول على كثافة الاحتمال. عند القيام بذلك ، نحصل على: 0<y<1.تم تنفيذ طريقة التوزيع بنجاح للعثور على Y عندما تكون Y دالة متزايدة لـ X. بالمناسبة ، تتكامل f (y) في 1 على y.
في المثال الأخير ، تم استخدام عناية كبيرة لفهرسة الدوال التراكمية وكثافة الاحتمالات باستخدام إما X أو Y للإشارة إلى المتغير العشوائي الذي تنتمي إليه. على سبيل المثال ، عند إيجاد دالة التوزيع التراكمي لـ Y ، حصلنا على X. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد متغير عشوائي X وكثافته ، فأنت تحتاج فقط إلى تمييزه.
تقنية التغيير المتغير
لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر تعطى بواسطة دالة توزيع ذات مقام مشترك f (x). في هذه الحالة ، إذا وضعت قيمة y في X=v (Y) ، فستحصل على قيمة x ، على سبيل المثال v (y). الآن ، نحتاج إلى الحصول على دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر Y. حيث تحدث المساواة الأولى والثانية من تعريف Y التراكمي.تثبت المساواة الثالثة لأن جزء الوظيفة الذي من أجله u (X) ≦ y هو صحيح أيضًا أن X ≦ v (Y). ويتم إجراء آخر واحد لتحديد الاحتمال في المتغير العشوائي المستمر X. الآن نحتاج إلى أخذ مشتق FY (y) ، دالة التوزيع التراكمي لـ Y ، للحصول على كثافة الاحتمال Y.
تعميم لوظيفة التخفيض
لنفترض أن X متغير عشوائي مستمر مع تعريف f (x) المشترك على c1<x<c2. ولنفترض أن Y=u (X) تكون دالة متناقصة لـ X مع معكوس X=v (Y). نظرًا لأن الوظيفة مستمرة ومتناقصة ، فهناك دالة عكسية X=v (Y).
لمعالجة هذه المشكلة ، يمكنك جمع البيانات الكمية واستخدام دالة التوزيع التراكمي التجريبية. مع هذه المعلومات وجاذبيتها ، تحتاج إلى الجمع بين عينات الوسائل والانحرافات المعيارية وبيانات الوسائط وما إلى ذلك.
وبالمثل ، حتى النموذج الاحتمالي البسيط إلى حد ما يمكن أن يكون له عدد كبير من النتائج. على سبيل المثال ، إذا قمت بقلب عملة معدنية 332 مرة. ثم يكون عدد النتائج التي تم الحصول عليها من التقلبات أكبر من عدد google (10100) - وهو رقم ، ولكن ليس أقل من 100 كوينتيليون مرة أعلى من الجسيمات الأولية في الكون المعروف. غير مهتم بتحليل يعطي إجابة لكل نتيجة محتملة. ستكون هناك حاجة إلى مفهوم أبسط ، مثل عدد الرؤوس ، أو أطول ضربة للذيول. للتركيز على القضايا ذات الاهتمام ، يتم قبول نتيجة محددة. التعريف في هذه الحالة هو كما يلي: المتغير العشوائي هو وظيفة حقيقية مع مساحة احتمالية.
يسمى النطاق S للمتغير العشوائي أحيانًا مساحة الحالة. وبالتالي ، إذا كانت X هي القيمة المعنية ، إذن N=X2 و exp X و X2 + 1 و tan2 X و bXc وما إلى ذلك. آخرها ، تقريب X إلى أقرب رقم صحيح ، يسمى وظيفة الكلمة.
وظائف التوزيع
بمجرد تحديد دالة التوزيع ذات الأهمية لمتغير عشوائي x ، يصبح السؤال عادة: "ما هي فرص أن يقع X في مجموعة فرعية من قيم B؟". على سبيل المثال ، ب={عدد فردي} ، ب={أكبر من 1} ، أو ب={بين 2 و 7} للإشارة إلى تلك النتائج التي تحتوي على X ، القيمةمتغير عشوائي ، في المجموعة الفرعية أ. وهكذا ، في المثال أعلاه ، يمكنك وصف الأحداث على النحو التالي.
{X رقم فردي} ، {X أكبر من 1}={X> 1} ، {X بين 2 و 7}={2 <X <7} لمطابقة الخيارات الثلاثة أعلاه للمجموعة الفرعية B. لا ترتبط العديد من خصائص الكميات العشوائية بعلامة X معينة ، بل تعتمد على كيفية تخصيص X لقيمها. يؤدي هذا إلى تعريف يبدو كالتالي: دالة التوزيع لمتغير عشوائي x تراكمية ويتم تحديدها من خلال الملاحظات الكمية.
المتغيرات العشوائية ووظائف التوزيع
وبالتالي ، يمكنك حساب احتمال أن تأخذ دالة التوزيع لمتغير عشوائي x قيمًا في الفترة الزمنية عن طريق الطرح. فكر في تضمين أو استبعاد نقاط النهاية.
سوف نسمي متغير عشوائي منفصل إذا كان يحتوي على مساحة حالة محدودة أو غير محدودة. وبالتالي ، X هو عدد الرؤوس على ثلاث ورقات مستقلة لعملة منحازة ترتفع مع الاحتمال p. نحتاج إلى إيجاد دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي FX متغير لـ X. لنفترض أن X هو عدد القمم في مجموعة من ثلاث بطاقات. ثم Y=X3 عبر FX. يبدأ FX عند 0 وينتهي عند 1 ولا ينقص مع زيادة قيم x. دالة توزيع FX التراكمية لمتغير عشوائي X متغير ثابت ، باستثناء القفزات. عند القفز على FX مستمر. اثبات البيان عن الصحيحمن الممكن استمرار دالة التوزيع من خاصية الاحتمال باستخدام التعريف. يبدو كالتالي: المتغير العشوائي الثابت له FX تراكمي قابل للتفاضل.
لإظهار كيف يمكن أن يحدث هذا ، يمكننا إعطاء مثال: هدف بنصف قطر وحدة. محتمل. يتم توزيع السهام بالتساوي على المنطقة المحددة. بالنسبة لبعض > 0. وبالتالي ، تزيد وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة بسلاسة. FX لها خصائص دالة التوزيع.
رجل ينتظر في موقف الباص حتى تصل الحافلة. بعد أن قرر بنفسه أنه سيرفض عندما يصل الانتظار إلى 20 دقيقة. من الضروري هنا العثور على دالة التوزيع التراكمي لـ T. الوقت الذي سيظل فيه الشخص في محطة الحافلات أو لن يغادر. على الرغم من حقيقة أن دالة التوزيع التراكمي محددة لكل متغير عشوائي. على الرغم من ذلك ، سيتم استخدام الخصائص الأخرى في كثير من الأحيان: كتلة المتغير المنفصل ودالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي. عادة ما تكون القيمة ناتجة من خلال إحدى هاتين القيمتين.
وظائف الكتلة
يتم النظر في هذه القيم من خلال الخصائص التالية ، والتي لها طابع عام (جماعي). الأول يعتمد على حقيقة أن الاحتمالات ليست سالبة. يتبع الثاني من الملاحظة أن المجموعة لكل x=2S ، مساحة الحالة لـ X ، تشكل قسمًا للحرية الاحتمالية لـ X. مثال: رمي عملة منحازة تكون نتائجها مستقلة. يمكنك الاستمرار في ذلكبعض الإجراءات حتى تحصل على لفة الرؤوس. دع X تشير إلى متغير عشوائي يعطي عدد ذيول أمام الرأس الأول. و p تدل على الاحتمال في أي إجراء.
إذن ، دالة احتمالية الكتلة لها السمات المميزة التالية. لأن المصطلحات تشكل متوالية رقمية ، فإن X تسمى متغير هندسي عشوائي. مخطط هندسي c ، cr ، cr2 ،. ،،، crn لديها مبلغ. وبالتالي ، فإن sn لها حد مثل n 1. في هذه الحالة ، يكون المجموع اللانهائي هو الحد.
تشكل دالة الكتلة أعلاه تسلسلًا هندسيًا بنسبة. لذلك ، الأعداد الطبيعية أ و ب. الفرق في القيم في دالة التوزيع يساوي قيمة دالة الكتلة.
قيم الكثافة قيد النظر لها تعريف: X هو متغير عشوائي له مشتق من توزيع FX. FX المرضية Z xFX (x)=fX (t) dt-1 تسمى دالة كثافة الاحتمال. و X يسمى متغير عشوائي مستمر. في النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، فإن دالة الكثافة هي مشتق من التوزيع. يمكنك حساب الاحتمالات عن طريق حساب التكاملات المحددة.
نظرًا لأنه يتم جمع البيانات من عدة ملاحظات ، يجب مراعاة أكثر من متغير عشوائي في المرة الواحدة لنمذجة الإجراءات التجريبية. لذلك ، فإن مجموعة هذه القيم وتوزيعها المشترك للمتغيرين X1 و X2 تعني عرض الأحداث. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، يتم تحديد وظائف الكتلة الاحتمالية المشتركة. بالنسبة للأشكال المستمرة ، تعتبر fX1 ، X2 ، حيثتم استيفاء كثافة الاحتمال المشترك.
المتغيرات العشوائية المستقلة
متغيرين عشوائيين X1 و X2 مستقلان إذا كان هناك حدثان مرتبطان بهما نفس الشيء. بالكلمات ، فإن احتمال وقوع حدثين {X1 2 B1} و {X2 2 B2} في نفس الوقت ، y ، يساوي حاصل ضرب المتغيرات أعلاه ، أي أن كل منهما يحدث على حدة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة المستقلة ، توجد دالة كتلة احتمالية مشتركة ، وهي نتاج حجم الأيونات المحدد. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة المستقلة ، فإن دالة كثافة الاحتمال المشتركة هي نتاج قيم الكثافة الهامشية. أخيرًا ، نعتبر n ملاحظات مستقلة x1 ، x2 ،. ، ، ، ، xn الناتجة عن كثافة غير معروفة أو دالة كتلة f. على سبيل المثال ، معلمة غير معروفة في وظائف لمتغير عشوائي أسي يصف وقت انتظار الحافلة.
تقليد المتغيرات العشوائية
الهدف الرئيسي لهذا المجال النظري هو توفير الأدوات اللازمة لتطوير إجراءات الاستدلال على أساس مبادئ العلوم الإحصائية السليمة. وبالتالي ، فإن إحدى حالات الاستخدام المهمة جدًا للبرنامج هي القدرة على إنشاء بيانات زائفة لتقليد المعلومات الفعلية. هذا يجعل من الممكن اختبار وتحسين طرق التحليل قبل الاضطرار إلى استخدامها في قواعد البيانات الحقيقية. هذا مطلوب من أجل استكشاف خصائص البيانات من خلالالنمذجة. بالنسبة للعديد من عائلات المتغيرات العشوائية شائعة الاستخدام ، يوفر R أوامر لتوليدها. بالنسبة للظروف الأخرى ، ستكون هناك حاجة إلى طرق لنمذجة سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها توزيع مشترك.
المتغيرات العشوائية المنفصلة ونمط الأوامر. يتم استخدام أمر العينة لإنشاء عينات عشوائية بسيطة وطبقية. نتيجة لذلك ، إذا تم إدخال تسلسل x ، فإن العينة (x ، 40) تختار 40 سجلًا من x بحيث يكون لجميع اختيارات الحجم 40 نفس الاحتمال. يستخدم هذا الأمر R الافتراضي للجلب بدون استبدال. يمكن استخدامها أيضًا لنمذجة المتغيرات العشوائية المنفصلة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى توفير مساحة حالة في المتجه x ودالة الكتلة f. استدعاء للاستبدال=TRUE يشير إلى أن أخذ العينات يحدث مع الاستبدال. بعد ذلك ، لإعطاء عينة من n من المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها دالة كتلة مشتركة f ، يتم استخدام العينة (x ، n ، استبدال=TRUE ، prob=f).
قرر أن 1 هي أصغر قيمة ممثلة و 4 هي أكبر قيمة على الإطلاق. إذا تم حذف الأمر prob=f ، فستقوم العينة بأخذ عينات بشكل موحد من القيم الموجودة في المتجه x. يمكنك التحقق من المحاكاة مقابل دالة الكتلة التي أنشأت البيانات من خلال النظر إلى علامة المساواة المزدوجة==. وإعادة حساب الملاحظات التي تأخذ كل قيمة ممكنة لـ x. يمكنك صنع طاولة. كرر هذا لـ 1000 وقارن المحاكاة مع وظيفة الكتلة المقابلة.
رسم توضيحي للتحول الاحتمالي
أولامحاكاة دوال التوزيع المتجانسة للمتغيرات العشوائية u1، u2،. ، ، ، ، الأمم المتحدة على الفاصل الزمني [0 ، 1]. يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام ضمن [0 ، 3 ، 0 ، 4]. هذا يتوافق مع 10٪ من عمليات المحاكاة على الفترة [0 ، 28 ، 0 ، 38] لمتغير عشوائي مع دالة توزيع FX الموضحة. وبالمثل ، يجب أن يكون حوالي 10٪ من الأرقام العشوائية في الفترة [0 ، 7 ، 0 ، 8]. يتوافق هذا مع عمليات محاكاة بنسبة 10٪ في الفترة [0 ، 96 ، 1 ، 51] من المتغير العشوائي مع دالة التوزيع FX. يمكن الحصول على هذه القيم على المحور x بأخذ المعكوس من FX. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا مع كثافة fX موجبة في كل مكان في مجاله ، فإن دالة التوزيع تتزايد بشكل صارم. في هذه الحالة ، لدى FX دالة FX-1 معكوسة تُعرف باسم دالة الكم. FX (x) u فقط عندما x FX-1 (u). يتبع التحول الاحتمالي من تحليل المتغير العشوائي U=FX (X).
FX لها نطاق من 0 إلى 1. لا يمكن أن يكون أقل من 0 أو أعلى 1. لقيم u بين 0 و 1. إذا كان من الممكن محاكاة U ، فيجب أن يكون المتغير العشوائي مع توزيع FX تمت محاكاته عبر دالة مساوية. خذ المشتق لترى أن الكثافة u تختلف في حدود 1. نظرًا لأن المتغير العشوائي U له كثافة ثابتة على مدى الفاصل الزمني لقيمه المحتملة ، فإنه يسمى منتظم على الفترة [0 ، 1]. تم تصميمه في R باستخدام الأمر runif. تسمى الهوية تحولًا احتماليًا. يمكنك أن ترى كيف يعمل في مثال لوحة النبال. X بين 0 و 1 ، وظيفةالتوزيع ش=FX (x)=x2 ، ومن ثم دالة الكم x=FX-1 (u). من الممكن نمذجة ملاحظات مستقلة للمسافة من مركز لوحة السهام ، وبالتالي إنشاء متغيرات عشوائية موحدة U1 ، U2 ،. ،، Un. تعتمد وظيفة التوزيع والوظيفة التجريبية على 100 محاكاة لتوزيع لوحة النبال. بالنسبة لمتغير عشوائي أسي ، يفترض أن u=FX (x)=1 - exp (- x) ، وبالتالي x=- 1 ln (1 - u). يتكون المنطق أحيانًا من عبارات مكافئة. في هذه الحالة ، تحتاج إلى ربط جزأي الوسيطة. هوية التقاطع متشابهة لكل 2 {S i} S ، بدلاً من بعض القيم. الاتحاد Ci يساوي مساحة الولاية S وكل زوج متنافي. منذ بي - ينقسم إلى ثلاث بديهيات. يعتمد كل فحص على الاحتمال المقابل P. لأي مجموعة فرعية. استخدام هوية للتأكد من أن الإجابة لا تعتمد على ما إذا كانت نقاط نهاية الفاصل الزمني مضمنة.
الدالة الأسية ومتغيراتها
لكل نتيجة في جميع الأحداث ، يتم استخدام الخاصية الثانية لاستمرارية الاحتمالات في النهاية ، والتي تعتبر بديهية. يوضح قانون توزيع دالة المتغير العشوائي هنا أن لكل متغير حله الخاص وإجابته.
