طرق ضبط معادلات الخطوط في المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

الخط المستقيم هو الكائن الهندسي الرئيسي على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد. يتم إنشاء العديد من الأشكال من الخطوط المستقيمة ، على سبيل المثال: متوازي أضلاع ، ومثلث ، ومنشور ، وهرم ، وما إلى ذلك. ضع في اعتبارك في المقالة طرقًا مختلفة لتعيين معادلات الخطوط.

تعريف الخط المستقيم وأنواع المعادلات لوصفه

لدى كل طالب فكرة جيدة عن الكائن الهندسي الذي يتحدثون عنه. يمكن تمثيل الخط المستقيم على أنه مجموعة من النقاط ، وإذا وصلنا كل منها على حدة مع جميع النقاط الأخرى ، فإننا نحصل على مجموعة من المتجهات المتوازية. بمعنى آخر ، من الممكن الوصول إلى كل نقطة من الخط من إحدى نقاطه الثابتة ، ونقلها إلى متجه وحدة مضروبًا في رقم حقيقي. يستخدم هذا التعريف للخط المستقيم لتعريف مساواة متجه لوصفها الرياضي في كل من المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يمكن تمثيل الخط المستقيم رياضيًا بأنواع المعادلات التالية:

• عام ؛
• ناقل ؛
• حدودي ؛
• في قطاعات ؛
• متماثل (متعارف عليه).

بعد ذلك ، سننظر في جميع الأنواع المسماة ونوضح كيفية التعامل معها باستخدام أمثلة لحل المشكلات.

وصف المتجه والبارامترية لخط مستقيم

لنبدأ بتحديد خط مستقيم من خلال متجه معروف. افترض أن هناك نقطة ثابتة في الفضاء M (x₀؛ y₀؛ z_{0). من المعروف أن الخط المستقيم يمر عبره ويتم توجيهه على طول الجزء المتجه v (أ ؛ ب ؛ ج). كيف تجد نقطة تعسفية للخط من هذه البيانات؟ الإجابة على هذا السؤال ستعطي المساواة التالية:}

(x ؛ y ؛ z)=(x₀؛ y₀؛ z_{0) + λ(أ ؛ ب ؛ ج)}

حيث λ هو رقم تعسفي.

يمكن كتابة تعبير مشابه للحالة ثنائية الأبعاد ، حيث يتم تمثيل إحداثيات المتجهات والنقاط بمجموعة من رقمين:

(س ؛ ص)=(س₀؛ y_{0) + λ(أ ؛ ب)}

المعادلات المكتوبة تسمى معادلات المتجه ، والجزء الموجه v¯ نفسه هو متجه الاتجاه للخط المستقيم.

من التعبيرات المكتوبة ، يتم الحصول على المعادلات البارامترية المقابلة ببساطة ، ويكفي إعادة كتابتها بشكل صريح. على سبيل المثال ، بالنسبة للحالة في الفضاء ، نحصل على المعادلة التالية:

x=x_{0+ λa ؛}

y=y_{0+ λb ؛}

z=z_{0+ λc}

من الملائم العمل مع المعادلات البارامترية إذا كنت بحاجة إلى تحليل السلوككل إحداثي. لاحظ أنه على الرغم من أن المعلمة λ يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية ، إلا أنها يجب أن تكون هي نفسها في جميع المساواة الثلاث.

المعادلة العامة

هناك طريقة أخرى لتعريف الخط المستقيم ، والتي غالبًا ما تستخدم للعمل مع الكائن الهندسي المدروس ، وهي استخدام معادلة عامة. للحالة ثنائية الأبعاد تبدو كالتالي:

أس + بص + ج=0

هنا تمثل الأحرف اللاتينية الكبيرة قيمًا عددية محددة. تكمن راحة هذه المساواة في حل المشكلات في حقيقة أنها تحتوي صراحة على متجه عمودي على الخط المستقيم. إذا أشرنا إليها بـ n¯ ، فيمكننا كتابة:

n¯=[A ؛ ب]

بالإضافة إلى ذلك ، فإن التعبير مناسب للاستخدام لتحديد المسافة من خط مستقيم إلى نقطة ما P (x₁؛ y_{1). صيغة المسافة د هي:}

د=| Ax₁+ By₁+ C | / √ (A²+ B²⁾

من السهل إظهار أننا إذا عبرنا صراحة عن المتغير y من المعادلة العامة ، فإننا نحصل على الشكل المعروف التالي لكتابة خط مستقيم:

y=كس + ب

حيث يتم تحديد k و b بشكل فريد من خلال الأرقام A و B و C.

المعادلة في المقاطع والمتعارف عليها

المعادلة في المقاطع أسهل في الحصول عليها من العرض العام. سنوضح لك كيفية القيام بذلك.

افترض أن لدينا السطر التالي:

أس + بص + ج=0

انقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المساواة ، ثم اقسم المعادلة بأكملها بواسطته ، نحصل على:

Ax + By=-C ؛

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1 ؛

x / q + y / p=1 ، حيث q=-C / A ، p=-C / B

حصلنا على ما يسمى بالمعادلة في المقاطع. لقد حصل على اسمه بسبب حقيقة أن المقام الذي يقسم به كل متغير يوضح قيمة إحداثيات تقاطع الخط مع المحور المقابل. من الملائم استخدام هذه الحقيقة لتصوير خط مستقيم في نظام إحداثيات ، وكذلك لتحليل موضعه النسبي بالنسبة إلى كائنات هندسية أخرى (خطوط مستقيمة ، نقاط).

الآن دعنا ننتقل إلى الحصول على المعادلة الأساسية. هذا أسهل في القيام به إذا أخذنا في الاعتبار الخيار حدودي. بالنسبة للحالة على متن الطائرة لدينا:

x=x_{0+ λa ؛}

y=y_{0+ λb}

نعبر عن المعلمة λ في كل مساواة ، ثم نساويها ، نحصل على:

λ=(س - س_{0) / أ ؛}

λ=(y - y_{0) / b ؛}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

هذه هي المعادلة المطلوبة مكتوبة بشكل متماثل. تمامًا مثل تعبير المتجه ، فهو يحتوي بشكل صريح على إحداثيات متجه الاتجاه وإحداثيات إحدى النقاط التي تنتمي إلى الخط.

يمكن ملاحظة أننا في هذه الفقرة قدمنا معادلات للحالة ثنائية الأبعاد. وبالمثل ، يمكنك كتابة معادلة خط مستقيم في الفراغ. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا كان الشكل المتعارف عليهسيكون للتسجيلات والتعبير في المقاطع نفس الشكل ، ثم يتم تمثيل المعادلة العامة في الفضاء لخط مستقيم بنظام من معادلتين للمستويات المتقاطعة.

مشكلة بناء معادلة الخط المستقيم

من علم الهندسة ، يعرف كل طالب أنه من خلال نقطتين يمكنك رسم خط واحد. افترض أن النقاط التالية معطاة في المستوى الإحداثي:

M_{1(1 ؛ 2) ؛}

M_{2(- 1 ؛ 3)}

من الضروري إيجاد معادلة الخط الذي تنتمي إليه النقطتان ، في مقاطع ، في شكل متجه ، ومتعارف عليه ، وعامة.

دعنا نحصل على معادلة المتجه أولاً. للقيام بذلك ، حدد متجه الاتجاه المباشر M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1 ؛ 3) - (1 ؛ 2)=(-2 ؛ 1)}

الآن يمكنك إنشاء معادلة متجه بأخذ إحدى النقطتين المحددتين في بيان المشكلة ، على سبيل المثال ، M_2:

(س ؛ ص)=(-1 ؛ 3) +(-2 ؛ 1)

للحصول على المعادلة الأساسية ، يكفي تحويل المساواة التي تم العثور عليها إلى شكل حدودي واستبعاد المعلمة λ. لدينا:

x=-1-2λ ، لذلك λ=x + 1 / (-2) ؛

y=3 + λ ، ثم نحصل على λ=y - 3 ؛

س + 1 / (-2)=(ص - 3) / 1

المعادلتان المتبقيتان (عامة وفي مقاطع) يمكن العثور عليها من المعادلة الأساسية بتحويلها على النحو التالي:

س + 1=-2ص + 6 ؛

المعادلة العامة: س + 2ص - 5=0 ؛

في المعادلة: x / 5 + y / 2، 5=1

تظهر المعادلات الناتجة أن المتجه (1 ؛ 2) يجب أن يكون عموديًا على الخط. في الواقع ، إذا وجدت منتجها القياسي مع متجه الاتجاه ، فسيكون ذلك مساويًا للصفر. تقول معادلة القطعة المستقيمة أن الخط يتقاطع مع المحور السيني عند (5 ؛ 0) والمحور الصادي عند (2 ، 5 ؛ 0).

مشكلة تحديد نقطة تقاطع الخطوط

يتم إعطاء خطين مستقيمين على المستوى بواسطة المعادلات التالية:

2س + ص -1=0 ؛

(س ؛ ص)=(0 ؛ -1) + λ(-1 ؛ 3)

من الضروري تحديد إحداثيات النقطة التي تتقاطع فيها هذه الخطوط.

هناك طريقتان لحل المشكلة:

1. قم بتحويل معادلة المتجه إلى صيغة عامة ، ثم حل نظام المعادلتين الخطيتين.
2. لا تقم بإجراء أي تحويلات ، ولكن ببساطة استبدل إحداثيات نقطة التقاطع ، المعبر عنها من خلال المعلمة λ ، في المعادلة الأولى. ثم ابحث عن قيمة المعلمة.

لنفعل الطريقة الثانية. لدينا:

س=-λ ؛

ص=-1 + 3λ ؛

2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0 ؛

λ=2

استبدل الرقم الناتج في معادلة المتجه:

(س ؛ ص)=(0 ؛ -1) + 2(-1 ؛ 3)=(-2 ؛ 5)

وبالتالي ، فإن النقطة الوحيدة التي تنتمي إلى كلا الخطين هي النقطة ذات الإحداثيات (-2 ؛ 5). تتقاطع فيه الخطوط