من المشاكل الشائعة في القياس الفراغي هي مهام عبور الخطوط المستقيمة والمستويات وحساب الزوايا بينهما. دعونا نفكر في هذه المقالة بمزيد من التفصيل في ما يسمى بطريقة الإحداثيات والزوايا بين الخط والمستوى.
الخط والمستوى في الهندسة
قبل التفكير في طريقة الإحداثيات والزاوية بين الخط والمستوى ، يجب أن تتعرف على الكائنات الهندسية المسماة.
الخط عبارة عن مجموعة من النقاط في الفضاء أو على مستوى ، يمكن الحصول على كل منها عن طريق النقل الخطي السابق إلى متجه معين. فيما يلي ، نشير إلى هذا المتجه بالرمز u¯. إذا تم ضرب هذا المتجه في أي عدد لا يساوي صفرًا ، فسنحصل على متجه موازٍ لـ u¯. الخط هو كائن خطي لانهائي.
الطائرة هي أيضًا مجموعة من النقاط الموجودة بطريقة تجعلك إذا قمت بتكوين متجهات عشوائية منها ، فستكون جميعها متعامدة مع بعض المتجهات n¯. هذا الأخير يسمى عادي أو عادي ببساطة.المستوى ، على عكس الخط المستقيم ، هو كائن لا نهائي ثنائي الأبعاد.
طريقة تنسيق لحل مشاكل الهندسة
بناءً على اسم الطريقة نفسها ، يمكننا أن نستنتج أننا نتحدث عن طريقة لحل المشكلات ، والتي تعتمد على أداء العمليات الحسابية المتسلسلة التحليلية. بمعنى آخر ، تتيح لك طريقة الإحداثيات حل المشكلات الهندسية باستخدام أدوات الجبر العالمية ، وأهمها المعادلات.
وتجدر الإشارة إلى أن الطريقة قيد الدراسة ظهرت في فجر الهندسة والجبر الحديث. تم تقديم مساهمة كبيرة في تطويرها من قبل رينيه ديكارت وبيير دي فيرمات وإسحاق نيوتن ولايبنيز في القرنين السابع عشر والثامن عشر.
جوهر الطريقة هو حساب مسافات وزوايا ومساحات وأحجام العناصر الهندسية بناءً على إحداثيات النقاط المعروفة. لاحظ أن شكل المعادلات النهائية التي تم الحصول عليها يعتمد على نظام الإحداثيات. في أغلب الأحيان ، يتم استخدام النظام الديكارتي المستطيل في المشاكل ، لأنه الأكثر ملاءمة للعمل معه.
خط المعادلة
النظر في طريقة الإحداثيات والزوايا بين الخط والمستوى ، لنبدأ بتعيين معادلة الخط. هناك عدة طرق لتمثيل الخطوط في الصورة الجبرية. هنا نأخذ في الاعتبار فقط معادلة المتجه ، حيث يمكن الحصول عليها بسهولة بأي شكل آخر ويسهل التعامل معها.
افترض أن هناك نقطتين: P و Q. من المعروف أنه يمكن رسم خط من خلالهما ، وهوسيكون الوحيد. يبدو التمثيل الرياضي المقابل للعنصر كما يلي:
(س ، ص ، ض)=P + λPQ¯.
حيث PQ¯ هو متجه يتم الحصول على إحداثياته على النحو التالي:
PQ¯=Q - P.
يشير الرمز λ إلى معلمة يمكن أن تأخذ أي رقم على الإطلاق.
في التعبير المكتوب ، يمكنك تغيير اتجاه المتجه ، وكذلك استبدال الإحداثيات Q بدلاً من النقطة P. كل هذه التحولات لن تؤدي إلى تغيير في الموقع الهندسي للخط.
لاحظ أنه عند حل المشكلات ، يلزم أحيانًا تمثيل معادلة المتجه المكتوبة بصيغة واضحة (حدودي).
ضبط طائرة في الفضاء
بالإضافة إلى الخط المستقيم ، هناك أيضًا عدة أشكال من المعادلات الرياضية للمستوى. من بينها ، نلاحظ المتجه والمعادلة في المقاطع والشكل العام. في هذه المقالة سوف نولي اهتماما خاصا للشكل الأخير.
يمكن كتابة معادلة عامة لمستوى تعسفي على النحو التالي:
Ax + By + Cz + D=0.
الحروف اللاتينية الكبيرة هي أرقام معينة تحدد المستوى.
الراحة في هذا الترميز هو أنه يحتوي صراحة على متجه عادي للمستوى. تساوي:
n¯=(أ ، ب ، ج).
معرفة هذا المتجه يجعل من الممكن ، من خلال النظر بإيجاز إلى معادلة المستوى ، تخيل موقع الأخير في نظام الإحداثيات.
الترتيب المتبادل فيمساحة الخط والمستوى
في الفقرة التالية من المقال سننتقل إلى دراسة طريقة الإحداثيات والزاوية بين الخط والمستوى. سنجيب هنا على سؤال حول كيفية تواجد العناصر الهندسية المدروسة في الفضاء. هناك ثلاث طرق:
- يتقاطع الخط المستقيم مع المستوى. باستخدام طريقة الإحداثيات ، يمكنك حساب نقطة واحدة يتقاطع فيها الخط والمستوى.
- مستوى الخط المستقيم متوازي. في هذه الحالة ، لا يوجد حل لنظام معادلات العناصر الهندسية. لإثبات التوازي ، عادةً ما يتم استخدام خاصية المنتج القياسي لمتجه التوجيه للخط المستقيم والعادي للمستوى.
- تحتوي الطائرة على خط. لحل نظام المعادلات في هذه الحالة ، سنصل إلى استنتاج مفاده أنه لأي قيمة للمعامل λ ، يتم الحصول على المساواة الصحيحة.
في الحالتين الثانية والثالثة ، الزاوية بين العناصر الهندسية المحددة تساوي الصفر. في الحالة الأولى ، تقع بين 0 و 90o.
حساب الزوايا بين الخطوط والمستويات
الآن دعنا ننتقل مباشرة إلى موضوع المقال. أي تقاطع بين خط ومستوى يحدث بزاوية ما. تتكون هذه الزاوية من الخط المستقيم نفسه وإسقاطه على المستوى. يمكن الحصول على إسقاط إذا تم خفض عمودي من أي نقطة على خط مستقيم إلى المستوى ، ثم من خلال نقطة تقاطع المستوى التي تم الحصول عليها والعمودي ونقطة تقاطع المستوى والخط الأصلي ، ارسم خط مستقيم سيكون بمثابة إسقاط.
حساب الزوايا بين الخطوط والمستويات ليست مهمة صعبة. لحلها ، يكفي معرفة معادلات الكائنات الهندسية المقابلة. لنفترض أن هذه المعادلات تبدو كما يلي:
(x، y، z)=(x0 ، y0 ، z0) +(أ ، ب ، ج) ؛
Ax + By + Cz + D=0.
يمكن العثور بسهولة على الزاوية المرغوبة باستخدام خاصية حاصل ضرب المتجهات العددية u¯ و n¯. تبدو الصيغة النهائية كما يلي:
θ=arcsin (| (u¯n¯) | / (| u¯ || n¯ |)).
تنص هذه الصيغة على أن جيب الزاوية بين الخط والمستوى يساوي نسبة معامل الضرب القياسي للمتجهات المحددة إلى حاصل ضرب أطوالها. لفهم سبب ظهور الجيب بدلاً من جيب التمام ، دعنا ننتقل إلى الشكل أدناه.
يمكن ملاحظة أنه إذا طبقنا دالة جيب التمام ، فسنحصل على الزاوية بين المتجهين u¯ و n¯. يتم الحصول على الزاوية المرغوبة θ (α في الشكل) على النحو التالي:
θ=90o- β.
يظهر الجيب نتيجة تطبيق صيغ التصغير.
مثال على المشكلة
دعنا ننتقل إلى الاستخدام العملي للمعرفة المكتسبة. لنحل مشكلة نموذجية للزاوية بين الخط المستقيم والمستوى. الإحداثيات التالية لأربع نقاط معطاة:
P=(1 ، -1 ، 0) ؛
س=(-1 ، 2 ، 2) ؛
م=(0 ، 3 ، -1) ؛
N=(-2، -1، 1).
ومن المعروف أنه من خلال نقاط PQMتمر طائرة عبرها ، ويمر خط مستقيم عبر MN. باستخدام طريقة الإحداثيات ، يجب حساب الزاوية بين المستوى والخط.
أولاً ، دعنا نكتب معادلات الخط المستقيم والمستوى. بالنسبة لخط مستقيم ، من السهل تكوينه:
MN¯=(-2، -4، 2)=>
(س ، ص ، ض)=(0 ، 3 ، -1) +(- 2 ، -4 ، 2).
لعمل معادلة المستوى ، نجد أولاً المعدل الطبيعي لها. إحداثياته تساوي حاصل الضرب المتجه لمتجهين موجودين في المستوى المحدد. لدينا:
PQ¯=(-2، 3، 2) ؛
QM¯=(1، 1، -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11، -4، -5).
الآن دعونا نستبدل إحداثيات أي نقطة تقع فيها في معادلة المستوى العام للحصول على قيمة المصطلح الحر D:
P=(1 ، -1 ، 0) ؛
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
معادلة الطائرة هي:
11س + 4ص + 5ع - 7=0.
يبقى تطبيق معادلة الزاوية المتكونة عند تقاطع خط مستقيم ومستوى للحصول على إجابة للمسألة. لدينا:
(u¯n¯)=(11 ، 4 ، 5)(- 2 ، -4 ، 2)=-28 ؛
| u¯ |=√24 ؛ | لا |=√162 ؛
θ=arcsin (28 / √ (16224))=26، 68o.
باستخدام هذه المشكلة كمثال ، أوضحنا كيفية استخدام طريقة الإحداثيات لحل المشكلات الهندسية.
