المتجه هو كائن هندسي مهم ، بمساعدة خصائصه يكون مناسبًا لحل العديد من المشكلات على المستوى وفي الفضاء. في هذه المقالة ، سنقوم بتعريفه ، والنظر في خصائصه الرئيسية ، وكذلك نوضح كيف يمكن استخدام المتجه في الفضاء لتعريف الطائرات.
ما هو المتجه: حالة ثنائية الأبعاد
بادئ ذي بدء ، من الضروري أن نفهم بوضوح الشيء الذي نتحدث عنه. في الهندسة ، يسمى المقطع الموجه بالمتجه. مثل أي جزء ، يتميز بعنصرين رئيسيين: نقطة البداية والنهاية. تحدد إحداثيات هذه النقاط بشكل فريد كل خصائص المتجه.
لنفكر في مثال متجه على مستو. للقيام بذلك ، نرسم محورين متعامدين بشكل متبادل x و y. دعونا نحدد نقطة عشوائية P (x، y). إذا قمنا بتوصيل هذه النقطة بالأصل (النقطة O) ، ثم حددنا الاتجاه إلى P ، فسنحصل على المتجه OP¯ (لاحقًا في المقالة ، يشير الشريط الموجود فوق الرمز إلى أننا نفكر في متجه). يظهر الرسم المتجه على المستوى أدناه.
هنا ، متجه آخر AB¯ يظهر أيضًا ، ويمكنك أن ترى أن خصائصه هي نفسها تمامًا مثل OP¯ ، لكنها في جزء مختلف من نظام الإحداثيات. من خلال الترجمة المتوازية OP¯ ، يمكنك الحصول على عدد لا حصر له من المتجهات بنفس الخصائص.
متجه في الفضاء
جميع الأشياء الحقيقية التي تحيط بنا موجودة في فضاء ثلاثي الأبعاد. تتناول دراسة الخصائص الهندسية للأشكال ثلاثية الأبعاد القياس الفراغي ، الذي يعمل مع مفهوم المتجهات ثلاثية الأبعاد. وهي تختلف عن ثنائية الأبعاد فقط من حيث أن وصفها يتطلب إحداثيات إضافية ، والتي يتم قياسها على طول المحور العمودي الثالث x و y المحور.
يوضح الشكل أدناه متجهًا في الفضاء. تتم الإشارة إلى إحداثيات نهايته على طول كل محور بواسطة مقاطع ملونة. تقع بداية المتجه عند نقطة التقاطع لجميع محاور الإحداثيات الثلاثة ، أي أنه يحتوي على إحداثيات (0 ؛ 0 ؛ 0).
نظرًا لأن المتجه على المستوى هو حالة خاصة لمقطع موجه مكانيًا ، فسننظر فقط في متجه ثلاثي الأبعاد في المقالة.
إحداثيات المتجهات بناءً على الإحداثيات المعروفة لبدايتها ونهايتها
افترض أن هناك نقطتين P (x1؛ y1؛ z1) و Q (x2؛ y2؛ z2). كيفية تحديد إحداثيات المتجه PQ¯. أولاً ، من الضروري الاتفاق على أي من النقاط ستكون بداية وأي نهاية للمتجه. في الرياضيات ، من المعتاد كتابة الكائن المعني على طول اتجاهه ، أي P هي البداية ، Q- النهاية. ثانيًا ، تُحسب إحداثيات المتجه PQ¯ على أنها الفرق بين الإحداثيات المقابلة للنهاية والبداية ، أي:
PQ¯=(x2- x1؛ y2- y 1؛ z2- z1 ).
لاحظ أنه من خلال تغيير اتجاه المتجه ، ستتغير إحداثياته ، على النحو التالي:
QP¯=(x1- x2؛ y1- y 2؛ z1- z2 ).
هذا يعني PQ¯=-QP¯.
من المهم أن نفهم شيئًا آخر. لقد قيل أعلاه أنه يوجد في المستوى عدد لا حصر له من المتجهات يساوي الواحد المعطى. هذه الحقيقة صالحة أيضًا للحالة المكانية. في الواقع ، عندما حسبنا إحداثيات PQ¯ في المثال أعلاه ، قمنا بتنفيذ عملية الترجمة المتوازية لهذا المتجه بطريقة تزامن أصله مع الأصل. يمكن رسم Vector PQ¯ كمقطع موجه من الأصل إلى النقطة M ((x2- x1؛ y2- y1؛ z2- z1).
خصائص المتجهات
مثل أي كائن هندسي ، يمتلك المتجه بعض الخصائص الكامنة التي يمكن استخدامها لحل المشكلات. دعونا نذكرها بإيجاز.
معامل المتجه هو طول المقطع الموجه. معرفة الإحداثيات من السهل حسابها. بالنسبة للمتجه PQ¯ في المثال أعلاه ، يكون المعامل هو:
| PQ¯ |=√ [(x2- x1)2+ (y2 - y1 )2+ (z2- z1 )2 ].
وحدة المتجهات علىيُحسب المستوى بصيغة مماثلة ، فقط بدون مشاركة الإحداثي الثالث.
يتم حساب مجموع المتجهات واختلافها وفقًا لقاعدة المثلث. يوضح الشكل أدناه كيفية إضافة هذه الكائنات وطرحها.
للحصول على متجه المجموع ، أضف بداية الثانية إلى نهاية المتجه الأول. سيبدأ المتجه المطلوب في بداية الأول وينتهي في نهاية المتجه الثاني.
يتم تنفيذ الفرق مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن المتجه المخصوم يتم استبداله بالناقل المقابل ، ثم يتم تنفيذ عملية الإضافة الموضحة أعلاه.
إلى جانب الجمع والطرح ، من المهم أن تكون قادرًا على ضرب المتجه برقم. إذا كان الرقم يساوي k ، فيتم الحصول على متجه يختلف معامله k مرة عن المعامل الأصلي ، ويكون الاتجاه إما هو نفسه (k>0) أو عكس الاتجاه الأصلي (k<0).
يتم أيضًا تعريف عملية مضاعفة النواقل فيما بينها. سنفرد لها فقرة منفصلة في المقالة.
الضرب العددي والمتجه
افترض أن هناك متجهين u¯ (x1؛ y1؛ z1) و v¯ (x2؛ y2؛ z2). يمكن مضاعفة المتجه بواسطة المتجه بطريقتين مختلفتين:
- عددي. في هذه الحالة تكون النتيجة رقم
- متجه. والنتيجة هي متجه جديد.
يتم حساب المنتج القياسي للمتجهات u¯ و v¯ على النحو التالي:
(u¯v¯)=| u¯ || v¯ |كوس (α).
حيث α هي الزاوية بين المتجهات المعطاة
يمكن إظهار أنه بمعرفة الإحداثيات u¯ و v¯ ، يمكن حساب حاصل الضرب النقطي باستخدام الصيغة التالية:
(u¯v¯)=x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
المنتج العددي مناسب للاستخدام عند تحليل متجه إلى جزأين موجهين بشكل عمودي. يتم استخدامه أيضًا لحساب التوازي أو التعامد للمتجهات ، ولحساب الزاوية بينهما.
الناتج المتقاطع لـ u¯ و v¯ يعطي متجهًا جديدًا عموديًا على المتجه الأصلي وله معامل:
[u¯v¯]=| u¯ || v¯ |الخطيئة (α).
يتم تحديد الاتجاه لأسفل أو لأعلى من المتجه الجديد بقاعدة اليد اليمنى (يتم توجيه أربعة أصابع من اليد اليمنى من نهاية المتجه الأول إلى نهاية الثانية ، والإبهام يعلق لأعلى يشير إلى اتجاه المتجه الجديد). يوضح الشكل أدناه نتيجة المنتج المتقاطع لـ a¯ و b¯ التعسفي.
يتم استخدام حاصل الضرب الاتجاهي لحساب مساحات الأشكال ، وكذلك لتحديد إحداثيات متجه عمودي على مستوى معين.
المتجهات وخصائصها ملائمة للاستخدام عند تحديد معادلة المستوى
المعادلة العادية والعامة للطائرة
هناك عدة طرق لتعريف الطائرة. واحد منهم هو اشتقاق المعادلة العامة للمستوى ، والتي تتبع مباشرة من معرفة المتجه العمودي عليها وبعض النقاط المعروفة التي تنتمي إلى المستوى.
افترض أن هناك متجه n¯ (A ؛ B ؛ C) ونقطة P (x0؛ y0؛ ض0). ما هو الشرط الذي يفي بجميع النقاط Q (x ؛ y ؛ z) من المستوى؟ يتكون هذا الشرط من عمودي أي ناقل PQ¯ على العدد الطبيعي n¯. بالنسبة إلى متجهين متعامدين ، يصبح حاصل الضرب النقطي صفرًا (cos (90o)=0) ، اكتب هذا:
(n¯PQ¯)=0 أو
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0.
فتح الأقواس نحصل على:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-Cz0)=0 أو
Ax + By + Cz + D=0 حيث D=-Ax0-By0-Cz0.
تسمى هذه المعادلة عامة بالنسبة للمستوى. نلاحظ أن المعاملات الواقعة أمام x و y و z هي إحداثيات المتجه العمودي n¯. يطلق عليه دليل الطائرة.
المعادلة البارامترية للمتجه للمستوى
الطريقة الثانية لتعريف المستوى هي استخدام متجهين موجودين فيه.
افترض أن هناك متجهات u¯ (x1؛ y1؛ z1) و v¯ (x2؛ y2؛ z2). كما قيل ، يمكن تمثيل كل منها في الفضاء بعدد لا حصر له من المقاطع الموجهة المتطابقة ، وبالتالي ، هناك حاجة إلى نقطة أخرى لتحديد المستوى بشكل فريد. اجعل هذه النقطة P (x0؛y0؛ ض0). ستقع أي نقطة Q (x ؛ y ؛ z) في المستوى المطلوب إذا كان من الممكن تمثيل المتجه PQ¯ كمجموعة من u¯ و v¯. أي لدينا:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
أين α و بعض الأرقام الحقيقية. من هذه المساواة يتبع التعبير:
(x ؛ y ؛ z)=(x0؛ y0؛ z0) + α(x1؛ y1؛ z1 ) + β(x 2؛ y2؛ z2).
يطلق عليه معادلة المتجه البارامترية للمستوى فيما يتعلق بمتجهين u¯ و v¯. باستبدال المعلمات التعسفية α و ، يمكن للمرء أن يجد جميع النقاط (x ؛ y ؛ z) التي تنتمي إلى هذا المستوى.
من هذه المعادلة ، من السهل الحصول على التعبير العام للمستوى. للقيام بذلك ، يكفي العثور على متجه الاتجاه n¯ ، والذي سيكون عموديًا على كل من المتجهين u¯ و v¯ ، أي يجب تطبيق منتج المتجه.
مشكلة تحديد المعادلة العامة للمستوى
دعنا نوضح كيفية استخدام الصيغ أعلاه لحل المسائل الهندسية. افترض أن متجه الاتجاه للمستوى هو n¯ (5 ؛ -3 ؛ 1). يجب أن تجد معادلة المستوى ، مع العلم أن النقطة P (2 ؛ 0 ؛ 0) تنتمي إليها.
المعادلة العامة مكتوبة على النحو التالي:
Ax + By + Cz + D=0.
نظرًا لأن المتجه العمودي على المستوى معروف ، فستأخذ المعادلة الشكل:
5س - 3ص + ض + د=0.
يبقى إيجاد المصطلح الحر D. نحسبه من معرفة الإحداثيات P:
د=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30-10=-10.
وهكذا ، فإن المعادلة المطلوبة للمستوى لها الشكل:
5س - 3ص + ض -10=0.
يوضح الشكل أدناه كيف تبدو الطائرة الناتجة
تتوافق إحداثيات النقاط المشار إليها مع تقاطعات المستوى مع محاور x و y و z.
مشكلة تحديد المستوى من خلال متجهين ونقطة
لنفترض الآن أن المستوى السابق قد تم تعريفه بشكل مختلف. متجهان u¯ (-2 ؛ 0 ؛ 10) و v¯ (-2 ؛ -10/3 ؛ 0) معروفان ، وكذلك النقطة P (2 ؛ 0 ؛ 0). كيف تكتب معادلة المستوى في شكل حدودي متجه؟ باستخدام الصيغة المقابلة المدروسة ، نحصل على:
(س ؛ ص ؛ ض)=(2 ؛ 0 ؛ 0) + α(- 2 ؛ 0 ؛ 10) +(- 2 ؛ -10/3 ؛ 0).
لاحظ أن تعريفات معادلة المستوى والمتجهات u¯ و v¯ يمكن أخذها على الإطلاق ، ولكن بشرط واحد: يجب ألا تكون متوازية. خلاف ذلك ، لا يمكن تحديد المستوى بشكل فريد ، ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يجد معادلة لحزمة أو مجموعة من المستويات.
