المستوى ، جنبًا إلى جنب مع النقطة والخط المستقيم ، هو عنصر هندسي أساسي. مع استخدامه ، تم بناء العديد من الأشكال في الهندسة المكانية. في هذه المقالة ، سننظر بمزيد من التفصيل في مسألة كيفية إيجاد زاوية بين مستويين.
مفهوم
قبل الحديث عن الزاوية بين طائرتين ، يجب أن تفهم جيدًا أي عنصر في الهندسة نتحدث عنه. دعونا نفهم المصطلحات. الطائرة عبارة عن مجموعة لا حصر لها من النقاط في الفضاء ، والتي نحصل عليها من المتجهات. سيكون الأخير عموديًا على متجه واحد. يطلق عليه عادة المستوى الطبيعي.
يوضح الشكل أعلاه طائرة ومتجهين عاديين لها. يمكن ملاحظة أن كلا المتجهين يقعان على نفس الخط المستقيم. الزاوية بينهما 180o.
المعادلات
يمكن تحديد الزاوية بين مستويين إذا كانت المعادلة الرياضية للعنصر الهندسي المدروس معروفة. هناك عدة أنواع من هذه المعادلات ،اسمائهم مذكورة أدناه:
- النوع العام ؛
- ناقل ؛
- في قطاعات.
هذه الأنواع الثلاثة هي الأكثر ملاءمة لحل أنواع مختلفة من المشاكل ، لذلك يتم استخدامها في أغلب الأحيان.
معادلة النوع العام تبدو كالتالي:
Ax + By + Cz + D=0.
هنا x ، y ، z هي إحداثيات نقطة تعسفية تنتمي إلى المستوى المحدد. المعلمات A و B و C و D هي أرقام. تكمن الراحة في هذا الترميز في حقيقة أن الأرقام A و B و C هي إحداثيات متجه عادي للمستوى.
يمكن تمثيل الشكل المتجه للطائرة على النحو التالي:
x، y، z)=(x0 ، y0 ، z0) + α(a1 ، b1 ، c1) + β(a2 ، b2 ، c2).
هنا (a2، b2، c2) و (a1 ، b1 ، c1) - معلمات متجهي إحداثيات ينتميان إلى المستوى المدروس. النقطة (x0 ، y0 ، z0) تكمن أيضًا في هذا المستوى. يمكن أن تأخذ المعلمتان α و قيمًا مستقلة وتعسفية.
أخيرًا ، يتم تمثيل معادلة المستوى في المقاطع بالصيغة الرياضية التالية:
x / p + y / q + z / l=1.
هنا p ، q ، l هي أرقام محددة (بما في ذلك الأرقام السالبة). هذا النوع من المعادلة مفيد عندما يكون من الضروري تصوير مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ، لأن الأرقام p و q و l تُظهر نقاط التقاطع مع محاور x و y و zالطائرة
لاحظ أنه يمكن تحويل كل نوع من المعادلات إلى أي نوع آخر باستخدام عمليات حسابية بسيطة.
صيغة الزاوية بين مستويين
الآن ضع في اعتبارك الفروق الدقيقة التالية. في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن تحديد موقع طائرتين بطريقتين فقط. إما أن تتقاطع أو تكون متوازية. بين مستويين ، الزاوية هي ما يقع بين متجهي التوجيه (عادي). متقاطعان ، متجهان يشكلان زاويتين (حادة ومنفرجة في الحالة العامة). تعتبر الزاوية بين الطائرات حادة. النظر في المعادلة.
صيغة الزاوية بين مستويين هي:
θ=arccos (| (n1¯n2¯) | / (| n1¯ || n2¯ |)).
من السهل تخمين أن هذا التعبير هو نتيجة مباشرة للمنتج القياسي للمتجهات العادية n1¯ و n2¯ للطائرات المدروسة. يشير معامل حاصل الضرب النقطي في البسط إلى أن الزاوية θ ستأخذ قيمًا فقط من 0oإلى 90o. حاصل ضرب معاملات المتجهات العادية في المقام يعني حاصل ضرب أطوالها.
ملاحظة ، إذا (n1¯n2¯)=0 ، فإن الطائرات تتقاطع في الزاوية اليمنى.
مثال على المشكلة
بعد معرفة ما يسمى بالزاوية بين مستويين ، سنحل المشكلة التالية. كمثال. لذلك ، من الضروري حساب الزاوية بين هذه المستويات:
2س - 3ص + 4=0 ؛
(س ، ص ، ض)=(2 ، 0 ، -1) + α(1 ، 1 ، -1) +(0 ، 2 ، 3).
لحل المشكلة ، تحتاج إلى معرفة متجهات الاتجاه للطائرات. بالنسبة للمستوى الأول ، يكون المتجه العادي هو: n1¯=(2، -3، 0). للعثور على المتجه العادي في المستوى الثاني ، يجب على المرء أن يضرب المتجهات بعد المعلمات α و. النتيجة متجه: n2¯=(5، -3، 2).
لتحديد الزاوية θ ، نستخدم الصيغة من الفقرة السابقة. نحصل على:
θ=arccos (| ((2 ، -3 ، 0)(5 ، -3 ، 2)) | / (| (2 ، -3 ، 0) || (5 ، -3 ، 2) |))=
=arccos (19 / √ (1338))=0.5455 راديان.
الزاوية المحسوبة بالتقدير الدائري تقابل 31.26o. وهكذا ، تتقاطع المستويات من حالة المشكلة بزاوية 31 ، 26o.
