المنشور الخماسي في حل المشكلات في الهندسة أقل شيوعًا من المناشير مثل مثلثة أو رباعي الزوايا أو سداسية. ومع ذلك ، من المفيد مراجعة الخصائص الأساسية لهذا الشكل ، وكذلك تعلم كيفية رسمه.
ما هو المنشور الخماسي؟
هذا شكل ثلاثي الأبعاد أساسه خماسي الأضلاع و أضلاعه متوازية الأضلاع. إذا كان كل من هذه متوازي الأضلاع عموديًا على القواعد المتوازية ، فإن هذا المنشور يسمى مستطيل. يتكون السطح الجانبي للمنشور الخماسي المستطيل من خمسة مستطيلات. علاوة على ذلك ، فإن الضلع المجاور لقاعدة كل منهما يساوي الطول المقابل لضلع البنتاغون.
إذا كان البنتاغون منتظمًا ، أي أن جميع جوانبه وزواياه متساوية مع بعضها البعض ، فإن هذا المنشور المستطيل يسمى منتظم. علاوة على ذلك في المقالة سننظر في خصائص هذا الرقم بالذات.
عناصر المنشور
بالنسبة لها ، كما هو الحال بالنسبة لأي منشور ،العناصر التالية مميزة:
- وجوه أو جوانب هي أجزاء من الطائرات التي تربط الشكل في الفضاء ؛
- قمم - نقاط تقاطع الجوانب الثلاثة ؛
- الأضلاع - مقاطع تقاطع جانبي الشكل.
ترتبط أرقام جميع العناصر المحددة ببعضها البعض من خلال المساواة التالية:
عدد الحواف=عدد الرؤوس + عدد الوجوه - 2
يسمى هذا التعبير معادلة أويلر لمتعدد الوجوه.
في المنشور الخماسي ، يكون عدد الأضلاع سبعة (قاعدتان + خمسة مستطيلات). عدد القمم 10 (خمسة لكل قاعدة). سيكون عدد الحواف في هذه الحالة:
عدد الأضلاع=10 + 7-2=15
عشرة حواف تنتمي إلى قواعد المنشور ، وخمسة حواف من المستطيلات.
كيفية رسم منشور خماسي؟
تعتمد الإجابة على هذا السؤال على المهمة المحددة. إذا كان من الضروري رسم منشور تعسفي ، فيجب رسم أي خماسي. بعد ذلك ، ارسم خمسة أجزاء متوازية متساوية الطول من كل رأس من رأس البنتاغون. ثم قم بتوصيل الأطراف العلوية للقطاعات. والنتيجة هي منشور تعسفي خماسي.
إذا كان من الضروري رسم منشور منتظم ، فإن التعقيد الكامل للمهمة ينحصر في الحصول على خماسي منتظم. هناك عدة طرق لرسم هذا المضلع. هنا سننظر في طريقتين فقط.
الطريقة الأولى هي رسم دائرة بالبوصلة. ثم يتم رسم قطر تعسفيدائرة وخمس زوايا تحسب منها باستخدام منقلة عند 72o(572o=360o). عند حساب كل زاوية ، يتم عمل شق على الدائرة. لبناء مستطيل ، يبقى توصيل الشقوق المميزة بالمقاطع المستقيمة.
الطريقة الثانية تتضمن استخدام البوصلة والمسطرة فقط. إنه معقد إلى حد ما بالمقارنة مع السابق. يوجد أدناه مقطع فيديو يشرح بالتفصيل كل خطوة من خطوات هذا الإصدار.
لاحظ أنه من السهل رسم خماسي إذا قمت بتوصيل أطراف النجمة. إذا لم يكن من الضروري رسم خماسي منتظم تمامًا ، فيمكنك استخدام طريقة النجمة المرسومة يدويًا.
بمجرد رسم البنتاغون ، ارسم خمسة أجزاء متوازية متطابقة من كل رأس وقم بتوصيل رؤوسها. والنتيجة هي منشور خماسي.
منطقة الشكل
الآن فكر في كيفية إيجاد مساحة المنشور الخماسي. يوضح الشكل أدناه تطوره. يمكن ملاحظة أن المساحة المطلوبة تتكون من خماسيين متطابقين وخمسة مستطيلات متساوية مع بعضها البعض.
يتم التعبير عن مساحة سطح الشكل بالكامل بالصيغة:
S=2So+ 5Sp
هنا المؤشرات o و p تعني القاعدة والمستطيل ، على التوالي. دعنا نشير إلى طول ضلع البنتاغون على أنه a وارتفاع الشكل h. ثم بالنسبة للمستطيل نكتب:
Sp=أح
لحساب مساحة البنتاغون ،استخدم الصيغة العالمية:
S=n / 4a2 ctg (pi / n)
حيث n هو عدد جوانب المضلع. استبدال n=5 ، نحصل على:
S5=5/4a2 ctg (pi / 5) ≈ 1، 72a2
دقة المساواة الناتجة هي 3 منازل عشرية ، وهو ما يكفي لحل أي مشاكل.
الآن يبقى إيجاد مجموع المساحات التي تم الحصول عليها من القاعدة والسطح الجانبي. لدينا:
S=21، 72a2+ 5ah=3، 44a2+ 5aح
يجب أن نتذكر أن الصيغة الناتجة صالحة فقط للمنشور المستطيل. في حالة الشكل المائل ، يتم العثور على مساحة سطحه الجانبي بناءً على معرفة محيط القطع ، والذي يجب أن يكون عموديًا على جميع متوازي الأضلاع.
حجم الشكل
لا تختلف صيغة حساب حجم المنشور الخماسي عن التعبير المماثل لأي منشور أو أسطوانة أخرى. حجم الشكل يساوي حاصل ضرب ارتفاعه ومساحة القاعدة:
V=So h
إذا كان المنشور المعني مستطيلاً ، فإن ارتفاعه هو طول الحافة المكونة من المستطيلات. تم حساب مساحة البنتاغون المنتظم أعلاه بدقة عالية. عوض بهذه القيمة في صيغة الحجم واحصل على التعبير الضروري لمنشور خماسي منتظم:
V=1، 72a2 h
وبالتالي حساب الحجم ومساحة السطحالمنشور الخماسي المنتظم ممكن إذا كان جانب القاعدة وارتفاع الشكل معروفين.
