تنقسم دورة الهندسة المدرسية إلى قسمين كبيرين: قياس الرسم والهندسة الصلبة. يدرس القياس المجسم الأشكال المكانية وخصائصها. في هذه المقالة ، سوف ننظر في ماهية المنشور المستقيم ونعطي الصيغ التي تصف خصائصه مثل الأطوال القطرية والحجم ومساحة السطح.
ما هو المنشور؟
عندما يُطلب من تلاميذ المدارس تسمية تعريف المنشور ، فإنهم يجيبون بأن هذا الشكل عبارة عن مضلعين متطابقين متوازيين ، ترتبط أضلاعهما ببعضهما البعض بواسطة متوازي الأضلاع. هذا التعريف عام قدر الإمكان ، لأنه لا يفرض شروطًا على شكل المضلعات ، على ترتيبها المتبادل في مستويات متوازية. بالإضافة إلى ذلك ، فإنه يشير إلى وجود متوازي أضلاع متصل ، يتضمن صنفه أيضًا مربعًا ومعينًا ومستطيلًا. أدناه يمكنك أن ترى ما هو المنشور رباعي الزوايا.
نرى أن المنشور عبارة عن متعدد السطوح (متعدد السطوح) يتكون من n + 2الأضلاع ، 2 × ن رؤوس و 3 × ن حواف ، حيث ن هو عدد الأضلاع (الرؤوس) لأحد المضلعات.
عادة ما يطلق على كلا المضلعين قواعد الشكل ، أما الوجوه الأخرى فهي جوانب المنشور.
مفهوم المنشور المستقيم
هناك أنواع مختلفة من المنشورات. لذلك ، يتحدثون عن الأشكال المنتظمة وغير المنتظمة ، عن المناشير المثلثية والخماسية وغيرها ، وهناك أشكال محدبة ومقعرة ، وأخيراً ، هم مائلون ومستقيمون. دعونا نتحدث عن الأخير بمزيد من التفصيل
المنشور الصحيح هو مثل هذا الشكل لفئة المجسمات المدروسة ، وجميع المربعات الجانبية لها زوايا قائمة. لا يوجد سوى نوعين من هذه الأشكال الرباعية - مستطيل ومربع.
الشكل المدروس للشكل له خاصية مهمة: ارتفاع المنشور المستقيم يساوي طول الحافة الجانبية. لاحظ أن جميع الحواف الجانبية للشكل متساوية مع بعضها البعض. أما الوجوه الجانبية فهي في الحالة العامة لا تتساوى مع بعضها البعض. مساواتهم ممكنة إذا ، بالإضافة إلى حقيقة أن المنشور مستقيم ، سيكون أيضًا صحيحًا.
يوضح الشكل أدناه شكلًا مستقيمًا بقاعدة خماسية. يُلاحظ أن كل جوانبها الجانبية عبارة عن مستطيلات.
أقطار المنشور ومعلماتها الخطية
الخصائص الخطية الرئيسية لأي منشور هي ارتفاعه h وأطوال جوانب قاعدته ai، حيث i=1 ، … ، n. إذا كانت القاعدة عبارة عن مضلع منتظم ، فيكفي معرفة طول أحد الجوانب لوصف خصائصه. إن معرفة المعلمات الخطية المحددة يسمح لنا بشكل لا لبس فيهحدد خصائص الشكل مثل حجمه أو سطحه.
أقطار المنشور المستقيم هي مقاطع تربط أي رأسين غير متجاورين. يمكن أن تكون هذه الأقطار من ثلاثة أنواع:
- الكذب في الطائرات الأساسية ؛
- الموجود في مستويات المستطيلات الجانبية ؛
- أرقام تنتمي إلى المجلد.
يجب تحديد أطوال تلك الأقطار المتعلقة بالقاعدة اعتمادًا على نوع n-gon.
يتم حساب أقطار المستطيلات الجانبية باستخدام الصيغة التالية:
d1i=√ (ai2+ h2).
لتحديد حجم الأقطار ، تحتاج إلى معرفة قيمة طول قطر القاعدة المقابل والارتفاع. إذا تم الإشارة إلى بعض قطري القاعدة بالحرف d0i، فسيتم حساب حجم القطر d2iعلى النحو التالي:
د2i=√ (د0i2+ h2).
على سبيل المثال ، في حالة المنشور الرباعي الزوايا العادي ، سيكون طول القطر الحجمي:
د2=√ (2 × a2+ h2).
لاحظ أن المنشور المثلثي الأيمن له نوع واحد فقط من ثلاثة أنواع محددة من الأقطار: القطر الجانبي.
سطح فئة الأشكال المدروسة
مساحة السطح هي مجموع مساحات كل وجوه الشكل. لتصور كل الوجوه ، يجب عليك إجراء مسح للمنشور. كمثال ، يظهر أدناه مثل هذا المسح لشكل خماسي.
نرى أن عدد الأشكال المستوية هو n + 2 ، و n عبارة عن مستطيلات. لحساب مساحة عملية المسح بالكامل ، أضف مناطق قاعدتين متطابقتين ومساحات كل المستطيلات. ثم ستبدو الصيغة المقابلة كما يلي:
S=2 × So+ h × ∑i=1n(أi).
توضح هذه المساواة أن مساحة السطح الجانبي لنوع المنشور المدروس تساوي ناتج ارتفاع الشكل ومحيط قاعدته.
يمكن حساب المساحة الأساسية لـ Soمن خلال تطبيق الصيغة الهندسية المناسبة. على سبيل المثال ، إذا كانت قاعدة المنشور الأيمن مثلثًا قائمًا ، فسنحصل على:
So=a1× a2/ 2.
حيث1و2هي أرجل المثلث.
إذا كانت القاعدة عبارة عن n-gon بزوايا وجوانب متساوية ، فإن الصيغة التالية ستكون عادلة:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
حجم الصيغة
تحديد حجم المنشور من أي نوع ليس بالمهمة الصعبة إذا كانت منطقة قاعدته Soوالارتفاع h معروفان. بضرب هذه القيم معًا ، نحصل على الحجم الخامس من الشكل ، وهو:
V=So× h.
نظرًا لأن المعلمة h للمنشور المستقيم تساوي طول الحافة الجانبية ، فإن المشكلة الكاملة لحساب الحجم تنخفض إلى حساب المنطقة So. فوق نحنلقد قلنا بالفعل بضع كلمات وأعطيت صيغتين لتحديد So. نلاحظ هنا فقط أنه في حالة وجود قاعدة ذات شكل تعسفي ، يجب تقسيمها إلى مقاطع بسيطة (مثلثات ، مستطيلات) ، وحساب مساحة كل منها ، ثم إضافة جميع المناطق للحصول على Sس.
