في المدرسة الثانوية ، بعد دراسة خصائص الأشكال على المستوى ، ينتقلون إلى النظر في الكائنات الهندسية المكانية مثل المنشورات ، والأشكال الكروية ، والأهرامات ، والأسطوانات ، والأقماع. في هذه المقالة ، سوف نقدم الوصف الأكثر اكتمالا للمنشور الثلاثي المستقيم.
ما هو المنشور الثلاثي؟
لنبدأ المقال بتعريف الشكل ، والذي سيتم مناقشته بمزيد من التفصيل. المنشور من وجهة نظر الهندسة هو شكل في الفضاء يتكون من اثنين من n-gons متطابقين يقعان في مستويات متوازية ، ترتبط زواياهما نفسها بقطاعات مستقيمة. تسمى هذه الأجزاء الأضلاع الجانبية. جنبا إلى جنب مع جوانب القاعدة ، فإنها تشكل سطح جانبي ، والذي يتم تمثيله بشكل عام من خلال متوازي الأضلاع.
اثنان n-gons هما أساس الشكل. إذا كانت الحواف الجانبية متعامدة معهم ، فإنهم يتحدثون عن منشور مستقيم. وفقًا لذلك ، إذا كان عدد الأضلاع n للمضلع عند القواعد هو ثلاثة ، فإن هذا الشكل يسمى المنشور الثلاثي.
يظهر المنشور المستقيم المثلث أعلاه في الشكل. يُطلق على هذا الرقم أيضًا اسم منتظم ، لأن قواعده مثلثات متساوية الأضلاع. طول الحافة الجانبية للشكل المشار إليه بالحرف h في الشكل يسمى ارتفاعه.
يوضح الشكل أن المنشور ذو القاعدة المثلثة يتكون من خمسة أوجه ، اثنان منها مثلثات متساوية الأضلاع وثلاثة مستطيلات متطابقة. بالإضافة إلى الوجوه ، يحتوي المنشور على ستة رؤوس عند القاعدة وتسعة حواف. ترتبط أعداد العناصر المدروسة ببعضها البعض بواسطة نظرية أويلر:
عدد الأضلاع=عدد الرؤوس + عدد الأضلاع - 2.
مساحة المنشور الثلاثي الأيمن
اكتشفنا أعلاه أن الشكل المعني يتكون من خمسة وجوه من نوعين (مثلثان ، ثلاثة مستطيلات). كل هذه الوجوه تشكل السطح الكامل للمنشور. مساحتها الإجمالية هي مساحة الشكل. يوجد أدناه منشور مثلثي يتكشف ، والذي يمكن الحصول عليه أولاً بقطع قاعدتين من الشكل ، ثم القطع على طول حافة واحدة وفتح السطح الجانبي.
دعونا نعطي الصيغ لتحديد مساحة سطح عملية المسح هذه. لنبدأ بقواعد منشور مثلث قائم الزاوية. نظرًا لأنها تمثل مثلثات ، يمكن العثور على المنطقة S3لكل منها على النحو التالي:
S3=1/2aha.
هنا هو جانب المثلث ، haهو الارتفاع المنخفض من رأس المثلث إلى هذا الجانب.
إذا كان المثلث متساوي الأضلاع (عادي) ، فإن صيغة S3تعتمد على معامل واحد فقط أ. يبدو كالتالي:
S3=√3 / 4a2.
يمكن الحصول على هذا التعبير من خلال النظر في المثلث الأيمن المكون من المقاطع a ، a / 2 ، ha.
مساحة القواعد Soللرقم العادي هي ضعف قيمة S3:
So=2S3=√3 / 2a2.
أما بالنسبة لمساحة السطح الجانبي Sb، فليس من الصعب حسابها. للقيام بذلك ، يكفي الضرب بثلاثة مساحة مستطيل واحد يتكون من الجانبين أ وح. الصيغة المقابلة هي:
Sb=3ah.
هكذا ، مساحة المنشور العادي بقاعدة مثلثة يمكن إيجادها بالصيغة التالية:
S=So+ Sb=√3 / 2a2+ 3أح
إذا كان المنشور مستقيمًا ولكنه غير منتظم ، ثم لحساب مساحته ، يجب أن تضيف بشكل منفصل مناطق المستطيلات التي لا تتساوى مع بعضها البعض.
تحديد حجم الشكل
يُفهم حجم المنشور على أنه المساحة المحدودة بجوانبه (الوجوه). حساب حجم المنشور المثلث الأيمن أسهل بكثير من حساب مساحة سطحه. للقيام بذلك ، يكفي معرفة مساحة القاعدة وارتفاع الشكل. نظرًا لأن ارتفاع h للشكل المستقيم هو طول الحافة الجانبية ، وكيفية حساب مساحة القاعدة ، فقد قدمنا في السابقنقطة ، ثم يبقى مضاعفة هاتين القيمتين ببعضهما البعض من أجل الحصول على الحجم المطلوب. الصيغة الخاصة بها تصبح:
V=S3 h.
لاحظ أن ناتج مساحة قاعدة واحدة والارتفاع سيعطيان الحجم ليس فقط المنشور المستقيم ، ولكن أيضًا الشكل المائل وحتى الأسطوانة.
حل المشكلة
المنشورات الزجاجية المثلثة تستخدم في البصريات لدراسة طيف الإشعاع الكهرومغناطيسي الناتج عن ظاهرة التشتت. من المعروف أن المنشور الزجاجي العادي له طول ضلع قاعدته 10 سم وطول حرفه 15 سم ما مساحة وجهه الزجاجي وما هو الحجم الذي يحتوي عليه؟
لتحديد المنطقة ، سنستخدم الصيغة المكتوبة في المقالة. لدينا:
S=√3 / 2a2+ 3ah=√3 / 2102+ 31015=536.6 سم2.
لتحديد الحجم الخامس ، نستخدم أيضًا الصيغة أعلاه:
V=S3 h=√3 / 4a2 h=√3 / 4102 15=649.5 سم3.
بالرغم من حقيقة أن طول حواف المنشور 10 سم و 15 سم إلا أن حجم الشكل هو 0.65 لتر فقط (مكعب بضلع 10 سم حجمه 1 لتر).
