عند دراسة خصائص الأشكال في الفضاء ثلاثي الأبعاد في إطار القياس الفراغي ، غالبًا ما يتعين على المرء حل المشكلات لتحديد الحجم ومساحة السطح. في هذه المقالة سوف نوضح كيفية حساب الحجم ومساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع باستخدام الصيغ المعروفة.
هرم في الهندسة
في الهندسة ، الهرم العادي هو شكل في الفضاء ، مبني على بعض المسطحات n-gon. كل رءوسه متصلة بنقطة واحدة تقع خارج مستوى المضلع. على سبيل المثال هذه صورة تظهر هرم خماسي.
يتكون هذا الشكل من الوجوه والرؤوس والحواف. الوجه الخماسي يسمى القاعدة. الوجوه المثلثة المتبقية تشكل السطح الجانبي. نقطة التقاطع لجميع المثلثات هي الرأس الرئيسي للهرم. إذا تم خفض عمودي منه إلى القاعدة ، فمن الممكن أن يكون هناك خياران لموضع نقطة التقاطع:
- في المركز الهندسي ، ثم يسمى الهرم بخط مستقيم ؛
- ليس فيالمركز الهندسي ، ثم يكون الشكل مائلاً
علاوة على ذلك ، سننظر فقط في الأشكال المستقيمة ذات القاعدة n-gonal العادية.
ما هذا الرقم - هرم مبتور؟
لتحديد حجم الهرم المقطوع ، من الضروري أن نفهم بوضوح الشكل المعني بالتحديد. دعونا نوضح هذه المسألة.
لنفترض أننا أخذنا مستوى قطع موازيًا لقاعدة هرم عادي ونقطع معه جزءًا من السطح الجانبي. إذا تمت هذه العملية بالهرم الخماسي الموضح أعلاه ، فستحصل على مثل هذا الشكل كما في الشكل أدناه.
من الصورة يمكن ملاحظة أن هذا الهرم يحتوي بالفعل على قاعدتين ، والعليا يشبه القاعدة السفلية ، لكنه أصغر في الحجم. لم يعد يتم تمثيل السطح الجانبي بالمثلثات ، ولكن بواسطة شبه المنحرف. هم متساوي الساقين ، وعددهم يتوافق مع عدد جوانب القاعدة. الشكل المقطوع ليس له رأس رئيسي كالهرم المنتظم وارتفاعه يتحدد بالمسافة بين القواعد المتوازية.
في الحالة العامة ، إذا كان الشكل قيد النظر مكونًا من قواعد n-gonal ، فإنه يحتوي على n + 2 وجوه أو جوانب ، 2n قمة و 3n حواف. أي أن الهرم المقطوع هو متعدد السطوح
صيغة لحجم الهرم المقطوع
تذكر أن حجم الهرم العادي هو 1/3 من ناتج ارتفاعه ومساحة قاعدته. هذه الصيغة غير مناسبة للهرم المقطوع ، لأنها تتكون من قاعدتين. وحجمهستكون دائمًا أقل من نفس القيمة للرقم العادي الذي يتم اشتقاقه منه.
بدون الخوض في التفاصيل الرياضية للحصول على التعبير ، نقدم الصيغة النهائية لحجم الهرم المقطوع. هو مكتوب على النحو التالي:
V=1/3ح(S1+ S2+ √ (S1 S2))
هنا S1و S2هي مناطق القاعدة السفلية والعليا ، على التوالي ، h هي ارتفاع الشكل. التعبير المكتوب صالح ليس فقط لهرم مبتور منتظم مستقيم ، ولكن أيضًا لأي شكل من هذه الفئة. علاوة على ذلك ، بغض النظر عن نوع المضلعات الأساسية. الشرط الوحيد الذي يحد من استخدام تعبير V هو الحاجة إلى أن تكون قواعد الهرم موازية لبعضها البعض.
يمكن استخلاص العديد من الاستنتاجات المهمة من خلال دراسة خصائص هذه الصيغة. لذا ، إذا كانت مساحة القاعدة العليا تساوي صفرًا ، فسنصل إلى صيغة V للهرم العادي. إذا كانت مساحات القواعد متساوية مع بعضها البعض ، نحصل على صيغة حجم المنشور.
كيفية تحديد مساحة السطح الجانبي
معرفة خصائص الهرم المقطوع لا يتطلب فقط القدرة على حساب حجمه ، ولكن أيضًا معرفة كيفية تحديد مساحة السطح الجانبي.
الهرم المقطوع يتكون من نوعين من الوجوه:
- شبه منحرف متساوي الساقين ؛
- قواعد متعددة الأضلاع.
إذا كان هناك مضلع منتظم في القواعد ، فإن حساب مساحته لا يمثل حجمًا كبيرًاالصعوبات. للقيام بذلك ، ما عليك سوى معرفة طول الضلع a وعددهم n.
في حالة السطح الجانبي ، يتضمن حساب مساحته تحديد هذه القيمة لكل من شبه المنحرفات n. إذا كانت n-gon صحيحة ، تصبح معادلة مساحة السطح الجانبية:
Sb=hb n(a1+ a2) / 2
هنا hbهو ارتفاع شبه المنحرف ، والذي يسمى أبوتيم الشكل. الكميات a1و2هي أطوال جوانب قواعد n-gonal العادية.
لكل هرم مبتور منتظم n-gonal ، يمكن تعريف apotema hbبشكل فريد من خلال المعلمات a1و2 و ارتفاع الشكل h
مهمة حساب حجم ومساحة الشكل
إعطاء هرم مثلث منتظم مقطوع. من المعروف أن ارتفاعه h 10 سم ، وطول ضلعي القاعدتين 5 سم و 3 سم ما حجم الهرم المقطوع ومساحة سطحه الجانبي؟
أولاً ، دعونا نحسب القيمة V. للقيام بذلك ، أوجد مساحة المثلثات متساوية الأضلاع الموجودة في قواعد الشكل. لدينا:
S1=√3 / 4a12=√3 / 452=10.825 سم2؛
S2=√3 / 4a22=√3 / 432=3.897 سم2
استبدل البيانات في صيغة V ، نحصل على الحجم المطلوب:
V=1/310(10، 825 + 3، 897 + √ (10، 8253، 897)) ≈ 70.72 سم3
لتحديد السطح الجانبي ، يجب أن تعرفطول apothem hb. بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية المقابل داخل الهرم ، يمكننا كتابة المساواة له:
hb=√ ((√3 / 6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10.017 سم
يتم استبدال قيمة العروة وجوانب القواعد المثلثية في التعبير عن Sbونحصل على الإجابة:
Sb=hb n(a1+ a2) / 2=10.0173(5 + 3) / 2 ≈ 120.2 سم2
هكذا أجبنا على جميع أسئلة المشكلة: V ≈ 70.72 cm3 ، Sb≈ 120.2 cm2.
