تم العثور على مشتق جيب التمام عن طريق القياس مع مشتق الجيب ، وأساس البرهان هو تعريف حدود الوظيفة. يمكنك استخدام طريقة أخرى ، باستخدام صيغ الاختزال المثلثية لجيب وجيب الزوايا. اكتب دالة بدلالة أخرى - جيب التمام بدلالة الجيب ، واشتق الجيب باستخدام وسيطة معقدة.
ضع في اعتبارك المثال الأول لاشتقاق الصيغة (Cos (x)) '
أعط زيادة صغيرة بشكل مهمل Δx إلى الوسيطة x للدالة y=Cos (x). باستخدام القيمة الجديدة للوسيطة х + Δх ، نحصل على قيمة جديدة للدالة كوس (х + Δх). ثم زيادة الدالة Δy ستكون مساوية لـ Cos (+ x) -Cos (x).
ستكون نسبة زيادة الوظيفة إلى Δх: (Cos (х + Δx) -Cos (x)) / Δх. لنقم بإجراء تحويلات متطابقة في بسط الكسر الناتج. تذكر معادلة الفرق في جيب التمام للزوايا ، ستكون النتيجة حاصل الضرب -2Sin (Δx / 2) مضروبًا في Sin (x + x / 2). نجد نهاية خارج القسمة لهذا المنتج عند Δx حيث تقترب Δx من الصفر. ومن المعروف أن الأول(يطلق عليه رائع) الحد lim (Sin (x / 2) / (Δx / 2)) يساوي 1 ، والحد -Sin (x + Δx / 2) يساوي -Sin (x) مثل Δx يميل إلى الصفر اكتب النتيجة: مشتق (Cos (x)) 'يساوي - Sin (x).
بعض الناس يفضلون الطريقة الثانية لاشتقاق نفس الصيغة
معروف من مسار علم المثلثات: Cos (x) يساوي Sin (0 ، 5 ∏-x) ، وبالمثل ، فإن Sin (x) يساوي Cos (0 ، 5 ∏-x). ثم نفرق دالة معقدة - جيب الزاوية الإضافية (بدلاً من جيب التمام x).
نحصل على حاصل الضرب Cos (0، 5 ∏-x) (0، 5 ∏-x) '، لأن مشتق الجيب x يساوي جيب التمام X. ننتقل إلى الصيغة الثانية Sin (x)=Cos (0.5 ∏-x) لاستبدال جيب التمام بجيب ، مع مراعاة أن (0.5 ∏-x) '=-1. الآن نحصل على -Sin (x)لذلك ، تم العثور على مشتق جيب التمام ، y '=-Sin (x) للدالة y=Cos (x).
مشتق جيب التمام التربيعي
مثال شائع الاستخدام حيث يتم استخدام مشتق جيب التمام. الدالة y=Cos2(x) صعبة. نجد أولًا تفاضل دالة الأس مع الأس 2 ، سيكون 2 · Cos (x) ، ثم نضربه في المشتق (Cos (x)) '، والذي يساوي -Sin (x). نحصل على y '=-2 Cos (x) Sin (x). عندما نطبق الصيغة Sin (2x) ، جيب الزاوية المزدوجة ، نحصل على الصيغة النهائية المبسطةanswer y '=-Sin (2x)
وظائف الزائدية
يتم استخدامها في دراسة العديد من التخصصات التقنية: في الرياضيات ، على سبيل المثال ، تسهل حساب التكاملات ، وحل المعادلات التفاضلية. يتم التعبير عنها من حيث الدوال المثلثية مع الوهميالوسيطة ، إذن جيب التمام الزائدي ch (x)=Cos (i x) ، حيث i هي الوحدة التخيلية ، الجيب الزائدي sh (x)=Sin (i x).
يتم حساب مشتق جيب التمام الزائدي بكل بساطة
ضع في اعتبارك الوظيفة y=(ex+ e-x) / 2 ، هذا وهو جيب التمام الزائدي ch (x). نستخدم القاعدة لإيجاد مشتقة مجموع تعبيرين ، قاعدة إخراج العامل الثابت (Const) من علامة المشتق. المصطلح الثاني 0.5 e-xهو دالة معقدة (مشتقها هو -0.5 e-x) ، 0.5 eх- الفصل الأول. (ch (x)) '=((ex+ e-x) / 2)' يمكن كتابتها بطريقة أخرى: (0، 5 ex+ 0، 5 e-x) '=0، 5 ex-0، 5 e-x، لأن المشتق (e - x ) 'يساوي -1 مرات e-x. النتيجة فرق ، وهذا هو الجيب الزائدي sh (x).الإخراج: (ch (x)) '=sh (x).
دعونا ننظر إلى مثال عن كيفية احسب مشتق الدالة y=ch (x
3+ 1)وفقًا لقاعدة اشتقاق جيب التمام الزائدي باستخدام الوسيطة المركبة y '=sh (x
3+ 1) (x3+ 1) '، حيث (x3+ 1)'=3 x2+ 0.الإجابة: مشتق هذه الوظيفة هو 3 x
2sh (x3+ 1)
المشتقات الجدولية للدوال المدروسة y=ch (x) و y=Cos (x)
عند حل الأمثلة ، لا داعي للتمييز بينها في كل مرة حسب المخطط المقترح ، يكفي استخدام الاستدلال
مثال. اشتق الدالة y=Cos (x) + Cos2(- x) -Ch (5 x).سهل الحساب (استخدام البيانات الجدولية) ، y '=-Sin (x) + الخطيئة (2 س) -5 ش (5 س).
