طريقة غاوس للدمى: أمثلة على الحلول

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

في هذه المقالة ، تعتبر الطريقة كطريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية (SLAE). الطريقة تحليلية ، أي أنها تسمح لك بكتابة خوارزمية حل عام ، ثم استبدال القيم من أمثلة محددة هناك. على عكس طريقة المصفوفة أو معادلات كرامر ، عند حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس ، يمكنك أيضًا العمل مع تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. أو لا تملكه على الإطلاق.

ماذا يعني الحل بطريقة غاوس؟

أولاً ، نحتاج إلى كتابة نظام المعادلات كمصفوفة. تبدو هكذا. النظام مأخوذ:

تتم كتابة المعاملات في شكل جدول ، وعلى اليمين في عمود منفصل - أعضاء أحرار. يتم فصل العمود الذي يحتوي على أعضاء أحرار للراحة بواسطة شريط عمودي. تسمى المصفوفة التي تتضمن هذا العمود الموسعة.

بعد ذلك ، يجب تقليل المصفوفة الرئيسية ذات المعاملات إلى الشكل المثلث العلوي. هذه هي النقطة الرئيسية لحل النظام بطريقة غاوس. ببساطة ، بعد بعض المعالجات ، يجب أن تبدو المصفوفة على هذا النحو ، بحيث لا يوجد سوى أصفار في الجزء السفلي الأيسر:

بعد ذلك ، إذا كتبت المصفوفة الجديدة مرة أخرى كنظام معادلات ، ستلاحظ أن السطر الأخير يحتوي بالفعل على قيمة أحد الجذور ، والتي يتم استبدالها بعد ذلك في المعادلة أعلاه ، يتم العثور على جذر آخر ، وهكذا دواليك.

هذا وصف للحل الغاوسي بعبارات عامة. وماذا يحدث إذا لم يكن لدى النظام حل فجأة؟ أم أن هناك عددًا لا حصر له منهم؟ للإجابة على هذه الأسئلة والعديد من الأسئلة الأخرى ، من الضروري النظر بشكل منفصل في جميع العناصر المستخدمة في الحل بواسطة طريقة Gauss.

المصفوفات ، خصائصها

لا يوجد معنى خفي في المصفوفة. إنها مجرد طريقة ملائمة لتسجيل البيانات لعمليات لاحقة. حتى تلاميذ المدارس يجب ألا يخافوا منهم

المصفوفة دائمًا مستطيلة لأنها أكثر ملاءمة. حتى في طريقة Gauss ، حيث يتلخص كل شيء في بناء مصفوفة مثلثة ، يظهر مستطيل في المدخل ، مع وجود أصفار فقط في المكان الذي لا توجد فيه أرقام. يمكن حذف الأصفار لكنها ضمنية.

حجم المصفوفة. "عرضه" هو عدد الصفوف (م) ، "طوله" هو عدد الأعمدة (ن). ثم حجم المصفوفة A (الحروف اللاتينية الكبيرة تستخدم عادة لتسميتها) سيتم الإشارة إليها على أنها A_{m × n}. إذا كانت m=n ، فهذه المصفوفة مربعة وم=ن - ترتيبها. وفقًا لذلك ، يمكن الإشارة إلى أي عنصر من عناصر المصفوفة A برقم صفها وعمودها: a_xy؛ س - رقم الصف ، تغيير [1 ، م] ، ص - رقم العمود ، تغيير [1 ، ن].

في طريقة Gaussian ، المصفوفات ليست هي النقطة الرئيسية للحل. من حيث المبدأ ، يمكن إجراء جميع العمليات مباشرة مع المعادلات نفسها ، ومع ذلك ، سيكون الترميز أكثر تعقيدًا ، وسيكون من الأسهل بكثير الخلط فيه.

المؤهل

المصفوفة لها أيضًا محدد. هذه ميزة مهمة جدا. معرفة معناه الآن لا يستحق كل هذا العناء ، يمكنك ببساطة إظهار كيفية حسابه ، ثم تحديد خصائص المصفوفة التي تحددها. أسهل طريقة لإيجاد المحدد هي من خلال الأقطار. يتم رسم الأقطار الخيالية في المصفوفة ؛ تتضاعف العناصر الموجودة على كل منها ، ثم تُضاف النواتج الناتجة: الأقطار ذات المنحدر إلى اليمين - بعلامة "زائد" ، ومنحدر إلى اليسار - بعلامة "ناقص".

من المهم للغاية ملاحظة أنه لا يمكن حساب المحدد إلا لمصفوفة مربعة. بالنسبة إلى المصفوفة المستطيلة ، يمكنك القيام بما يلي: اختر أصغر عدد من الصفوف وعدد الأعمدة (لنكن k) ، ثم ضع علامة عشوائية على k أعمدة و k صفوف في المصفوفة. ستشكل العناصر الموجودة عند تقاطع الأعمدة والصفوف المحددة مصفوفة مربعة جديدة. إذا كان محدد مثل هذه المصفوفة رقمًا بخلاف الصفر ، فسيتم تسميتها بالصغرى الأساسية للمصفوفة المستطيلة الأصلية.

من قبلكيفية البدء في حل نظام المعادلات بطريقة غاوس ، لا يضر حساب المحدد. إذا اتضح أنها صفر ، فيمكننا أن نقول على الفور أن المصفوفة إما بها عدد لانهائي من الحلول ، أو لا يوجد حل واحد على الإطلاق. في مثل هذه الحالة المحزنة ، عليك أن تذهب أبعد من ذلك وتكتشف رتبة المصفوفة.

تصنيف الأنظمة

هناك شيء مثل رتبة المصفوفة. هذا هو الحد الأقصى لترتيب المحدد غير الصفري (تذكر الأساس الثانوي ، يمكننا القول أن رتبة المصفوفة هي ترتيب الأساس الثانوي).

الطريقة التي تسير بها الأمور مع الترتيب ، يمكن تقسيم البطء إلى:

• مشترك. بالنسبة للأنظمة المشتركة ، تتطابق رتبة المصفوفة الرئيسية (التي تتكون فقط من المعاملات) مع مرتبة المصفوفة الموسعة (مع عمود من المصطلحات المجانية). مثل هذه الأنظمة لها حل ، ولكن ليس بالضرورة حل واحد ، لذلك ، يتم تقسيم الأنظمة المشتركة بشكل إضافي إلى:
• - محدد - وجود حل فريد. في أنظمة معينة ، مرتبة المصفوفة وعدد المجهول متساويان (أو عدد الأعمدة ، وهو نفس الشيء) ؛
• - غير محدد - مع عدد لا حصر له من الحلول. رتبة المصفوفات في مثل هذه الأنظمة أقل من عدد المجهول
• غير متوافق. بالنسبة لمثل هذه الأنظمة ، لا تتطابق رتب المصفوفات الرئيسية والمصفوفة الموسعة. الأنظمة غير المتوافقة ليس لها حل.

طريقة Gauss جيدة لأنها تسمح لك بالحصول على دليل لا لبس فيه على عدم تناسق النظام (بدون حساب محددات المصفوفات الكبيرة) أو حل عام لنظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

التحولات الأولية

من قبلكيفية المتابعة مباشرة إلى حل النظام ، يمكنك جعله أقل تعقيدًا وأكثر ملاءمة للحسابات. يتم تحقيق ذلك من خلال التحولات الأولية - بحيث لا يغير تنفيذها الإجابة النهائية بأي شكل من الأشكال. تجدر الإشارة إلى أن بعض التحويلات الأولية المذكورة أعلاه صالحة فقط للمصفوفات ، والتي كان مصدرها على وجه التحديد SLAE. وهذه قائمة بهذه التحولات:

1. تغيير السلاسل. من الواضح أننا إذا قمنا بتغيير ترتيب المعادلات في سجل النظام ، فلن يؤثر ذلك على الحل بأي شكل من الأشكال. لذلك ، من الممكن أيضًا تبديل الصفوف في مصفوفة هذا النظام ، دون أن ننسى بالطبع عمود الأعضاء الأحرار.
2. ضرب كل عناصر السلسلة ببعض العوامل. مفيد جدا! باستخدامه ، يمكنك تقليل الأعداد الكبيرة في المصفوفة أو إزالة الأصفار. مجموعة الحلول ، كالعادة ، لن تتغير ، وستصبح أكثر ملاءمة لإجراء المزيد من العمليات. الشيء الرئيسي هو أن المعامل لا ينبغي أن يساوي الصفر.
3. حذف الأسطر ذات المعاملات المتناسبة. هذا يتبع جزئيا من الفقرة السابقة. إذا كان لصفين أو أكثر في المصفوفة معاملات متناسبة ، فعند ضرب / قسمة أحد الصفوف على معامل التناسب ، يتم الحصول على صفين (أو أكثر) متطابقين تمامًا ، ويمكنك إزالة الصفوف الزائدة ، وترك فقط واحد
4. حذف السطر الفارغ. إذا تم الحصول على سلسلة أثناء عمليات التحويل في مكان ما تكون فيه جميع العناصر ، بما في ذلك العضو الحر ، صفرًا ، فيمكن تسمية هذه السلسلة بالصفر ويتم التخلص منها من المصفوفة.
5. إضافة عناصر صف واحد إلى عناصر أخرى (وفقًا لـالأعمدة المقابلة) مضروبة في بعض المعامل. التحول الأكثر غموضًا والأكثر أهمية على الإطلاق. يجدر الخوض فيها بمزيد من التفصيل

إضافة سلسلة مضروبة في عامل

لسهولة الفهم ، يجدر تفكيك هذه العملية خطوة بخطوة. يتم أخذ صفين من المصفوفة:

a₁₁a₁₂ … a_1n| b1

a₂₁a₂₂ … a_2n| ب₂

لنفترض أنك بحاجة إلى إضافة أول واحد مضروبًا في المعامل "-2" إلى الثاني.

a ' ₂₁=a₂₁+ -2 × a₁₁

a ' ₂₂=a₂₂+ -2 × a₁₂

a ' _2n=a_2n+ -2 × a_1n

ثم يتم استبدال الصف الثاني في المصفوفة بواحد جديد ، بينما يبقى الصف الأول بدون تغيير.

a₁₁a₁₂ … a_1n| b1

a ' ₂₁a'₂₂ … a ' _2n| ب₂

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن اختيار عامل الضرب بطريقة تجعل أحد عناصر السلسلة الجديدة يساوي صفرًا نتيجة إضافة سلسلتين. لذلك ، من الممكن الحصول على معادلة في النظام ، حيث ستكون هناك معادلة غير معروفة. وإذا حصلت على معادلتين من هذا القبيل ، فيمكن إجراء العملية مرة أخرى والحصول على معادلة تحتوي بالفعل على مجهولين أقل. وإذا كنا ننتقل في كل مرة إلى صفر معامل واحد لجميع الصفوف الأقل من المعامل الأصلي ، فيمكننا ، مثل الخطوات ، النزول إلى أسفل المصفوفة والحصول على معادلة ذات واحد غير معروف. هذا يسميحل النظام باستخدام طريقة جاوس

بشكل عام

ليكن هناك نظام. لها معادلات م ون جذور غير معروفة. يمكنك كتابتها على النحو التالي:

يتم تجميع المصفوفة الرئيسية من معاملات النظام. يضاف عمود من الأعضاء الأحرار إلى المصفوفة الموسعة ويفصل بينهم شريط للتسهيل.

التالي:

• يتم ضرب الصف الأول من المصفوفة بالمعامل k=(-a₂₁/ a₁₁) ؛
• يتم إضافة الصف الأول المعدل والصف الثاني من المصفوفة ؛
• بدلاً من الصف الثاني ، يتم إدراج نتيجة الإضافة من الفقرة السابقة في المصفوفة ؛
• الآن المعامل الأول في السطر الثاني الجديد هو₁₁× (-a₂₁/ a_{11) + a}21_=-a21_{+ a}21_=0.

الآن يتم إجراء نفس سلسلة التحويلات ، فقط الخطان الأول والثالث متضمنان. وفقًا لذلك ، في كل خطوة من الخوارزمية ، يتم استبدال العنصر a₂₁ب₃₁. ثم يتكرر كل شيء لـ₄₁،… a_m1. والنتيجة هي مصفوفة حيث العنصر الأول في الصفوف [2، م] يساوي صفرًا. أنت الآن بحاجة إلى نسيان السطر الأول وتنفيذ نفس الخوارزمية بدءًا من السطر الثاني:

معامل

ك=(-a₃₂/ a₂₂) ؛

يضاف السطر الثاني المعدل إلى السطر "الحالي" ؛

يتم استبدال نتيجة الإضافة في السطور الثالث والرابع وهكذا ، بينما يظل الأول والثاني بدون تغيير ؛

في الصفوف [3، m] من المصفوفة ، أول عنصرين يساوي الصفر بالفعل.

يجب تكرار الخوارزمية حتى يظهر المعامل k=(-a_{m، m-1}/ a_mmيظهر). هذا يعني أن الخوارزمية تم تشغيلها مؤخرًا للمعادلة السفلية فقط. تبدو المصفوفة الآن كمثلث ، أو لها شكل متدرج. يحتوي الخط السفلي على المعادلة a_mn× x =b_m. المعامل والمصطلح الحر معروفان ، ويتم التعبير عن الجذر من خلالهما: x =b_m/ a_mn. يتم استبدال الجذر الناتج في الصف العلوي لإيجاد x_n-1=(b_m-1- a_{m-1، n × (b}m_{/ a}mn _{)) ÷ a}m-1، n-1_{. وهكذا عن طريق القياس: في كل سطر تالٍ يوجد جذر جديد ، وبعد الوصول إلى "قمة" النظام ، يمكن للمرء أن يجد مجموعة من الحلول [x}1_{، … x ]. سيكون الوحيد.}

عندما لا توجد حلول

إذا كانت جميع العناصر في أحد صفوف المصفوفة ، باستثناء المصطلح الحر ، تساوي صفرًا ، فإن المعادلة المقابلة لهذا الصف تبدو مثل 0=ب. ليس لها حل. وبما أن مثل هذه المعادلة مدرجة في النظام ، فإن مجموعة حلول النظام بأكمله فارغة ، أي أنها متدهورة.

عندما يكون هناك عدد لا حصر له من الحلول

قد يتضح أنه في المصفوفة المثلثية المختصرة لا توجد صفوف بها عنصر واحد - معامل المعادلة ، والآخر - عضو حر. لا يوجد سوى السلاسل التي ، عند إعادة كتابتها ، ستبدو كمعادلة ذات متغيرين أو أكثر. هذا يعني أن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. في هذه الحالة ، يمكن إعطاء الإجابة في شكل حل عام. كيف افعلها؟

الكلالمتغيرات في المصفوفة مقسمة إلى أساسي ومجاني. الأساسية - هذه هي تلك التي تقف "على حافة" الصفوف في المصفوفة المتدرجة. الباقي أحرار. في الحل العام ، تتم كتابة المتغيرات الأساسية من حيث المتغيرات المجانية.

للراحة ، تتم إعادة كتابة المصفوفة أولاً في نظام المعادلات. ثم في الأخير ، حيث بقي متغير أساسي واحد فقط ، يبقى في جانب ، وكل شيء آخر ينتقل إلى الآخر. يتم ذلك لكل معادلة بمتغير أساسي واحد. ثم ، في بقية المعادلات ، حيثما أمكن ، بدلاً من المتغير الأساسي ، يتم استبدال التعبير الذي تم الحصول عليه من أجله. إذا كانت النتيجة مرة أخرى تعبيرًا يحتوي على متغير أساسي واحد فقط ، فسيتم التعبير عنه من هناك مرة أخرى ، وهكذا ، حتى تتم كتابة كل متغير أساسي كتعبير يحتوي على متغيرات حرة. هذا هو الحل العام لـ SLAE.

يمكنك أيضًا العثور على الحل الأساسي للنظام - إعطاء المتغيرات المجانية أي قيم ، ثم حساب قيم المتغيرات الأساسية لهذه الحالة بالذات. هناك عدد لانهائي من الحلول الخاصة.

حل مع أمثلة محددة

هنا نظام المعادلات

للراحة ، من الأفضل عمل مصفوفة على الفور

من المعروف أنه عند الحل بطريقة Gauss ، فإن المعادلة المقابلة للصف الأول ستبقى دون تغيير في نهاية التحويلات. لذلك ، سيكون الأمر أكثر ربحية إذا كان العنصر الأيسر العلوي للمصفوفة هو الأصغر - ثم العناصر الأولىستتحول بقية الصفوف بعد العمليات إلى الصفر. هذا يعني أنه في المصفوفة المترجمة سيكون من المفيد وضع الصف الثاني مكان الصف الأول.

بعد ذلك ، تحتاج إلى تغيير الخطين الثاني والثالث بحيث تصبح العناصر الأولى صفرًا. للقيام بذلك ، أضفهم إلى الأول مضروبًا في المعامل:

السطر الثاني: k=(-a₂₁/ a₁₁)=(-3/1)=-3

a ' ₂₁=a₂₁+ k × a₁₁=3 + (-3)) × 1=0

a ' ₂₂=a₂₂+ k × a₁₂=-1 + (- 3) × 2=-7

a ' ₂₃=a₂₃+ k × a₁₃=1 + (-3)) × 4=-11

b ' ₂=ب₂+ ك × ب₁=12 + (-3) × 12=-24

السطر الثالث: k=(-a₃₁/ a₁₁)=(- 5/1)=-5

a ' ₃₁=a_{31 + ك × أ}11_{=5 + (-5) × 1=0}

a ' ₃₂=a_{32 + ك × أ}12_{=1 + (-5) × 2=-9}

a ' ₃₃=a₃₃+ k × a₁₃=2 + (-5) × 4=-18

ب ' ₃=ب₃+ ك × ب₁=3 + (-5) × 12=-57

الآن ، من أجل عدم الخلط ، تحتاج إلى كتابة مصفوفة ذات نتائج وسيطة للتحولات.

من الواضح أن مثل هذه المصفوفة يمكن جعلها أكثر قابلية للقراءة بمساعدة بعض العمليات. على سبيل المثال ، يمكنك إزالة كل "ناقص" من السطر الثاني بضرب كل عنصر في "-1".

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه في السطر الثالث ، تكون جميع العناصر من مضاعفات الثلاثة. إذا تستطيعقص السلسلة بهذا الرقم ، وضرب كل عنصر في "-1/3" (ناقص - في نفس الوقت لإزالة القيم السالبة).

تبدو أجمل بكثير. علينا الآن ترك السطر الأول بمفرده والعمل مع السطر الثاني والثالث. تتمثل المهمة في إضافة الصف الثاني إلى الصف الثالث ، مضروبًا في هذا العامل بحيث يصبح العنصر a₃₂صفرًا.

ك=(-a₃₂/ a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (إذا كان ذلك أثناء بعض التحولات في الإجابة تبين أنها ليست عددًا صحيحًا ، يوصى بتركها "كما هي" ، في شكل كسر عادي ، وعندها فقط ، عند تلقي الإجابات ، قرر ما إذا كان سيتم التقريب والتحويل إلى شكل آخر من تدوين)

a ' ₃₂=a₃₂+ k × a₂₂=3 + (-3) / 7) × 7=3 + (-3)=0

a ' ₃₃=a₃₃+ k × a₂₃=6 + (-3) / 7) × 11=-9 / 7

ب ' ₃=ب₃+ ك × ب₂=19 + (-3 / 7) × 24=-61 / 7

تمت كتابة المصفوفة مرة أخرى بقيم جديدة.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9 / 7	-61 / 7

كما ترى ، تحتوي المصفوفة الناتجة بالفعل على شكل متدرج. لذلك ، لا يلزم إجراء مزيد من التحولات للنظام بطريقة Gauss. ما يمكن عمله هنا هو إزالة المعامل العام "-1/7" من السطر الثالث.

الآن الجميعلطيف. النقطة صغيرة - اكتب المصفوفة مرة أخرى في شكل نظام معادلات واحسب الجذور

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

الخوارزمية التي سيتم من خلالها العثور على الجذور الآن تسمى الحركة العكسية في طريقة غاوس. تحتوي المعادلة (3) على القيمة z:

ض=61/9

بعد ذلك ، ارجع إلى المعادلة الثانية:

ص=(24-11 × (61/9)) / 7=-65 / 9

وتتيح لك المعادلة الأولى إيجاد x:

x=(12 - 4z - 2y) / 1=12-4 × (61/9) - 2 × (-65/9)=-6/9=-2 / 3

لدينا الحق في استدعاء مثل هذا النظام مشتركًا ، وحتى محددًا ، أي وجود حل فريد. الجواب مكتوب بالصيغة التالية:

x₁=-2/3 ، y=-65/9 ، z=61 / 9.

مثال على نظام غير محدد

تم تحليل متغير حل نظام معين بطريقة Gauss ، والآن من الضروري النظر في الحالة إذا كان النظام غير محدد ، أي أنه يمكن العثور على عدد لا نهائي من الحلول له.

x₁+ x₂+ x₃+ x_{4 + x}5_{=7 (1)}

3x₁+ 2x₂+ x₃+ x₄- 3x₅=-2 (2)

x₂+ 2x₃+ 2x₄+ 6x₅=23 (3)

5x₁+ 4x₂+ 3x₃+ 3x₄- x₅=12 (4)

شكل النظام نفسه ينذر بالخطر بالفعل ، لأن عدد المجهول هو n=5 ، وترتيب مصفوفة النظام أقل بالفعل من هذا الرقم ، لأن عدد الصفوف م=4 ، أي أكبر ترتيب لمُحدد المربع هو 4. إذن ،هناك عدد لا حصر له من الحلول ، ويجب أن نبحث عن شكله العام. تتيح لك طريقة غاوس للمعادلات الخطية القيام بذلك.

أولاً ، كالعادة ، يتم تجميع المصفوفة المدمجة.

السطر الثاني: المعامل k=(-a₂₁/ a₁₁)=-3. في السطر الثالث ، يكون العنصر الأول قبل التحولات ، لذا لا تحتاج إلى لمس أي شيء ، عليك تركه كما هو. السطر الرابع: ك=(-a₄₁/ a₁₁)=-5

بضرب عناصر الصف الأول بكل من معاملاتها بدورها وإضافتها إلى الصفوف المطلوبة ، نحصل على مصفوفة بالشكل التالي:

كما ترى ، الصفوف الثاني والثالث والرابع تتكون من عناصر متناسبة مع بعضها البعض. الثاني والرابع متماثلان بشكل عام ، لذا يمكن إزالة أحدهما على الفور ، والباقي مضروبًا في المعامل "-1" والحصول على السطر رقم 3. ومرة أخرى ، اترك أحد الخطين متطابقين.

النتيجة مثل هذه المصفوفة. لم يتم تدوين النظام بعد ، من الضروري هنا تحديد المتغيرات الأساسية - الوقوف عند المعاملات أ₁₁=1 و₂₂=1 ، وحرة - كل البقية.

لا يوجد سوى متغير أساسي واحد في المعادلة الثانية - x₂. وبالتالي ، يمكن التعبير عنها من هناك ، الكتابة من خلال المتغيرات x₃، x₄، x₅، والتي أحرار.

استبدل التعبير الناتج في المعادلة الأولى.

اتضح المعادلة التيالمتغير الأساسي الوحيد هو x₁. لنفعل الشيء نفسه معها كما هو الحال مع x₂.

يتم التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية ، والتي يوجد منها متغيران ، من حيث ثلاثة متغيرات مجانية ، والآن يمكنك كتابة الإجابة بشكل عام.

يمكنك أيضًا تحديد أحد الحلول المحددة للنظام. في مثل هذه الحالات ، كقاعدة عامة ، يتم اختيار الأصفار كقيم للمتغيرات الحرة. ثم تكون الجواب:

-16 ، 23 ، 0 ، 0 ، 0.

مثال على نظام غير متناسق

حل أنظمة المعادلات غير المتسقة بطريقة غاوس هو الأسرع. تنتهي بمجرد الحصول على معادلة ليس لها حل في إحدى المراحل. أي أن المرحلة مع حساب الجذور ، وهي طويلة جدًا وكئيبة ، تختفي. يتم النظر في النظام التالي:

س + ص - ض=0 (1)

2x - ص - ض=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

كالعادة يتم تجميع المصفوفة:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

واختزالها إلى شكل متدرج:

ك₁=-2k₂=-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

بعد التحويل الأول يحتوي السطر الثالث على معادلة بالصيغة

0=7 ،

لا يوجد حل. لذلك ، النظامغير متناسقة والجواب هو المجموعة الفارغة

مزايا وعيوب الطريقة

إذا اخترت أي طريقة لحل SLAE على الورق بقلم ، فإن الطريقة التي تم أخذها في الاعتبار في هذه المقالة تبدو الأكثر جاذبية. في التحولات الأولية ، يكون الخلط أكثر صعوبة مما يحدث إذا كان عليك البحث يدويًا عن المحدد أو بعض المصفوفة المعكوسة الصعبة. ومع ذلك ، إذا كنت تستخدم برامج للعمل مع بيانات من هذا النوع ، على سبيل المثال ، جداول البيانات ، فقد اتضح أن هذه البرامج تحتوي بالفعل على خوارزميات لحساب المعلمات الرئيسية للمصفوفات - المحددات ، والمصفوفات الثانوية ، والمصفوفات المعكوسة والمحولة ، وما إلى ذلك.. وإذا كنت متأكدًا من أن الآلة ستحسب هذه القيم بنفسها ولن تخطئ ، فمن الأفضل استخدام طريقة المصفوفة أو صيغ كرامر ، لأن تطبيقها يبدأ وينتهي بحساب المحددات والمصفوفات المعكوسة.

التطبيق

بما أن الحل الغاوسي عبارة عن خوارزمية ، والمصفوفة هي في الواقع مصفوفة ثنائية الأبعاد ، فيمكن استخدامها في البرمجة. ولكن نظرًا لأن المقالة تضع نفسها كدليل "للدمى" ، ينبغي القول إن أسهل مكان لوضع الطريقة فيه هو جداول البيانات ، على سبيل المثال ، Excel. مرة أخرى ، سيتم اعتبار أي SLAE تم إدخاله في جدول في شكل مصفوفة بواسطة Excel كمصفوفة ثنائية الأبعاد. وللعمليات معهم ، هناك العديد من الأوامر الجيدة: الإضافة (يمكنك فقط إضافة مصفوفات من نفس الحجم!) ، الضرب برقم ، ضرب المصفوفة (أيضًا باستخدامقيود معينة) ، وإيجاد المصفوفات المعكوسة والمحولة ، والأهم من ذلك ، حساب المحدد. إذا تم استبدال هذه المهمة التي تستغرق وقتًا طويلاً بأمر واحد ، فسيكون من الأسرع بكثير تحديد رتبة المصفوفة ، وبالتالي إثبات توافقها أو عدم تناسقها.