تستخدم المسائل الرياضية في العديد من العلوم. هذه لا تشمل فقط الفيزياء والكيمياء والهندسة والاقتصاد ، ولكن أيضًا الطب والبيئة والتخصصات الأخرى. أحد المفاهيم المهمة التي يجب إتقانها من أجل إيجاد حلول لمعضلات مهمة هو اشتقاق دالة. المعنى المادي لها ليس من الصعب على الإطلاق شرحه كما قد يبدو للمبتدئين في جوهر القضية. يكفي فقط العثور على أمثلة مناسبة لهذا في الحياة الواقعية والمواقف اليومية العادية. في الواقع ، يتأقلم أي سائق مع مهمة مماثلة كل يوم عندما ينظر إلى عداد السرعة ، ويحدد سرعة سيارته في لحظة معينة من الوقت المحدد. بعد كل شيء ، في هذه المعلمة يكمن جوهر المعنى المادي للمشتق.
كيف تجد السرعة
تحديد سرعة الشخص على الطريق ، مع معرفة المسافة المقطوعة ووقت السفر ، يمكن لأي طالب في الصف الخامس بسهولة. للقيام بذلك ، يتم تقسيم أول القيم المعطاة على الثانية. لكنلا يعرف كل عالم رياضيات شاب أنه يجد حاليًا نسبة زيادات دالة وحجة. في الواقع ، إذا تخيلنا الحركة على شكل رسم بياني ، نرسم المسار على طول المحور الصادي ، والوقت على طول الإحداثي ، فسيكون مثل هذا تمامًا.
ومع ذلك ، قد تتغير سرعة أحد المشاة أو أي شيء آخر نحدده على جزء كبير من المسار ، نظرًا لأن الحركة موحدة. هناك العديد من أشكال الحركة في الفيزياء. يمكن إجراؤها ليس فقط بتسارع ثابت ، بل بإبطاء وزيادة بطريقة عشوائية. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة ، لن يكون الخط الذي يصف الحركة خطاً مستقيماً. من الناحية الرسومية ، يمكن أن تأخذ أكثر التكوينات تعقيدًا. لكن بالنسبة لأي نقطة على الرسم البياني ، يمكننا دائمًا رسم ظل يمثله دالة خطية.
لتوضيح معلمة تغيير الإزاحة اعتمادًا على الوقت ، من الضروري تقصير المقاطع المقاسة. عندما تصبح صغيرة بشكل لا نهائي ، ستكون السرعة المحسوبة فورية. تساعدنا هذه التجربة على تحديد المشتق. يتبع معناها المادي أيضًا منطقيًا من هذا المنطق.
من حيث الهندسة
من المعروف أنه كلما زادت سرعة الجسم ، زاد انحدار الرسم البياني لاعتماد الإزاحة في الوقت المناسب ، وبالتالي زاوية ميل المماس للرسم البياني عند نقطة معينة. يمكن أن يكون مؤشر مثل هذه التغييرات هو مماس الزاوية بين المحور x وخط الظل. إنه يحدد فقط قيمة المشتق ويتم حسابه من خلال نسبة الأطوالمقابل الضلع المجاورة في مثلث قائم الزاوية يتكون من عمودي ينخفض من نقطة ما إلى المحور x.
هذا هو المعنى الهندسي للمشتق الأول. يتم الكشف عن القيمة المادية في حقيقة أن قيمة الساق المقابلة في حالتنا هي المسافة المقطوعة ، والساعة المجاورة هي الوقت. نسبتهم هي السرعة. ومرة أخرى نصل إلى استنتاج مفاده أن السرعة اللحظية ، التي يتم تحديدها عندما تميل الفجوات إلى أن تكون صغيرة للغاية ، هي جوهر مفهوم المشتق ، مما يشير إلى معناها المادي. المشتق الثاني في هذا المثال سيكون تسارع الجسم ، والذي بدوره يوضح معدل التغير في السرعة.
أمثلة لإيجاد المشتقات في الفيزياء
المشتق هو مؤشر لمعدل تغير أي دالة ، حتى عندما لا نتحدث عن الحركة بالمعنى الحرفي للكلمة. لتوضيح ذلك بوضوح ، دعنا نأخذ بعض الأمثلة الملموسة. افترض أن القوة الحالية ، اعتمادًا على الوقت ، تتغير وفقًا للقانون التالي: I=0 ، 4t2. مطلوب إيجاد قيمة المعدل الذي تتغير به هذه المعلمة في نهاية الثانية الثامنة من العملية. لاحظ أن القيمة المرغوبة نفسها ، كما يمكن الحكم عليها من المعادلة ، تتزايد باستمرار.
لحلها ، تحتاج إلى إيجاد المشتق الأول ، والذي تم اعتبار المعنى المادي له سابقًا. هنا dI / dt=0.8t. بعد ذلك ، نجدها عند t \u003d 8 ، ونحصل على أن المعدل الذي تتغير به القوة الحالية هو 6.4 A / c. هنا يعتبر ذلكيقاس التيار بالأمبير ، والوقت على التوالي بالثواني.
كل شيء يتغير
يخضع العالم المحيط المرئي ، المكون من المادة ، لتغييرات باستمرار ، حيث يتحرك في عمليات مختلفة تحدث فيه. يمكن استخدام مجموعة متنوعة من المعلمات لوصفها. إذا توحدوا بالتبعية ، فسيتم كتابتهم رياضياً كوظيفة تظهر تغييراتهم بوضوح. وحيث توجد حركة (بأي شكل يتم التعبير عنه) ، يوجد أيضًا مشتق ، المعنى المادي الذي نفكر فيه في الوقت الحالي.
في هذه المناسبة ، المثال التالي. افترض أن درجة حرارة الجسم تتغير وفقًا للقانون T=0 ، 2 t2. يجب أن تجد معدل تسخينها في نهاية الثانية العاشرة. تم حل المشكلة بطريقة مماثلة لتلك الموصوفة في الحالة السابقة. أي أننا نجد المشتق ونستبدل قيمة t \u003d 10 فيه ، نحصل على T \u003d 0 ، 4 t \u003d 4. هذا يعني أن الإجابة النهائية هي 4 درجات في الثانية ، أي عملية التسخين وتغير درجة الحرارة ، المقاس بالدرجات ، يحدث بالضبط بهذه السرعة.
حل المشكلات العملية
بالطبع ، كل شيء في الحياة الواقعية أكثر تعقيدًا بكثير مما هو عليه في المشاكل النظرية. في الممارسة العملية ، عادة ما يتم تحديد قيمة الكميات أثناء التجربة. في هذه الحالة ، يتم استخدام الأدوات التي تعطي قراءات أثناء القياسات مع وجود خطأ معين. لذلك ، في الحسابات ، يتعين على المرء التعامل مع القيم التقريبية للمعلمات واللجوء إلى تقريب الأرقام غير الملائمة ،بالإضافة إلى تبسيطات أخرى. بعد أخذ هذا في الاعتبار ، سننتقل مرة أخرى إلى المشكلات المتعلقة بالمعنى المادي للمشتق ، نظرًا لأنها ليست سوى نوع من النماذج الرياضية لأكثر العمليات تعقيدًا التي تحدث في الطبيعة.
انفجار بركان
لنتخيل أن بركانًا ينفجر. ما مدى خطورة يمكن أن يكون؟ للإجابة على هذا السؤال ، يجب مراعاة العديد من العوامل. سنحاول استيعاب واحد منهم
يتم إلقاء الحجارة من فم "الوحش الناري" عموديًا لأعلى ، بحيث تكون السرعة الأولية من لحظة خروجها إلى الخارج 120 م / ث. من الضروري حساب ما يمكن أن يصلوا إلى أقصى ارتفاع
للعثور على القيمة المرغوبة ، سنقوم بتكوين معادلة لاعتماد الارتفاع H ، المقاس بالأمتار ، على القيم الأخرى. وتشمل هذه السرعة الأولية والوقت. تعتبر قيمة التسارع معروفة وتساوي تقريبًا 10 م / ث2.
مشتق جزئي
الآن دعونا نفكر في المعنى المادي لمشتق دالة من زاوية مختلفة قليلاً ، لأن المعادلة نفسها لا يمكن أن تحتوي على متغير واحد ، بل عدة متغيرات. على سبيل المثال ، في المشكلة السابقة ، تم تحديد اعتماد ارتفاع الحجارة المقذوفة من فتحة البركان ليس فقط من خلال التغيير في خصائص الوقت ، ولكن أيضًا من خلال قيمة السرعة الأولية. واعتبر الأخير قيمة ثابتة وثابتة. لكن في المهام الأخرى ذات الظروف المختلفة تمامًا ، يمكن أن يكون كل شيء مختلفًا. إذا كانت الكميات التي على المجمعدالة ، عدة حسابات يتم إجراؤها وفقًا للصيغ أدناه.
يجب تحديد المعنى المادي للمشتق المتكرر كما في الحالة المعتادة. هذا هو المعدل الذي تتغير به الوظيفة في نقطة معينة مع زيادة معلمة المتغير. يتم حسابه بطريقة يتم فيها أخذ جميع المكونات الأخرى كثوابت ، ويتم اعتبار عنصر واحد فقط كمتغير. ثم يحدث كل شيء وفقًا للقواعد المعتادة.
مستشار لا غنى عنه في العديد من القضايا
فهم المعنى المادي للمشتق ، ليس من الصعب إعطاء أمثلة لحل المشكلات المعقدة والمعقدة ، حيث يمكن العثور على الإجابة بمثل هذه المعرفة. إذا كانت لدينا وظيفة تصف استهلاك الوقود اعتمادًا على سرعة السيارة ، فيمكننا حساب المعلمات الأخيرة التي سيكون استهلاك البنزين أقلها.
في الطب ، يمكنك التنبؤ بكيفية تفاعل جسم الإنسان مع الدواء الذي يصفه الطبيب. يؤثر تناول الدواء على مجموعة متنوعة من المعايير الفسيولوجية. وتشمل هذه التغيرات في ضغط الدم ومعدل ضربات القلب ودرجة حرارة الجسم وغير ذلك. كل منهم يعتمد على جرعة الدواء المأخوذ. تساعد هذه الحسابات في التنبؤ بمسار العلاج ، سواء في المظاهر المواتية أو في الحوادث غير المرغوب فيها التي يمكن أن تؤثر بشكل قاتل على التغيرات في جسم المريض.
بلا شك ، من المهم فهم المعنى المادي للمشتق في التقنيةخاصة في الهندسة الكهربائية والإلكترونيات والتصميم والبناء
مسافة الفرملة
دعونا ننظر في المشكلة التالية. أثناء تحركها بسرعة ثابتة ، كان على السيارة التي تقترب من الجسر أن تبطئ من سرعتها 10 ثوانٍ قبل المدخل ، حيث لاحظ السائق لافتة طريق تمنع الحركة بسرعة تزيد عن 36 كم / ساعة. هل انتهك السائق القواعد إذا كان من الممكن وصف مسافة الكبح بالصيغة S=26t - t2 ؟
بحساب المشتق الأول ، نجد صيغة السرعة ، نحصل على v=28 - 2t. بعد ذلك ، استبدل القيمة t=10 في التعبير المحدد.
بما أن هذه القيمة تم التعبير عنها بالثواني ، فإن السرعة هي 8 م / ث ، أي 28.8 كم / س. هذا يجعل من الممكن فهم أن السائق بدأ في التباطؤ في الوقت المناسب ولم ينتهك قواعد المرور ، وبالتالي الحد المشار إليه في علامة السرعة.
هذا يثبت أهمية المعنى المادي للمشتق. يوضح مثال حل هذه المشكلة اتساع نطاق استخدام هذا المفهوم في مختلف مجالات الحياة. بما في ذلك المواقف اليومية.
مشتق في الاقتصاد
حتى القرن التاسع عشر ، عمل الاقتصاديون في الغالب على المتوسطات ، سواء كانت إنتاجية العمل أو سعر الإنتاج. ولكن من وقت ما فصاعدًا ، أصبحت القيم المحددة أكثر ضرورة لإجراء تنبؤات فعالة في هذا المجال. وتشمل هذه المنفعة الحدية أو الدخل أو التكلفة. لقد أعطى فهم ذلك دفعة لإنشاء أداة جديدة تمامًا في البحث الاقتصادي ،التي وجدت وتطورت لأكثر من مائة عام
لإجراء مثل هذه الحسابات ، حيث تسود مفاهيم مثل الحد الأدنى والحد الأقصى ، من الضروري ببساطة فهم المعنى الهندسي والمادي للمشتق. من بين مبتكري الأساس النظري لهذه التخصصات ، يمكن للمرء أن يسمي الاقتصاديين الإنجليز والنمساويين البارزين مثل US Jevons و K. Menger وغيرهم. بالطبع ، القيم المحددة في الحسابات الاقتصادية ليست ملائمة دائمًا للاستخدام. وعلى سبيل المثال ، لا تتوافق التقارير ربع السنوية بالضرورة مع المخطط الحالي ، ولكن لا يزال تطبيق مثل هذه النظرية في كثير من الحالات مفيدًا وفعالًا.
