المصفوفات: طريقة غاوس. حساب مصفوفة غاوس: أمثلة

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 05:16

الجبر الخطي ، الذي يتم تدريسه في الجامعات في مختلف التخصصات ، ويجمع بين العديد من الموضوعات المعقدة. يرتبط بعضها بالمصفوفات ، وكذلك بحل أنظمة المعادلات الخطية بواسطة طرق Gauss و Gauss-Jordan. لا يتمكن جميع الطلاب من فهم هذه الموضوعات ، الخوارزميات لحل المشكلات المختلفة. دعونا نفهم معًا مصفوفات وطرق Gauss و Gauss-Jordan.

مفاهيم أساسية

المصفوفة في الجبر الخطي هي مصفوفة مستطيلة من العناصر (جدول). يوجد أدناه مجموعات من العناصر محاطة بأقواس. هذه مصفوفات. من المثال أعلاه ، يمكن ملاحظة أن العناصر في المصفوفات المستطيلة ليست مجرد أرقام. يمكن أن تتكون المصفوفة من وظائف رياضية ورموز جبرية.

لفهم بعض المفاهيم ، دعنا نصنع مصفوفة A من العناصر a_ij. الفهارس ليست مجرد أحرف: i هو رقم الصف في الجدول ، و j هو رقم العمود ، في منطقة التقاطع التي يوجد بها العنصرأ_ij. لذلك ، نرى أن لدينا مصفوفة من العناصر مثل₁₁، و₂₁، و₁₂، و₂₂وهكذا ، يشير الحرف n إلى عدد الأعمدة ، ويشير الحرف m إلى عدد الصفوف. يشير الرمز م × ن إلى أبعاد المصفوفة. هذا هو المفهوم الذي يحدد عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة مستطيلة من العناصر.

اختياريًا ، يجب أن تحتوي المصفوفة على عدة أعمدة وصفوف. بأبعاد 1 × n ، تكون صفيف العناصر عبارة عن صف واحد ، وبأبعاد m × 1 ، فهي عبارة عن صفيف أحادي العمود. عندما يتساوى عدد الصفوف وعدد الأعمدة ، تسمى المصفوفة مربع. كل مصفوفة مربعة لها محدد (det A). يشير هذا المصطلح إلى الرقم المخصص للمصفوفة أ.

بعض المفاهيم الأكثر أهمية التي يجب تذكرها من أجل حل المصفوفات بنجاح هي الأقطار الرئيسية والثانوية. القطر الرئيسي للمصفوفة هو القطر الذي ينزل إلى الزاوية اليمنى للجدول من الزاوية اليسرى العليا. ينتقل القطر الجانبي إلى الزاوية اليمنى لأعلى من الزاوية اليسرى من الأسفل.

عرض مصفوفة متدرجة

انظر إلى الصورة أدناه. سترى عليها مصفوفة ورسم تخطيطي. دعونا نتعامل مع المصفوفة أولاً. في الجبر الخطي ، تسمى مصفوفة من هذا النوع مصفوفة الخطوة. لها خاصية واحدة: إذا كان_ijهو العنصر الأول غير الصفري في الصف الأول ، فإن جميع العناصر الأخرى من المصفوفة أدناه وإلى يسار_ij، فارغة (أي ، كل تلك العناصر التي يمكن منحها تسمية الحرف a_kl، حيث k>i وl<j).

الآن فكر في الرسم التخطيطي. يعكس الشكل المتدرج للمصفوفة. يعرض المخطط 3 أنواع من الخلايا. يشير كل نوع إلى عناصر معينة:

• خلايا فارغة - صفر عناصر من المصفوفة ؛
• الخلايا المظللة هي عناصر عشوائية يمكن أن تكون صفرية وغير صفرية ؛
• المربعات السوداء هي عناصر غير صفرية ، تسمى عناصر الزاوية ، "خطوات" (في المصفوفة الموضحة بجانبها ، هذه العناصر هي الأرقام –1 ، 5 ، 3 ، 8).

عند حل المصفوفات ، تكون النتيجة أحيانًا أن "طول" الخطوة أكبر من 1. هذا مسموح به. فقط "ارتفاع" الخطوات مهم. في مصفوفة الخطوة ، يجب أن تكون هذه المعلمة دائمًا مساوية لواحد.

تصغير المصفوفة إلى شكل الخطوة

يمكن تحويل أي مصفوفة مستطيلة إلى شكل متدرج. يتم ذلك من خلال التحولات الأولية. وهي تشمل:

• إعادة ترتيب الأوتار ؛
• إضافة سطر آخر إلى سطر واحد ، مضروبًا في بعض الأرقام إذا لزم الأمر (يمكنك أيضًا إجراء عملية طرح).

لنأخذ في الاعتبار التحولات الأولية في حل مشكلة معينة. يوضح الشكل أدناه المصفوفة أ ، والتي يجب تصغيرها إلى شكل متدرج.

لحل المشكلة سنتبع الخوارزمية:

• من الملائم إجراء تحويلات على مصفوفة باستخدامالعنصر الأول في الزاوية اليسرى العليا (أي العنصر "البادئة") هو 1 أو -1. في حالتنا ، العنصر الأول في الصف العلوي هو 2 ، لذلك دعونا نبدل الصفين الأول والثاني.
• لنقم بإجراء عمليات طرح تؤثر على الصفوف 2 و 3 و 4. يجب أن نحصل على الأصفار في العمود الأول تحت العنصر "البادئة". لتحقيق هذه النتيجة: من عناصر السطر رقم 2 ، نطرح بالتتابع عناصر السطر رقم 1 مضروبًا في 2 ؛ من عناصر السطر رقم 3 نطرح بالتتابع عناصر السطر رقم 1 مضروبًا في 4 ؛ من عناصر السطر رقم 4 نطرح بالتتابع عناصر السطر رقم 1.
• بعد ذلك ، سنعمل مع مصفوفة مقطوعة (بدون العمود رقم 1 وبدون الصف رقم 1). العنصر "البادئة" الجديد ، الذي يقف عند تقاطع العمود الثاني والصف الثاني ، يساوي -1. ليست هناك حاجة لإعادة ترتيب الأسطر ، لذلك نعيد كتابة العمود الأول والصفين الأول والثاني بدون تغييرات. دعونا نجري عمليات الطرح من أجل الحصول على الأصفار في العمود الثاني تحت العنصر "البادئة": من عناصر السطر الثالث نطرح بالتتابع عناصر السطر الثاني مضروبة في 3 ؛ اطرح عناصر السطر الثاني مضروبة في 2 من عناصر السطر الرابع
• يبقى لتغيير السطر الأخير. من عناصره نطرح على التوالي عناصر الصف الثالث. وهكذا حصلنا على مصفوفة متدرجة

يتم استخدام اختزال المصفوفات إلى نموذج خطوة في حل أنظمة المعادلات الخطية (SLE) بواسطة طريقة Gauss. قبل النظر في هذه الطريقة ، دعونا نفهم بعض المصطلحات المتعلقة بـ SLN.

مصفوفات وأنظمة المعادلات الخطية

تستخدم المصفوفات في مختلف العلوم. باستخدام جداول الأرقام ، يمكنك ، على سبيل المثال ، حل المعادلات الخطية المدمجة في نظام باستخدام طريقة Gauss. أولاً ، دعنا نتعرف على بعض المصطلحات وتعريفاتها ، ونرى أيضًا كيف تتكون المصفوفة من نظام يجمع بين عدة معادلات خطية.

SLU-عدة معادلات جبرية مدمجة مع أول مجهولة من حيث القوة وبدون شروط المنتج.

حل SLE - تم العثور على قيم مجهولة ، واستبدال أي المعادلات في النظام تصبح هويات.

SLE المشترك هو نظام معادلات يحتوي على حل واحد على الأقل.

SLE غير المتسق هو نظام معادلات ليس له حلول.

كيف تتكون المصفوفة على أساس نظام يجمع المعادلات الخطية؟ هناك مفاهيم مثل المصفوفات الرئيسية والممتدة للنظام. من أجل الحصول على المصفوفة الرئيسية للنظام ، من الضروري وضع جميع معاملات المجهول في الجدول. يتم الحصول على المصفوفة الموسعة عن طريق إضافة عمود من المصطلحات الحرة إلى المصفوفة الرئيسية (تتضمن عناصر معروفة يتم معادلة كل معادلة في النظام بها). يمكنك فهم هذه العملية برمتها من خلال دراسة الصورة أدناه.

أول ما نراه في الصورة هو نظام يتضمن معادلات خطية. عناصره: a_ij- المعاملات العددية ، x_j- قيم غير معروفة ، b_i- شروط ثابتة (حيث i=1 ، 2 ، … ، م ، و ي=1 ، 2 ، … ، ن). العنصر الثاني في الصورة هو المصفوفة الرئيسية للمعاملات. من كل معادلة ، تتم كتابة المعاملات على التوالي. نتيجة لذلك ، هناك عدد من الصفوف في المصفوفة يساوي عدد المعادلات في النظام. عدد الأعمدة يساوي أكبر عدد من المعاملات في أي معادلة. العنصر الثالث في الصورة عبارة عن مصفوفة مكثفة بعمود من المصطلحات المجانية.

معلومات عامة عن طريقة غاوس

في الجبر الخطي ، طريقة غاوس هي الطريقة الكلاسيكية لحل SLE. تحمل اسم كارل فريدريش جاوس ، الذي عاش في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. هذا واحد من أعظم علماء الرياضيات في كل العصور. يتمثل جوهر طريقة غاوس في إجراء تحويلات أولية على نظام المعادلات الجبرية الخطية. بمساعدة التحولات ، يتم تقليل SLE إلى نظام مكافئ لشكل مثلث (متدرج) ، يمكن من خلاله العثور على جميع المتغيرات.

من الجدير بالذكر أن كارل فريدريش جاوس ليس مكتشف الطريقة الكلاسيكية لحل نظام المعادلات الخطية. تم اختراع الطريقة قبل ذلك بكثير. تم العثور على أول وصف لها في موسوعة المعرفة لعلماء الرياضيات الصينيين القدماء ، المسماة "الرياضيات في 9 كتب".

مثال على حل SLE بطريقة Gauss

لنفكر في حل الأنظمة بطريقة Gauss في مثال محدد. سنعمل مع SLU الموضحة في الصورة

حل الخوارزمية:

1. سنقوم بتصغير النظام إلى شكل تدريجي عن طريق النقل المباشر لطريقة Gauss ، ولكن أولاًسنقوم بتكوين مصفوفة موسعة من المعاملات العددية والأعضاء الحرة.
2. لحل المصفوفة باستخدام طريقة Gaussian (أي إحضارها إلى شكل متدرج) ، من عناصر الصفين الثاني والثالث ، نطرح بالتتابع عناصر الصف الأول. نحصل على الأصفار في العمود الأول تحت العنصر "البادئة". بعد ذلك ، سنقوم بتغيير الخطين الثاني والثالث في الأماكن للراحة. إلى عناصر الصف الأخير ، أضف بالتسلسل عناصر الصف الثاني مضروبة في 3.
3. نتيجة حساب المصفوفة بطريقة Gauss ، حصلنا على مجموعة متدرجة من العناصر. بناءً عليه ، سنقوم بتكوين نظام جديد من المعادلات الخطية. بالمسار العكسي لطريقة غاوس ، نجد قيم المصطلحات المجهولة. يمكن أن نرى من المعادلة الخطية الأخيرة أن x₃يساوي 1. نعوض هذه القيمة في السطر الثاني من النظام. تحصل على المعادلة x₂- 4=–4. يتبع ذلك x₂يساوي 0. استبدل x₂و x₃في المعادلة الأولى للنظام: x 1_{+ 0 +3=2. المصطلح غير المعروف هو -1.}

الجواب: باستخدام طريقة المصفوفة Gaussian ، وجدنا قيم المجهول ؛ x₁=–1، x₂=0، x₃=1.

طريقة غاوس جوردان

في الجبر الخطي ، يوجد أيضًا شيء مثل طريقة Gauss-Jordan. يعتبر تعديلاً للطريقة الغاوسية ويستخدم للعثور على المصفوفة العكسية ، وحساب المصطلحات غير المعروفة للأنظمة التربيعية للمعادلات الخطية الجبرية. طريقة Gauss-Jordan ملائمة لأنها تسمح بحل SLE في خطوة واحدة (بدون استخدام المباشر والعكسيتحرك).

لنبدأ بمصطلح "معكوس المصفوفة". لنفترض أن لدينا مصفوفة أ. سيكون معكوسها المصفوفة A^-1، بينما الشرط مستوفٍ بالضرورة: A × A^-1=A -1^{× A=E ، أي أن حاصل ضرب هذه المصفوفات يساوي مصفوفة الهوية (عناصر القطر الرئيسي لمصفوفة الهوية هي واحد ، والعناصر المتبقية هي صفر)}

فارق بسيط مهم: في الجبر الخطي توجد نظرية حول وجود مصفوفة معكوسة. الشرط الكافي والضروري لوجود المصفوفة A^-1هو أن المصفوفة A غير أحادية.

الخطوات الأساسية التي تعتمد عليها طريقة غاوس جوردان:

1. انظر إلى الصف الأول من مصفوفة معينة. يمكن بدء طريقة Gauss-Jordan إذا كانت القيمة الأولى لا تساوي الصفر. إذا كان المركز الأول هو 0 ، فقم بتبديل الصفوف بحيث يكون للعنصر الأول قيمة غير صفرية (من المستحسن أن يكون الرقم أقرب إلى واحد).
2. قسّم كل عناصر الصف الأول على الرقم الأول. ستنتهي بسلسلة تبدأ بسلسلة.
3. من السطر الثاني ، اطرح السطر الأول مضروبًا في العنصر الأول من السطر الثاني ، أي في النهاية ستحصل على سطر يبدأ من الصفر. افعل الشيء نفسه بالنسبة لبقية الخطوط. قسّم كل سطر على أول عنصر غير صفري لتحصل على 1 قطريًا.
4. نتيجة لذلك ، ستحصل على المصفوفة المثلثية العلوية باستخدام طريقة Gauss - Jordan. في ذلك ، يتم تمثيل القطر الرئيسي بالوحدات. الزاوية السفلية مليئة بالأصفار والزاوية العلوية - قيم متنوعة.
5. من السطر قبل الأخير ، اطرح السطر الأخير مضروبًا في المعامل المطلوب. يجب أن تحصل على سلسلة بها أصفار وواحد. كرر نفس الإجراء بالنسبة لبقية الأسطر. بعد كل التحولات سيتم الحصول على مصفوفة الهوية

مثال لإيجاد معكوس المصفوفة باستخدام طريقة Gauss-Jordan

لحساب معكوس المصفوفة ، تحتاج إلى كتابة المصفوفة المعززة A | E وإجراء التحويلات اللازمة. لنفكر في مثال بسيط. يوضح الشكل أدناه المصفوفة أ.

الحل:

1. أولاً ، لنجد محدد المصفوفة باستخدام طريقة Gaussian (det A). إذا كانت هذه المعلمة لا تساوي صفرًا ، فسيتم اعتبار المصفوفة غير صفرية. سيسمح لنا هذا باستنتاج أن A بالتأكيد لديه A^-1. لحساب المحدد ، نقوم بتحويل المصفوفة إلى شكل تدريجي عن طريق التحويلات الأولية. دعونا نحسب العدد K يساوي عدد تباديل الصفوف. قمنا بتغيير الخطوط مرة واحدة فقط. دعونا نحسب المحدد. ستكون قيمتها مساوية لمنتج عناصر القطر الرئيسي ، مضروبة في (–1)^K. نتيجة الحساب: det A=2.
2. قم بتكوين المصفوفة المعززة بإضافة مصفوفة الهوية إلى المصفوفة الأصلية. سيتم استخدام مصفوفة العناصر الناتجة لإيجاد معكوس المصفوفة بطريقة Gauss-Jordan.
3. العنصر الأول في الصف الأول يساوي واحدًا. هذا يناسبنا ، لأنه لا داعي لإعادة ترتيب الخطوط وتقسيم السطر المحدد على عدد معين. لنبدأ العملمع الخطين الثاني والثالث. لتحويل العنصر الأول في الصف الثاني إلى 0 ، اطرح الصف الأول مضروبًا في 3 من الصف الثاني. اطرح الصف الأول من الصف الثالث (لا يلزم الضرب).
4. في المصفوفة الناتجة ، العنصر الثاني من الصف الثاني هو -4 ، والعنصر الثاني من الصف الثالث هو -1. دعنا نتبادل الأسطر من أجل الراحة. من الصف الثالث ، اطرح الصف الثاني مضروبًا في 4. اقسم الصف الثاني على -1 والصف الثالث على 2. نحصل على المصفوفة المثلثية العلوية.
5. لنطرح السطر الأخير مضروبًا في 4 من السطر الثاني ، والسطر الأخير مضروبًا في 5 من السطر الأول. بعد ذلك ، اطرح السطر الثاني مضروبًا في 2 من السطر الأول. على الجانب الأيسر حصلنا على مصفوفة الهوية. على اليمين معكوس المصفوفة

مثال على حل SLE بطريقة Gauss-Jordan

يوضح الشكل نظام المعادلات الخطية. مطلوب إيجاد قيم المتغيرات المجهولة باستخدام مصفوفة طريقة Gauss-Jordan.

الحل:

1. دعونا ننشئ مصفوفة معززة. للقيام بذلك ، سنضع المعاملات والمصطلحات المجانية في الجدول.
2. حل المصفوفة باستخدام طريقة Gauss-Jordan. من السطر رقم 2 نطرح السطر رقم 1. من السطر رقم 3 نطرح السطر رقم 1 ، مضروبًا مسبقًا في 2.
3. تبديل الصفوف 2 و 3.
4. من السطر رقم 3 ، اطرح السطر رقم 2 مضروبًا في 2. اقسم السطر الثالث الناتج على -1.
5. اطرح السطر 3 من السطر 2.
6. اطرح السطر رقم 1 من السطر رقم 12 مرات -1. على الجانب ، لدينا عمود يتكون من الأرقام 0 و 1 و -1. من هذا نستنتج أن x₁=0 ، x₂=1 و x₃=–1.

إذا كنت ترغب في ذلك ، يمكنك التحقق من صحة الحل عن طريق استبدال القيم المحسوبة في المعادلات:

• 0-1=–1 ، الهوية الأولى من النظام صحيحة ؛
• 0 + 1 + (–1)=0 ، الهوية الثانية من النظام صحيحة ؛
• 0 - 1 + (–1)=–2 ، الهوية الثالثة من النظام صحيحة.

الخلاصة: باستخدام طريقة Gauss-Jordan ، وجدنا الحل الصحيح لنظام تربيعي يجمع بين المعادلات الجبرية الخطية.

حاسبات عبر الإنترنت

لقد تم تبسيط حياة شباب اليوم الذين يدرسون في الجامعات ويدرسون الجبر الخطي إلى حد كبير. قبل بضع سنوات ، كان علينا إيجاد حلول للأنظمة باستخدام طريقة Gauss و Gauss-Jordan بمفردنا. نجح بعض الطلاب في التعامل مع المهام ، بينما ارتبك آخرون في الحل ، وارتكبوا أخطاء ، وطلبوا المساعدة من زملائهم. اليوم ، يمكنك استخدام الآلات الحاسبة عبر الإنترنت عند أداء الواجب المنزلي. لحل أنظمة المعادلات الخطية ، ابحث عن المصفوفات المعكوسة ، تمت كتابة البرامج التي لا توضح الإجابات الصحيحة فحسب ، بل توضح أيضًا التقدم المحرز في حل مشكلة معينة.

هناك العديد من الموارد على الإنترنت مع الآلات الحاسبة المدمجة عبر الإنترنت. مصفوفات جاوس ، أنظمة المعادلات يتم حلها بواسطة هذه البرامج في بضع ثوان. يحتاج الطلاب فقط إلى تحديد المعلمات المطلوبة (على سبيل المثال ، عدد المعادلات ،عدد المتغيرات).