تبدأ دراسة نظرية الاحتمالات بحل مسائل الجمع ومضاعفة الاحتمالات. تجدر الإشارة على الفور إلى أنه عند إتقان هذا المجال من المعرفة ، قد يواجه الطالب مشكلة: إذا كان من الممكن تمثيل العمليات الفيزيائية أو الكيميائية بصريًا وفهمها تجريبيًا ، فإن مستوى التجريد الرياضي مرتفع جدًا ، ولا يأتي الفهم هنا إلا مع تجربة
ومع ذلك ، فإن اللعبة تستحق كل هذا العناء ، لأن الصيغ - التي تم تناولها في هذه المقالة والصيغ الأكثر تعقيدًا - تُستخدم في كل مكان اليوم وقد تكون مفيدة في العمل.
الأصل
الغريب أن الدافع وراء تطوير هذا القسم من الرياضيات كان … القمار. في الواقع ، يعد النرد ، ورمي العملات المعدنية ، والبوكر ، والروليت أمثلة نموذجية تستخدم عمليات الجمع ومضاعفة الاحتمالات. في مثال المهام في أي كتاب مدرسي ، يمكن رؤية ذلك بوضوح. كان الناس مهتمين بتعلم كيفية زيادة فرصهم في الفوز ، ويجب أن أقول ، نجح البعض في ذلك.
على سبيل المثال ، بالفعل في القرن الحادي والعشرين ، شخص واحد ، لن نكشف عن اسمه ،استخدموا هذه المعرفة المتراكمة عبر القرون "لتطهير" الكازينو حرفيًا ، وربح عشرات الملايين من الدولارات في لعبة الروليت.
ومع ذلك ، على الرغم من الاهتمام المتزايد بالموضوع ، لم يتم تطوير إطار نظري حتى القرن العشرين والذي جعل "المنظر" مكونًا كاملاً للرياضيات. اليوم ، في أي علم تقريبًا ، يمكنك العثور على حسابات باستخدام الأساليب الاحتمالية.
الانطباق
نقطة مهمة عند استخدام صيغ إضافة وضرب الاحتمالات ، الاحتمال الشرطي هو مدى استيفاء نظرية الحد المركزي. خلاف ذلك ، على الرغم من أنه قد لا يتحقق من قبل الطالب ، فإن جميع الحسابات ، مهما بدت معقولة ، ستكون غير صحيحة.
نعم ، المتعلم ذو الحافز العالي يميل إلى استخدام المعرفة الجديدة في كل فرصة. لكن في هذه الحالة ، يجب على المرء أن يبطئ قليلاً وأن يحدد بدقة نطاق التطبيق.
تتعامل نظرية الاحتمالية مع الأحداث العشوائية ، والتي من الناحية التجريبية هي نتائج التجارب: يمكننا دحرجة نرد سداسي الجوانب ، ورسم بطاقة من سطح السفينة ، والتنبؤ بعدد الأجزاء المعيبة في الدفعة. ومع ذلك ، في بعض الأسئلة ، من المستحيل بشكل قاطع استخدام الصيغ من هذا القسم من الرياضيات. سنناقش ميزات النظر في احتمالات حدث ، ونظريات جمع ومضاعفة الأحداث في نهاية المقالة ، ولكن الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.
مفاهيم أساسية
حدث عشوائي يعني بعض العمليات أو النتائج التي قد تظهر أو لا تظهرنتيجة التجربة. على سبيل المثال ، نرمي شطيرة - يمكن أن تسقط الزبدة أو الزبدة. ستكون أي من النتيجتين عشوائية ، ولا نعرف مسبقًا أيهما سيحدث.
عند دراسة جمع وضرب الاحتمالات ، نحتاج إلى مفهومين آخرين.
الأحداث المشتركة هي تلك الأحداث التي لا يمنع حدوث أحدها وقوع الآخر. لنفترض أن شخصين يطلقان النار على هدف في نفس الوقت. إذا أطلق أحدهم تسديدة ناجحة ، فلن يؤثر ذلك على قدرة الآخر على الضرب أو الخطأ.
ستكون مثل هذه الأحداث غير متسقة ، ويكون حدوثها مستحيلًا في نفس الوقت. على سبيل المثال ، من خلال سحب كرة واحدة فقط من الصندوق ، لا يمكنك الحصول على اللونين الأزرق والأحمر معًا.
التعيين
يُشار إلى مفهوم الاحتمال بالحرف اللاتيني الكبير P. بعد ذلك بين قوسين توجد وسيطات تدل على بعض الأحداث.
في معادلات نظرية الجمع ، الاحتمال الشرطي ، نظرية الضرب ، سترى التعبيرات بين قوسين ، على سبيل المثال: A + B أو AB أو A | B. سيتم احتسابها بطرق مختلفة ، سوف ننتقل إليها الآن
إضافة
لنأخذ بعين الاعتبار الحالات التي يتم فيها استخدام صيغ الجمع والضرب.
بالنسبة للأحداث غير المتوافقة ، فإن أبسط صيغة جمع مناسبة: سيكون احتمال أي من النتائج العشوائية مساويًا لمجموع احتمالات كل من هذه النتائج.
افترض أن هناك صندوق به 2 بالونات زرقاء و 3 حمراء و 5 بالونات صفراء. يوجد إجمالي 10 عناصر في المربع. ما هي النسبة المئوية لصدق القول بأننا سنرسم كرة زرقاء أو حمراء؟ سوف تساوي 2/10 + 3/10 أي خمسين بالمائة
في حالة الأحداث غير المتوافقة ، تصبح الصيغة أكثر تعقيدًا ، حيث يتم إضافة مصطلح إضافي. سنعود إليها في فقرة واحدة ، بعد التفكير في صيغة أخرى.
الضرب
يتم استخدام إضافة وضرب احتمالات الأحداث المستقلة في حالات مختلفة. إذا كنا ، وفقًا لظروف التجربة ، راضين عن أي من النتيجتين المحتملتين ، فسنحسب المجموع ؛ إذا أردنا الحصول على نتيجتين معينتين واحدة تلو الأخرى ، فسنلجأ إلى استخدام صيغة مختلفة.
بالعودة إلى المثال السابق ، نريد رسم الكرة الزرقاء أولاً ثم الكرة الحمراء. الرقم الأول الذي نعرفه هو 2/10. ماذا حدث بعد ذلك؟ هناك 9 كرات متبقية ، ولا يزال هناك نفس العدد من الكرات الحمراء - ثلاث قطع. وفقًا للحسابات ، تحصل على 3/9 أو 1/3. لكن ماذا نفعل الآن برقمين؟ الإجابة الصحيحة هي الضرب للحصول على 2 / 30.
أحداث مشتركة
الآن يمكننا إعادة النظر في صيغة مجموع الأحداث المشتركة. لماذا نستخرج من الموضوع؟ لمعرفة كيف تتضاعف الاحتمالات. الآن هذه المعرفة ستكون في متناول اليد.
نحن نعلم بالفعل ما سيكون عليه المصطلحان الأولين (كما هو الحال في صيغة الجمع المذكورة سابقًا) ، والآن نحتاج إلى الطرححاصل ضرب الاحتمالات التي تعلمنا للتو حسابها. من أجل الوضوح ، نكتب الصيغة: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). اتضح أنه يتم استخدام كل من جمع وضرب الاحتمالات في تعبير واحد.
لنفترض أنه يتعين علينا حل أي من المشكلتين للحصول على الائتمان. يمكننا حل الأول باحتمال 0.3 ، والثاني - 0.6. الحل: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. لاحظ أن مجرد جمع الأرقام هنا لن يكون كافياً.
الاحتمال الشرطي
أخيرًا ، هناك مفهوم الاحتمال الشرطي ، حيث يشار إلى الحجج بين قوسين ويفصل بينها شريط عمودي. الإدخال P (A | B) يقرأ كما يلي: "احتمال وقوع حدث A معطى B".
لنلقِ نظرة على مثال: يمنحك أحد الأصدقاء بعض الأجهزة ، فليكن هاتفًا. يمكن كسرها (20٪) أو جيدة (80٪). يمكنك إصلاح أي جهاز يقع في يديك مع احتمال 0.4 أو لا يمكنك القيام بذلك (0.6). أخيرًا ، إذا كان الجهاز يعمل ، يمكنك الوصول إلى الشخص المناسب باحتمال 0.7.
من السهل معرفة كيفية عمل الاحتمال الشرطي في هذه الحالة: لا يمكنك الوصول إلى شخص ما إذا كان الهاتف مكسورًا ، وإذا كان جيدًا ، فلن تحتاج إلى إصلاحه. وبالتالي ، من أجل الحصول على أي نتائج على "المستوى الثاني" ، تحتاج إلى معرفة الحدث الذي تم تنفيذه على المستوى الأول.
الحسابات
لنأخذ بعين الاعتبار أمثلة لحل المسائل المتعلقة بجمع وضرب الاحتمالات باستخدام البيانات من الفقرة السابقة.
أولاً ، دعنا نجد الاحتماليةإصلاح الجهاز الممنوح لك. للقيام بذلك ، أولاً ، يجب أن يكون معيبًا ، وثانيًا ، يجب أن تتعامل مع الإصلاح. هذه مشكلة ضرب نموذجية: نحصل على 0.20.4=0.08.
ما هو احتمال أن تصل على الفور إلى الشخص المناسب؟ أسهل من البساطة: 0.80.7=0.56. في هذه الحالة ، وجدت أن الهاتف يعمل وقمت بإجراء مكالمة بنجاح.
أخيرًا ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: لقد تلقيت هاتفًا مكسورًا ، وقمت بإصلاحه ، ثم اتصلت بالرقم ، وقام الشخص الموجود على الطرف الآخر بالرد على الهاتف. هنا ، مطلوب بالفعل مضاعفة ثلاثة مكونات: 0 ، 20 ، 40 ، 7=0 ، 056.
وماذا لو كان لديك هاتفان لا يعملان في نفس الوقت؟ ما مدى احتمالية إصلاح واحد منهم على الأقل؟ هذه مشكلة إضافة وضرب الاحتمالات ، حيث يتم استخدام الأحداث المشتركة. الحل: 0، 4 + 0، 4 - 0، 40، 4=0، 8-0، 16=0، 64.
استخدام دقيق
كما هو مذكور في بداية المقال ، يجب أن يكون استخدام نظرية الاحتمالات متعمدًا وواعيًا.
كلما زادت سلسلة التجارب ، اقتربت القيمة المتوقعة نظريًا من القيمة العملية. على سبيل المثال ، نحن نرمي قطعة نقود. من الناحية النظرية ، مع العلم بوجود صيغ لجمع ومضاعفة الاحتمالات ، يمكننا التنبؤ بعدد المرات التي ستسقط فيها الرؤوس والأطراف إذا أجرينا التجربة 10 مرات. قمنا بتجربة ووبالمصادفة ، كانت نسبة الجوانب المسقطة من 3 إلى 7. ولكن إذا أجريت سلسلة من 100 أو 1000 محاولة أو أكثر ، فقد اتضح أن مخطط التوزيع يقترب أكثر فأكثر من الرسم البياني النظري: 44 إلى 56 ، 482 إلى 518 وهلم جرا.
الآن تخيل أن هذه التجربة لم يتم إجراؤها باستخدام عملة معدنية ، ولكن بإنتاج مادة كيميائية جديدة ، لا نعرف احتمالية حدوثها. سنجري 10 تجارب ، وإذا لم نحصل على نتيجة ناجحة ، فيمكننا التعميم: "لا يمكن الحصول على المادة". لكن من يدري لو قمنا بالمحاولة الحادية عشر هل كنا سنصل إلى الهدف أم لا؟
لذا إذا كنت ستذهب إلى المجهول ، العالم غير المكتشف ، فقد لا تنطبق نظرية الاحتمالات. قد تكون كل محاولة لاحقة في هذه الحالة ناجحة وستكون التعميمات مثل "X غير موجود" أو "X مستحيل" سابقة لأوانها.
كلمة ختامية
لذلك نظرنا إلى نوعين من الجمع ، الضرب والاحتمالات الشرطية. مع مزيد من الدراسة لهذا المجال ، من الضروري تعلم كيفية التمييز بين المواقف عند استخدام كل صيغة محددة. بالإضافة إلى ذلك ، تحتاج إلى فهم ما إذا كانت الأساليب الاحتمالية قابلة للتطبيق بشكل عام لحل مشكلتك.
إذا كنت تتدرب ، بعد فترة ستبدأ في تنفيذ جميع العمليات المطلوبة حصريًا في ذهنك. بالنسبة لأولئك الذين يحبون ألعاب الورق ، يمكن اعتبار هذه المهارةقيمة للغاية - ستزيد بشكل كبير من فرصك في الفوز ، فقط عن طريق حساب احتمال سقوط بطاقة أو دعوى معينة. ومع ذلك ، يمكن بسهولة تطبيق المعرفة المكتسبة في مجالات النشاط الأخرى.
