تعتبر دراسة خصائص الحالة الغازية الكلية للمادة من المجالات المهمة للفيزياء الحديثة. بالنظر إلى الغازات على نطاق مجهري ، يمكن للمرء الحصول على جميع المعلمات العيانية للنظام. ستكشف هذه المقالة عن قضية مهمة في النظرية الحركية الجزيئية للغازات: ما هو توزيع ماكسويل للجزيئات من حيث السرعات.
الخلفية التاريخية
نشأت فكرة الغاز كنظام للجسيمات المتحركة الدقيقة في اليونان القديمة. استغرق العلم أكثر من 1700 عام لتطويره.
مؤسس النظرية الحركية الجزيئية (MKT) للغاز من العدل اعتبار دانييل برنولي. في عام 1738 نشر عملاً بعنوان "Hydrodynamics". في ذلك ، أوجز برنولي أفكار MKT التي تم استخدامها حتى يومنا هذا. لذلك اعتقد العالم أن الغازات تتكون من جزيئات تتحرك بشكل عشوائي في جميع الاتجاهات. تصادمات عديدةيُنظر إلى الجزيئات ذات جدران الأوعية على أنها وجود ضغط في الغازات. ترتبط سرعات الجسيمات ارتباطًا وثيقًا بدرجة حرارة النظام. لم يقبل المجتمع العلمي أفكار برنولي الجريئة لأن قانون الحفاظ على الطاقة لم يتم وضعه بعد.
بعد ذلك ، انخرط العديد من العلماء في بناء نموذج حركي للغازات. من بينها ، تجدر الإشارة إلى رودولف كلاوسيوس ، الذي أنشأ في عام 1857 نموذجًا بسيطًا للغاز. في ذلك ، أولى العالم اهتمامًا خاصًا لوجود درجات حرية انتقالية ودورانية وذبذبية في الجزيئات.
في عام 1859 ، درس جيمس ماكسويل عمل كلاوزيوس ، وصاغ ما يسمى بتوزيع ماكسويل على السرعات الجزيئية. في الواقع ، أكد ماكسويل أفكار MKT ، ودعمها بجهاز رياضي. بعد ذلك ، قام لودفيج بولتزمان (1871) بتعميم استنتاجات توزيع ماكسويل. افترض توزيعًا إحصائيًا أكثر عمومية للجزيئات على السرعات والطاقات. يُعرف حاليًا باسم توزيع Maxwell-Boltzmann.
غاز مثالي. المسلمات الأساسية لـ ILC
لفهم ماهية وظيفة توزيع Maxwell ، عليك أن تفهم بوضوح الأنظمة التي تنطبق عليها هذه الوظيفة. نحن نتحدث عن غاز مثالي. في الفيزياء ، يُفهم هذا المفهوم على أنه مادة سائلة ، تتكون من جسيمات بلا أبعاد عمليًا ولا تحتوي على طاقة كامنة. تتحرك هذه الجسيمات بسرعات عالية ، لذلك يتم تحديد سلوكها بالكامل بواسطة الطاقة الحركية. علاوة على ذلك ، فإن المسافات بين الجسيمات كبيرة جدًامقارنة بأحجامها فهذه الأخيرة مهملة
وصفت الغازات المثالية داخل MKT. المسلمات الرئيسية هي كما يلي:
- أنظمة الغاز تتكون من عدد هائل من الجزيئات الحرة ؛
- جسيمات تتحرك بشكل عشوائي بسرعات مختلفة في اتجاهات مختلفة على طول المسارات المستقيمة ؛
- بجدران الأوعية بشكل مرن (احتمال اصطدام الجسيمات ببعضها البعض منخفض بسبب صغر حجمها) ؛
- يتم تحديد درجة حرارة النظام بشكل فريد من خلال متوسط الطاقة الحركية للجسيمات ، والتي يتم الحفاظ عليها في الوقت المناسب إذا تم إنشاء التوازن الديناميكي الحراري في النظام.
تصطدم الجسيمات
قانون توزيع ماكسويل
إذا كان لدى الشخص أداة يمكن من خلالها قياس سرعة جزيء غاز واحد ، فبعد إجراء تجربة مناسبة ، سيتفاجأ. ستظهر التجربة أن كل جزيء في أي نظام غازي يتحرك بسرعة اعتباطية تمامًا. في هذه الحالة ، في إطار نظام واحد في حالة توازن حراري مع البيئة ، سيتم اكتشاف جزيئات بطيئة جدًا وسريعة جدًا.
قانون ماكسويل لتوزيع سرعة جزيئات الغاز هو أداة تسمح لك بتحديد احتمال اكتشاف الجسيمات بسرعة معينة v في النظام قيد الدراسة. تبدو الوظيفة المقابلة كما يلي:
f (v)=(m / (2pikT))3/2 4piv2exp (-mv2/ (2kT)).
في هذا التعبير ، م -كتلة الجسيم ، k - ثابت بولتزمان ، T - درجة الحرارة المطلقة. وبالتالي ، إذا كانت الطبيعة الكيميائية للجسيمات (قيمة m) معروفة ، فإن الوظيفة f (v) يتم تحديدها بشكل فريد من خلال درجة الحرارة المطلقة. تسمى الوظيفة f (v) كثافة الاحتمال. إذا أخذنا التكامل منه لبعض حدود السرعة (v ؛ v + dv) ، فسنحصل على عدد الجسيمات Ni، التي لها سرعات في الفترة المحددة. وفقًا لذلك ، إذا أخذنا تكامل كثافة الاحتمال f (v) لحدود السرعة من 0 إلى ∞ ، فإننا نحصل على العدد الإجمالي للجزيئات N في النظام.
تمثيل رسومي لكثافة الاحتمال f (v)
دالة كثافة الاحتمال لها شكل رياضي معقد إلى حد ما ، لذلك ليس من السهل تمثيل سلوكها عند درجة حرارة معينة. يمكن حل هذه المشكلة إذا قمت بتصويرها على رسم بياني ثنائي الأبعاد. يتم عرض عرض تخطيطي للرسم البياني لتوزيع Maxwell أدناه في الشكل.
نرى أنه يبدأ من الصفر ، لأن السرعة v للجزيئات لا يمكن أن يكون لها قيم سالبة. ينتهي الرسم البياني في مكان ما في منطقة السرعات العالية ، وينخفض بسلاسة إلى الصفر (f (∞) ->0). الميزة التالية مدهشة أيضًا: المنحنى السلس غير متماثل ، يتناقص بشكل أكثر حدة عند السرعات الصغيرة.
من السمات المهمة لسلوك دالة كثافة الاحتمال f (v) وجود حد أقصى واضح عليها. وفقًا للمعنى المادي للوظيفة ، يتوافق هذا الحد الأقصى مع القيمة الأكثر احتمالًا لسرعات الجزيئات في الغازالنظام
سرعات مهمة للدالة f (v)
تسمح لنا دالة كثافة الاحتمال f (v) وتمثيلها الرسومي بتحديد ثلاثة أنواع مهمة من السرعة.
النوع الأول من السرعة الواضح والمذكور أعلاه هو السرعة الأكثر ترجيحًا v1. على الرسم البياني ، تقابل قيمته الحد الأقصى للدالة f (v). هذه السرعة والقيم القريبة منها هي التي ستحتوي على معظم جسيمات النظام. ليس من الصعب حسابها ، لذلك يكفي أن نأخذ المشتق الأول فيما يتعلق بسرعة الدالة f (v) ونعادلها بالصفر. نتيجة هذه العمليات الحسابية نحصل على النتيجة النهائية:
v1=√ (2RT / M).
هنا R هو ثابت الغاز العام ، M هو الكتلة المولية للجزيئات.
النوع الثاني من السرعة هو متوسط قيمته لجميع الجسيمات N. دعونا نشير إليه v2. يمكن حسابها بدمج الدالة vf (v) على كل السرعات. ستكون نتيجة التكامل الملحوظ الصيغة التالية:
v2=√ (8RT / (piM)).
نظرًا لأن النسبة 8 / pi>2 ، فإن متوسط السرعة دائمًا يكون أعلى قليلاً من السرعة الأكثر احتمالاً.
كل شخص يعرف القليل عن الفيزياء يفهم أن متوسط السرعة v2 منجزيئات يجب أن يكون ذا أهمية كبيرة في نظام الغاز. ومع ذلك ، هذا افتراض خاطئ. الأهم من ذلك هو سرعة RMS. دعنا نشير إليهاv3.
وفقًا للتعريف ، فإن سرعة الجذر التربيعي هي مجموع مربعات السرعات الفردية لجميع الجسيمات ، مقسومًا على عدد هذه الجسيمات ، ويُؤخذ كجذر تربيعي. يمكن حسابه لتوزيع ماكسويل إذا حددنا التكامل على جميع سرعات الوظيفة v2 f (v). ستأخذ صيغة متوسط السرعة التربيعية الشكل:
v3=√ (3RT / M).
توضح المساواة أن هذه السرعة أكبر من v2و v1لأي نظام غاز.
وهكذا ، فإن جميع أنواع السرعات المدروسة على الرسم البياني لتوزيع ماكسويل تقع إما على الطرف الأقصى أو على يمينه.
أهمية v3
لوحظ أعلاه أن متوسط السرعة المربعة أكثر أهمية لفهم العمليات الفيزيائية وخصائص نظام الغاز من متوسط السرعة البسيط v2. هذا صحيح ، لأن الطاقة الحركية للغاز المثالي تعتمد بدقة على v3، وليس على v2.
إذا اعتبرنا غازًا مثاليًا أحادي الذرة ، فإن التعبير التالي ينطبق عليه:
mv32/ 2=3/2kT.
هنا ، يمثل كل جزء من المعادلة الطاقة الحركية لجسيم واحد كتلته م. لماذا يحتوي التعبير بالضبط على القيمة v3، وليس متوسط السرعة v2 ؟ بسيط جدًا: عند تحديد الطاقة الحركية لكل جسيم ، يتم تربيع سرعته الفردية v ، ثم جميع السرعاتتمت إضافتها وقسمتها على عدد الجسيمات N. أي أن إجراء تحديد الطاقة الحركية نفسها يؤدي إلى قيمة متوسط السرعة المربعة.
اعتماد الوظيفة f (v) على درجة الحرارة
لقد أثبتنا أعلاه أن الكثافة الاحتمالية للسرعات الجزيئية تعتمد بشكل فريد على درجة الحرارة. كيف ستتغير الوظيفة إذا زاد T أو انخفض؟ سيساعد الرسم البياني أدناه في الإجابة على هذا السؤال.
يمكن ملاحظة أن تسخين النظام المغلق يؤدي إلى تلطيخ الذروة وتحولها نحو سرعات أعلى. تؤدي الزيادة في درجة الحرارة إلى زيادة السرعات بكافة أنواعها وإلى انخفاض الكثافة الاحتمالية لكل منها. تنخفض قيمة الذروة بسبب الحفاظ على عدد الجسيمات N في نظام مغلق.
بعد ذلك ، سنحل مشكلتين لدمج المادة النظرية المستلمة.
مشكلة جزيئات النيتروجين في الهواء
من الضروري حساب السرعات v1، v2و v3لنيتروجين الهواء عند درجة حرارة 300 كلفن (حوالي 27oC).
الكتلة المولية للنيتروجين N2هي 28 جم / مول. باستخدام الصيغ أعلاه ، نحصل على:
v1=√ (2RT / M)=√ (28 ، 314300/0 ، 028)=422 م / ث ؛
v2=√ (8RT / (piM))=√ (88 ، 314300 / (3 ، 140 ، 028))=476 م / ث ؛
v3=√ (3RT / M)=√ (38 ، 314300/0 ، 028)=517 م / ث.
مشكلة خزان الأكسجين
كان الأكسجين الموجود في الأسطوانة عند درجة حرارة معينة T1. ثم تم وضع البالون في غرفة أكثر برودة. كيف ستتغير مؤامرة توزيع سرعة Maxwell لجزيئات الأكسجين عندما يأتي النظام إلى التوازن الديناميكي الحراري؟
بتذكر النظرية ، يمكننا الإجابة على سؤال المشكلة بهذه الطريقة: ستنخفض قيم جميع أنواع سرعات الجزيئات ، وستتحول ذروة الوظيفة f (v) إلى اليسار ، أضيق وأعلى.
