زوايا الهرم ثنائية الأضلاع وطريقة حسابها

2024 مؤلف: Angel Austin | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-02 17:40

المعلمات الخطية النموذجية لأي هرم هي أطوال جوانب قاعدته ، وارتفاعه ، وحوافه الجانبية ، وحوافه. ومع ذلك ، هناك خاصية أخرى مرتبطة بالمعلمات الملحوظة - وهي الزاوية ثنائية السطوح. ضع في اعتبارك ما هو عليه وكيفية العثور عليه.

هرم الشكل المكاني

كل طالب لديه فكرة جيدة عما هو على المحك عندما يسمع كلمة "هرم". يمكن بناؤه هندسيًا على النحو التالي: حدد مضلعًا معينًا ، ثم ثبت نقطة في الفضاء وربطها بكل ركن من أركان المضلع. سيكون الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج هرمًا من نوع تعسفي. يسمى المضلع الذي يشكله القاعدة ، والنقطة التي تتصل بها جميع أركانه هي رأس الشكل. يوضح الشكل أدناه بشكل تخطيطي هرم خماسي.

يمكن ملاحظة أن سطحه يتشكل ليس فقط من خلال البنتاغون ، ولكن أيضًا من خلال خمسة مثلثات. بشكل عام ، سيكون عدد هذه المثلثات مساويًا للرقمجوانب قاعدة متعددة الأضلاع.

زوايا ثنائية السطوح للشكل

عندما يتم أخذ المسائل الهندسية في الاعتبار على مستوى ما ، فإن أي زاوية تتكون من خطين أو مقطعين مستقيمين متقاطعين. في الفضاء ، تضاف الزوايا ثنائية الأضلاع إلى هذه الزوايا الخطية ، والتي تكونت من تقاطع مستويين.

إذا تم تطبيق التعريف المحدد للزاوية في الفضاء على الشكل المعني ، فيمكننا القول إن هناك نوعين من الزوايا ثنائية الأضلاع:

• في قاعدة الهرم. يتكون من مستوى القاعدة وأي من الوجوه الجانبية (المثلث). هذا يعني أن زوايا قاعدة الهرم هي n ، حيث n هو عدد أضلاع المضلع.
• بين الأضلاع (مثلثات). عدد هذه الزوايا ثنائية الأضلاع هو أيضًا عدد n من القطع

لاحظ أن النوع الأول من الزوايا المدروسة مبني على حواف القاعدة ، النوع الثاني - على الحواف الجانبية.

كيف نحسب زوايا الهرم؟

الزاوية الخطية للزاوية ثنائية الأضلاع هي قياس الأخير. ليس من السهل حسابها ، لأن وجوه الهرم ، على عكس وجوه المنشور ، لا تتقاطع بزوايا قائمة في الحالة العامة. الأكثر موثوقية هو حساب قيم الزوايا ثنائية الأضلاع باستخدام معادلات المستوى بشكل عام.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يتم إعطاء مستوى بالتعبير التالي:

Ax + By + Cz + D=0

حيث A ، B ، C ، D هي بعض الأرقام الحقيقية. راحة هذه المعادلة هي أن الأرقام الثلاثة الأولى هي إحداثيات المتجه ،وهو عمودي على المستوى المحدد ، أي:

n¯=[A ؛ ب؛ ج]

إذا كانت إحداثيات النقاط الثلاث التي تنتمي إلى المستوى معروفة ، فعند أخذ المنتج المتجه لمتجهين مبنيين على هذه النقاط ، يمكن للمرء الحصول على الإحداثيات n¯. المتجه n¯ يسمى دليل المستوى.

وفقًا للتعريف ، تكون الزاوية ثنائية السطوح الناتجة عن تقاطع مستويين مساوية للزاوية الخطية بين متجهات الاتجاه الخاصة بهم. لنفترض أن لدينا طائرتين تتساوى نواقلهما العادية:

₁¯=[A₁؛ ب₁؛ C₁] ؛

₂¯=[A₂؛ ب₂؛ C₂]

لحساب الزاوية φ بينهما ، يمكنك استخدام خاصية المنتج القياسي ، ثم تصبح الصيغة المقابلة:

φ=arccos (| (n₁¯n₂¯) | / (| n₁¯ || n₂¯ |))

أو بتنسيق تنسيق:

φ=arccos (| A₁ A₂+ B₁ B₂+ C₁ C₂| / (√ (A₁ 2^{+ B}12^{+ C}12 ^{)√ (A}22^{+ B}22 + C²₂)))

دعونا نوضح كيفية استخدام الطريقة أعلاه لحساب الزوايا ثنائية الأضلاع عند حل المسائل الهندسية.

زوايا هرم رباعي الزوايا منتظم

افترض أن هناك هرمًا منتظمًا يوجد في قاعدته مربع طول ضلعه 10 سم ، وارتفاع الشكل هو12 سم من الضروري حساب الزوايا ثنائية الأضلاع في قاعدة الهرم وجوانبه.

بما أن الشكل المعطى في حالة المشكلة صحيح ، أي أنه يحتوي على تناظر عالٍ ، فإن جميع الزوايا في القاعدة متساوية مع بعضها البعض. الزوايا التي تشكلها الوجوه الجانبية هي نفسها أيضًا. لحساب زوايا ثنائية الأضلاع المطلوبة ، نجد متجهات الاتجاه للمستويات الأساسية والمستويين الجانبيين. تشير إلى طول ضلع القاعدة بالحرف أ ، والارتفاع ح.

الصورة أعلاه تظهر هرم منتظم رباعي الزوايا. لنكتب إحداثيات النقاط A و B و C و D وفقًا لنظام الإحداثيات الذي تم إدخاله:

أ (أ / 2 ؛ -a / 2 ؛ 0) ؛

ب (أ / 2 ؛ أ / 2 ؛ 0) ؛

C (-a / 2 ؛ أ / 2 ؛ 0) ؛

د (0 ؛ 0 ؛ ح)

الآن نجد متجهات الاتجاه للمستويات الأساسية ABC والجانبين ABD و BCD وفقًا للطريقة الموضحة في الفقرة أعلاه:

لـ ABC:

AB¯=(0 ؛ أ ؛ 0) ؛ AC¯=(-a ؛ أ ؛ 0) ؛ n₁¯=[AB¯AC¯]=(0 ؛ 0 ؛ a²)

لـ ABD:

AB¯=(0 ؛ أ ؛ 0) ؛ AD¯=(-a / 2 ؛ أ / 2 ؛ ح) ؛ n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah ؛ 0 ؛ a²/ 2)

لـ BCD:

BC¯=(-a ؛ 0 ؛ 0) ؛ BD¯=(-a / 2 ؛ -a / 2 ؛ ح) ؛ n₃¯=[BC¯BD¯]=(0 ؛ أح ؛ أ²/ 2)

الآن يبقى تطبيق الصيغة المناسبة للزاوية φ واستبدال قيم الضلع والارتفاع من بيان المشكلة:

الزاوية بين ABC وABD:

(n₁¯n₂¯)=أ⁴/ 2 ؛ | n₁¯ |=أ²؛ | n₂¯ |=a√ (h²+ a²/ 4) ؛

φ=arccos (a⁴/ 2 / (a ² a√ (h^{2+ a}2^{/ 4)))=arccos (a / (2√ (h}2^{+ a}2 / 4)))=67، 38^o

الزاوية بين ABD و BDC:

(n₂¯n₃¯)=أ⁴/ 4 ؛ | n₂¯ |=a√ (h²+ a²/ 4) ؛ | n₃¯ |=a√ (h²+ a²/ 4) ؛

φ=arccos (a⁴/ (4a² (h²+ a²/ 4))=arccos (a²/ (4(h²+ a2^{/ 4)))=81، 49}o

قمنا بحساب قيم الزوايا التي يجب إيجادها من خلال حالة المشكلة. يمكن استخدام الصيغ التي تم الحصول عليها في حل المشكلة لتحديد الزوايا ثنائية الأضلاع للأهرام العادية الرباعية الزوايا بأي قيم من a و h.

زوايا الهرم المنتظم المثلث

يوضح الشكل أدناه هرمًا قاعدته مثلث منتظم. من المعروف أن الزاوية ثنائية الأضلاع بين الجانبين صحيحة. من الضروري حساب مساحة القاعدة إذا كان من المعروف أن ارتفاع الشكل 15 سم.

زاوية ثنائية السطح تساوي 90^oيشار إليها على أنها ABC في الشكل. يمكنك حل المشكلة باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه ، ولكن في هذه الحالة سنفعل ذلك بشكل أسهل. دعنا نشير إلى جانب المثلث أ ، وارتفاع الشكل - ح ، و apothema - h_bوالجانبضلع - ب. الآن يمكنك كتابة الصيغ التالية:

S=1/2ah_b؛

b²=h_b²+ a²/ 4 ؛

b²=h²+ a²/ 3

بما أن المثلثين الضلعين في الهرم متماثلان ، فإن الضلعين AB و CB متساويان وهما أرجل المثلث ABC. دعنا نشير إلى طولها بواسطة x ، ثم:

س=أ / √2 ؛

S=1/2بأ / √2

مساواة مناطق المثلثات الجانبية واستبدال apothem في التعبير المقابل ، لدينا:

1/2ah_b=1/2ba / √2=>

h_b=b / √2 ؛

ب²=ب²/ 2 + a²/ 4=>

ب=أ / √2 ؛

a²/ 2=h²+ a²/ 3=>

أ=ح√6

يتم حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع على النحو التالي:

S=√3 / 4a²=3√3 / 2h²

استبدل قيمة الارتفاع من حالة المشكلة ، نحصل على الإجابة: S=584، 567 cm².